tìm hiểu về dao động tử điều hòa

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ khi khoa học kỹ thuật phát triển, các nhà khoa học có điều kiện nghiên cứu các hệ vi mô như electron, proton, nơton, nguyên tử, phân tử,… Các tính chất vật lí của n

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÍ

- -

TÌM HIỂU VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Luận văn tốt nghiệp

Ngành: Sư phạm Vật lí

Mã số SV: 1110203 Lớp: TL1102A1 Khóa: 37

LỜI CẢM ƠN Qua thời gian nghiên cứu và làm việc, tôi đã hoàn thành luận văn của mình Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Nguyễn Thị Thúy Hằng, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn này Cảm ơn quý thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tại trường Đại học Cần Thơ

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhưng chắc hẳn sẽ còn thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn

để đề tài này được hoàn thiện hơn

Xin cảm ơn!

MỤC LỤC i

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI 1

3 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI 1

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1

5 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 2

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 3

1.1 GIẢ THUYẾT DE BROGLIE 3

1.2 HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 3

1.3 SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG 5

CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ 6

2.1 ĐỊNH NGHĨA, VÍ DỤ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 6

2.1.1 Định nghĩa 6

2.1.2 Các ví dụ về toán tử 6

2.1.3 Toán tử tuyến tính 6

2.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ 6

2.3 HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ 7 2.4 TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (TOÁN TỬ HERMITIC) 7

2.4.1 Định nghĩa toán tử hermitic 7

2.4.2 Các tính chất của toán tử hermitic 8

CHƯƠNG 3 HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 10

3.1 TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG 10

3.1.1 Toán tử tọa độ xˆ 10

3.1.2 Toán tử xung lượng 10

3.2 NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CỦA TOÁN TỬ NĂNG LƯỢNG 11

3.26.1 Nguyên lí tương ứng 11

3.2.2 Toán tử năng lượng 12

3.3 HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 12

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER 15

4.1 PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN 15

4.2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN (PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER DỪNG) 17

CHƯƠNG 5 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 18

5.1 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU 18

5.1.1 Dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học cổ điển 18

5.1.2 Dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học lượng tử 20

5.2 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BA CHIỀU 34

PHẦN KẾT LUẬN 38

PHỤ LỤC 39

PHỤ LỤC 1 39

PHỤ LỤC 2 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ khi khoa học kỹ thuật phát triển, các nhà khoa học có điều kiện nghiên cứu các hệ

vi mô như electron, proton, nơton, nguyên tử, phân tử,… Các tính chất vật lí của những hạt hay hệ hạt vi mô này không tuân theo các quy luật vật lí cổ điển mà tuân theo những quy luật đặc biệt, những quy luật của thuyết trường lượng tử, mà một trường hợp riêng là cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử nghiên cứu nhiều vấn đề Trong đó có bài toán dao động tử điều hòa

Mô hình dao động tử điều hòa có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như vật lí học, hóa học, sinh vật học,… Đối với vật lí học, nhiều hệ vật lí có phương trình chuyển động tương tự như một tập hợp các dao động tử điều hòa độc lập Do dó, bài toán dao động tử điều hòa là một trong những bài toán quan trọng của cơ học lượng tử

Vì mong muốn tìm hiểu khoa học, có niềm yêu thích với môn cơ học lượng tử và vì

mô hình dao động tử điều hòa có tầm quan trọng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học

nên tôi quyết định chọn đề tài: “Tìm hiểu về dao động tử điều hòa” làm luận văn tốt

nghiệp của mình

2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI

Tìm phương trình mô tả trạng thái chuyển động, công thức tính năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều và ba chiều trong cơ học lượng tử, từ đó so sánh với dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển để thấy được sự khác biệt về phổ năng lượng và xác suất tìm thấy dao động tử trong không gian mà nó tồn tại

3 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

Tìm hàm sóng biểu diễn trạng thái của hạt, các cơ sở toán học phục vụ cho quá trình nghiên cứu (các toán tử, các tiên đề, nguyên lí tương ứng, nguyên lí bất định Heisenberg, phương trình Schrödinger,…), giải phương trình Schrödinger của dao động tử điều hòa một chiều để tìm hàm sóng và năng lượng tương ứng của dao động tử

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đây là đề tài thuần túy lí thuyết, do đó phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp lí thuyết

5 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

- Bước 1: Nhận đề tài

- Bước 2: Tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài

- Bước 3: Tiến hành viết đề cương và trao đổi với giáo viên hướng dẫn

- Bước 4: Viết luận văn

- Bước 5: Nộp bản thảo cho giảng viên hướng dẫn, xin ý kiến

- Bước 6: Chỉnh sửa và hoàn tất nội dung đề tài

- Bước 7: Báo cáo nội dung đề tài

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT

1.1 GIẢ THUYẾT DE BROGLIE

Giả thuyết được đề ra bởi de Broglie vào năm 1924 Để đưa ra biểu thức tính bước sóng cho một hạt vi mô, ông dùng sự tương tự với động lượng của một photon Bắt đầu với công thức Einstein:[1]

2 0 2

c m E mc

Một cách viết khác của công thức (1.1): 2 4

0 2 2

c m c p

E h

E π πf

π h p

p h

π λ

Hàm sóng mô tả sóng phẳng đó có dạng:

hay   Et p r

-i

e ,t

0 là một hằng số tùy ý, không mô tả tính chất gì của hàm sóng

Các thông tin về trạng thái của hạt chứa đựng trong hàm sóng Hàm sóng nói chung là một số phức

Ψ là phần phụ thuộc thời gian

Trong cơ học lượng tử, ta thừa nhận tiên đề sau đây:

Tiên đề 1: Trạng thái của hạt ở mỗi thời điểm t được mô tả bởi một hàm số  r , t

 )nói chung là phức) gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái Đại lượng  r,t 2dV

tỷ lệ với  (viết Ψ thay cho 2  r,t

Từ cách giải thích này chúng ta hiểu rằng  là một hàm mật độ xác suất, với ý nghĩa 2

là khi nhân nó với thể tích của một vùng không gian vô cùng nhỏ ở lân cận điểm có tọa độ

r

thì ta được xác suất tìm thấy hạt trong vùng không gian đó: dw ρdV~2dV

Chú ý: Hàm sóng có thể là một số phức và có thể âm nhưng mật độ xác suất (bình phương modul của số phức) là thực và không bao giờ âm

Cách giải thích của Born được thừa nhận vì cho kết quả phù hợp với thực nghiệm

1.3 SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG

Ta đã có xác suất tìm thấy hạt trong nguyên tố thể tích dV là: dW  ρdV~2dV

Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian thể tích V mà hạt tồn tại phải bằng 1

Suy ra:    1

V V

dV

* ρdV

Như ta đã nói ở trên, hằng số Ψ0 không phản ánh tính chất gì của hạt Do đó ta có thể nhân một hằng số bất kì với hàm sóng mà không làm ảnh hưởng đến trạng thái của hạt Ta thừa nhận điều này như một tiên đề

dV ρdV

Trong đó: Aˆ là toán tử

Ψ và  là các hàm số bất kì mô tả trạng thái vật lí của hệ lượng tử

Ta nói toán tử Aˆ tác dụng lên hàm Ψ cho hàm 

2.1.2 Các ví dụ về toán tử

- Phép nhân với tọa độ x A ˆ x: Aˆ x 

- Phép lấy đạo hàm theo x 

- Phép nhân với một hằng số A ˆ h (h  const): Aˆ h 

- Phép lấy liên hiệp phức: Aˆ  *

ΨˆΨˆΨΨˆ

2 1 2

1

A c c A

A A A

* Lưu ý: - Tổng và hiệu hai toán tử thì giao hoán được

- Tích các toán tử nói chung không giao hoán được

Giao hoán tử của hai toán tử Aˆvà Bˆ được kí hiệu là [Aˆ,B]

A B B A B ,

Nếu Aˆ và Bˆ giao hoán thì [Aˆ,B]  0

Nếu Aˆ và Bˆ không giao hoán thì [Aˆ,B]  0

2.3 HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

Xét toán tử Aˆ Trường hợp tổng quát: Aˆ  

Nhưng cũng có trường hợp Aˆ A Trong đó A là một hằng số Lúc này ta gọi Ψ là

hàm riêng của toán tử Aˆ; A là trị riêng của toán tử Aˆ ứng với hàm riêng Ψ; phương trình





Aˆ là phương trình trị riêng của Aˆ

Một toán tử có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng ứng với một trị riêng Do đó để phân biệt các phương trình trị riêng ta đánh chỉ số vào các hàm riêng và trị riêng: Aˆn  A nn.[3] Trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng được gọi là trị riêng có suy biến

Số trị riêng có thể hữu hạn hay vô hạn, có thể gián đoạn hay liên tục.[3]

Dựa vào phổ của trị riêng ta phân toán tử thành hai loại:

Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của toán tử đó.[3]

2.4 TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (TOÁN TỬ HERMITIC)

2.4.1 Định nghĩa toán tử hermitic

Cho toán tử Aˆ và các hàm số Ψ và  bất kì Aˆ được gọi là toán tử hermitic nếu hệ thức sau được thỏa mãn:[3]

*

x

*

x d A x

d A x

d

Các tích phân (2.1) được lấy trong toàn bộ miền biến thiên của  x

 x là biến số nào đó ta chọn phù hợp với Ψ,  vàAˆ

2.4.2 Các tính chất của toán tử hermitic

2.4.2.1 Các trị riêng của toán tử hermitic là những số thực

Chọn các hàm n là hàm riêng của toán tử Aˆ

Phương trình trị riêng của toán tử Aˆ: Aˆn  A nn (2.2)

Vì Aˆ là toán tử hermitic nên theo định nghĩa ta có:

* n

* n x





Vậy cá trị riêng của toáng tử hermitic là những số thực

2.4.2.2 Các hàm riêng của toán tử hermitic trực giao với nhau

f n trực giao với nhau trong khoảng (a,b)

Chứng minh các hàm riêng của toán tử hermitic trực giao với nhau

Gọi n và m là các hàm riêng của toán tử hermitic Aˆ Theo định nghĩa toán tử hermitic ta có:

n

* n

* n n

x m

* n n m x

* n m

* n x

m

* n

A

Trong trường hợp không có suy biến, tức là A  m A n và m  n thì: A mA n 0 Do đó:

*

Vậy các hàm n trực giao với nhau

Nếu hệ các hàm riêng n được chuẩn hóa thì:  

*

Lúc này hệ các hàm n được gọi là hệ trực chuẩn (trực giao và chuẩn hóa)

Gộp cả hai điều kiện trực giao và chuẩn hóa ta có điều kiện trực chuẩn:

 

 

n khi m

n khi m

mn x

2.4.2.3 Các hàm riêng của toán tử hermitic lập thành một hệ đủ

Người ta chứng minh được tính chất này và ta thừa nhận Tính chất này có nội dung như sau:

Một hàm Ψ bất kì có thể phân tích thành tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng n(n1 ,2 3, ) của một toán tử hermitic

c hay

c c

c1 1 2 2 3 3

Do đó giá trị trung bình về tọa độ của hạt là:

Trong trường hợp hạt chuyển động một chiều,

Ta đi tìm dạng của toán tử xˆ để x được tính theo công thức (3.23)

Gọi ρ x là mật độ xác suất để tọa độ của hạt có giá trị là x thì xlà:

Theo cách giải thích của Born (đã nêu ở 1.2, chương 1): ρ x   x 2 *   x  x

Từ đây so sánh (3.1) và (3.2) ta suy ra:           

x

* x

x d x x x x

d x xρ

Do đó xˆ x x x Vậy toán tử xˆlà phép nhân với x: x ˆ x

Tương tự ta có: yˆ y ; zˆz

3.1.2 Toán tử xung lượng

Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục Ox Hàm sóng biểu diễn trạng thái của hạt có

e x

ωt-kx i

ΨΨ

Từ đây ta có:        

x p x

x i

x

p i x

Xét hạt chuyển động tự do trong không gian:

Theo de Broglie, hạt tự do có năng lượng E, xung lượng p

thì tương đương với một sóng phẳng Hàm sóng mô tả trạng thái của hạt có dạng:

r p

i r k p j p i p

i

k r

p i j r

p i i r

p i k r ik j r ik i r ik

k z

r j

y

r i

x

r r

z y x

z y

x z

y x

ΨΨ

ΨΨ

ΨΨ

ΨΨ

ΨΨ

ΨΨ

Trong cơ học cổ điển, các biến số động lực được liên hệ với nhau bằng những hệ thức như thế nào thì trong cơ học lượng tử, các toán tử biểu diễn các biến số động lực đó cũng liên hệ với nhau bằng các hệ thức tương tự

Từ nguyên lí tương ứng và biểu thức của các toán tử tọa độ và xung lượng đã biết, ta

có thể suy ra được dạng của các toán tử biểu diễn các biến số động lực khác

3.2.2 Toán tử năng lượng

Theo cơ học cổ điển, năng lượng toàn phần của một hạt (hay hệ hạt) trong trường lực dừng (trường lực tác dụng lên hệ không đổi) được biểu diễn qua tọa độ và xung lượng theo công thức:

x, y, z

V m

p p p

H  x  y  z 



2

2 2 2

(3.5) Trong đó m là khối lượng của hạt, Vx, y, z là thế năng

Theo nguyên lí tương ứng thì toán tử năng lượng toàn phần (hay toán tử Hamilton) cũng có dạng tương tự (3.4) và (3.5)

H

z , y , x V z

y x

m H

z , y , x V z

i y

i x

i m H

z , y , x V m

p p p H z , y , x V m

p

ˆˆˆ2

ˆ

ˆˆˆ2

ˆ

ˆˆˆ2

1ˆ

ˆˆˆ2

ˆˆˆˆˆˆˆ2

ˆˆ

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2

Xét một hệ ở trạng thái được biểu diễn bởi hàm sóng Ψ Hai biến số động lực A và B

của hệ được biểu diễn bởi hai toán tử Aˆ và Bˆ Nếu hai toán tử này không giao hoán thì không thể đo được một cách chính xác đồng thời A và B Ta sẽ xét xem nếu đo đồng thời hai biến số động lực ấy thì độ chính xác đạt đến mức nào

Vì Aˆ và Bˆ biểu diễn hai biến số động lực nên chúng là những toán tử hermitic Nếu Aˆ

và Bˆ không giao hoán thì:

C i B ,

Trong đó Cˆ là toán tử hermitic (Xem chứng minh ở phụ lục 1)

Để tìm mối liên hệ giữa A và B ta xét tích phân:

I

x d B iΔ A αΔ B iΔ A αΔ α

I x d B iΔ A αΔ α

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

Vì Aˆ và Bˆ là các toán tử hermitic nên αΔ Aˆ iΔ Bˆ cũng là toán tử hermitic

Ta có thể viết lại tích phân I  :

* x

*

x d B Δ C α A Δ α x

d B Δ A Δ B -Δ B Δ A Δ iα A Δ α

x d B iΔ A αΔ B iΔ A αΔ α

2 2

2

ˆˆˆˆ

Giả sử hàm sóng φ đã chuẩn hóa, ta có:

2

2 2

2 2

2 2 2

2

*

4

12

1ˆ

ˆˆ

A

C B

A

C A

B C A B

C A I

ΔA C

B A A

C B

2

14

1

04

2

2 2

Đặt ΔA 2 ΔA gọi là độ bất định của A; ΔB 2 ΔB gọi là độ bất định của B

(3.9) được viết lại thành:   

2

C ΔB

(3.10) chính là hệ thức bất định Heisenberg Hệ thức này cho ta biết độ bất định khi đo đồng thời hai biến số động lực A và B

Ví dụ: Với Aˆ xˆ và

x i Pˆ

Ý nghĩa của hệ thức này:

- Khi quan sát một hệ lượng tử (ví dụ: electron), ta phải chiếu vào nó một bức xạ có bước sóng ngắn nên có xung lượng lớn (  

λ

π k

P  2 ) Khi photon va chạm với electron thì

ta xác định được vị trí của electron Nếu ta muốn xác định đồng thời giá trị của xung lượng ở

vị trí đó thì phép đo xung lượng kém chính xác Vì xung lượng của photon lớn nên xung lượng của electron bị biến đổi nhiều, do đó ta không đo được chính xác đồng thời cả xung lượng và tọa độ của hạt

- Các hạt vi mô khác với các vật vĩ mô thông thường Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, đó là một thực tế khách quan Việc không đo được chính xác đồng thời cả tọa độ và xung lượng của hạt là do bản chất của sự việc chứ không phải do trí tuệ của con người bị hạn chế Kĩ thuật đo lường của ta có tinh vi đến mấy đi nữa cũng không

đo được chính xác đồng thời cả tọa độ và xung lượng của hạt Hệ thức bất định Heisenberg

là biểu thức toán học của lưỡng tính sóng hạt của vật chất.[3]

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER

4.1 PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Ta đã biết hàm sóng mô tả sóng phẳng của một hạt chuyển động tự do có dạng (1.7):

-i

0et

rΨ

* Phương trình Schrödinger đối với hạt chuyển động tự do

Ở đây ta xét trường hợp hạt chuyển động không tương đối (v  c) Vì hạt chuyển động tự do nên năng lượng của hạt bằng động năng của nó:

m

p T E

ie

tr

2 2 2 2

tr

Trong 3, chương 1 đã đề cập, ta có thể viết hàm sóng dưới dạng sau:

    Et

i

e r t

   

t , r Ψ ˆ t , r

* Tiên đề về phương trình Schrödinger tổng quát

Trong trường hợp tổng quát, hạt chuyển động trong một trường lực Ta thừa nhận điều sau làm tiên đề:

Phương trình của hạt chuyển động tự do cũng đúng cho hạt (hay hệ hạt) chuyển động trong trường lực.[5]

Tức là đối với trường hợp tổng quát, hạt chuyển động trong một trường lực cũng có phương trình (4.8)

Nếu hạt chuyển động trong trường lực phụ thuộc vào thời gian (nhưng không phụ thuộc vào vận tốc hạt), theo nguyên lí tương ứng ta có:[4]

 r t V m V

T H V T

2ˆˆ

t , r

Phương trình (4.11) là phương trình cơ bản trong cơ học lượng tử (tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ điển) Cũng như nhiều phương trình vật lí cơ bản khác, phương trình Schrödinger không được chứng minh, tính chất đúng đắn của nó được xác nhận từ các kết quả thực nghiệm[5] Phương trình này áp dụng được cho hệ có trạng thái bất kì, đây cũng là một tiên đề của cơ học lượng tử

Điều kiện của nghiệm Ψ r t

để là hàm sóng: đơn giá, liên tục, hữu hạn

4.2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN (PHƯƠNG TRÌNH SCHRӦDINGER DỪNG)

Nếu hạt chuyển động trong trường lực không đổi theo thời gian thì toán tử Hˆcủa hệ cũng không phụ thuộc vào thời gian Ta có thể viết hàm sóng dưới dạng (1.12):

, ta được:[4]

 

 

 r H  r const E t

t t

Ae

t   

Phương trình (4.14) chính là phương trình trị riêng của toán tử năng lượng toàn phần

Hˆ Giả sử phương trình này có phổ gián đoạn với các trị riêng và hàm riêng tương ứng là

CHƯƠNG 5 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

5.1 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU

5.1.1 Dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học cổ điển

Xét một hạt khối lượng m dao động dọc theo trục x quanh vị trí cân bằng (chọn x cb 0) dưới tác dụng của lực hồi phục F  kx (hệ số đàn hồi k  0) Một hệ như vậy gọi là dao

k x

x m kx

cos2

sin2

21

Năng lượng toàn phần của hệ là: 2 2

2

1

a m V T

Nhận xét về năng lượng của dao động tử điều hòa cổ điển:

+ Năng lượng toàn phần E là một hằng số không âm

+ E 0 nếu x0 0 Vậy nếu hạt đứng yên tại vị trí cân bằng thì năng lượng của hạt bằng 0

+ Phổ năng lượng là phổ liên tục Vì a có thể nhận các giá trị tùy ý

Hạt chỉ có thể dao động trong đoạn a, a Ngoài miền này, xác suất tìm thấy hạt bằng

không Đây là miền cấm cổ điển [4]

Gọi P cđ x dx là xác suất tìm thấy hạt trong khoảng x đến x  dx;

2

2

0 2

1

1sin

1cos

dx dt

x

x a

t a

t a dt dx

2

1 2 1 1

dx x

a

x a

dx T

dt dx x