Đại cương về dao động tử điều hòa (2018)

Vector riêng, các toán tử xung lượng và hàm sóng của dao động tử điều hòa .... Bài toán về hàm sóng và các mức năng lượng của dao động tử điều hòa 26 3.2.. Bài toán về trị trung bình của

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

======

NGUYỄN THỊ HOAN

ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Qua thời gian nghiên cứu và làm việc, tôi đã hoàn thành khóa luận của mình Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những tài liệu quý báu trong suốt quá trình tôi thực hiện khóa luận này Bên cạnh đó tôi đã nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo trong khoa vật lý nói chung và các thầy cô giáo trong tổ vật lý lý thuyết nói riêng

Ngoài ra, tôi xin gửi lời chúc tốt đẹp nhất đến bố mẹ, gia đình và bạn bè

đã luôn bên cạnh, giúp đỡ và động viên tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành khóa luận

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhưng chắc hẳn

sẽ còn nhiều hạn chế Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoan

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận tôi có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn là trung thực và chưa từng được công bố bởi bất kì nơi nào khác

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoan

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của đề tài 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

1.1 Cơ học lượng tử 3

1.2 Dao động tử điều hòa 4

1.3 Phương trình Schrodinger 6

1.4 Kí hiệu ket-bra 8

1.5 Toán tử Hermite 8

1.6 Không gian Hilbert 11

CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 12

2.1 Đại số của dao động tử điều hòa 12

2.2 Vector riêng, các toán tử xung lượng và hàm sóng của dao động tử điều hòa 18

CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 26

3.1 Bài toán về hàm sóng và các mức năng lượng của dao động tử điều hòa 26 3.2 Bài toán về trị trung bình của các đại lượng vật lý của dao động tử điều hòa 34

KẾT LUẬN CHUNG 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ, HÌNH VẼ

Hình 1.1 Dao động của con lắc đơn quanh vị trí cân bằng 5Hình 1.2 Dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng 5Hình 1.3 Dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể 5

Tuy nhiên, bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận dụng của cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng như: Bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hidro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm)

Nhưng trong đó dao động tử điều hòa là bài toán cơ bản nhất, có lời giải chính xác không những trong cổ điển mà cả trong cơ lượng tử và đây cũng là bài toán giải được chính xác trong cơ lượng tử

Khi tìm hiểu về dao động tử điều hòa có rất nhiều con đường khác nhau,

và với các lí do trên, tôi đã chọn đề tài “Đại cương về dao động tử điều hòa” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector ket-bra)

và một số bài toán về dao động tử điều hòa

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Cơ học lượng tử

Phạm vi nghiên cứu: Đại cương về dao động tử điều hòa

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector bra) và một số bài toán về dao động tử điều hòa

ket-2

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, tra cứu và tổng hợp tài liệu có liên quan

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc của khóa luận gồm ba chương:

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

3

NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ XX từ đề xuất của các nhà khoa học Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli,…

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của môn vật lý Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển (hay còn gọi là

cơ học Newton), là cơ sở của nhiều ngành vật lý như vật lý chất rắn, vật lý hạt nhân và cả trong hóa học như hóa lượng tử Khái niệm lượng tử dùng để chỉ một số đại lượng vật lý như năng lượng không liên tục mà gián đoạn

Cơ học lượng tử là một lý thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như xung lượng và động năng của các vật chất nhỏ bé, và thể hiện rõ lưỡng tính sóng-hạt Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất, vì thế mà cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì cơ học lượng tử cho phép mô tả chính xác và đúng rất nhiều hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được như ở nguyên tử hay nhỏ hơn là hạ nguyên tử (proton, notron, electron và các hạt cơ bản khác) Cơ học cổ điển không thể giải thích được tại sao các nguyên tử lại bền vững và không thể giải thích được một số hiện tượng như siêu dẫn, siêu chảy Hầu hết các tiên đoán của cơ học lượng tử

đã được thực nghiệm chứng minh sau một thế kỷ Cơ học lượng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất bốn loại hiện tượng mà cơ học cổ điển không tính đến, đó là: (i) việc lượng tử hóa một số đại lượng vật lý, (ii) lưỡng tính sóng hạt, (iii) vướng lượng tử, (iv) nguyên lý bất định Trong một số trường hợp,

bỏ qua tính tương đối của chuyển động) Ta dùng khái niệm cơ học lượng tử

để chỉ cả hai loại trên Cơ học lượng tử đồng nghĩa với vật lý lượng tử Tuy nhiên, nhiều nhà khoa học coi cơ học lượng tử có ý nghĩa như cơ học lượng tử phi tương đối tính, và như thế nó hẹp hơn vật lý lượng tử

Một số nhà vật lý cho rằng cơ học lượng tử cho ta một mô tả chính xác

về vật lý học ở hầu hết các điều kiện khác nhau Dường như là cơ học lượng

tử không còn đúng ở lân cận các hố đen khi xem xét vũ trụ như một toàn thể

Ở phạm vi này thì cơ học lượng tử lại mâu thuẫn với lý thuyết tương đối rộng, một lý thuyết về hấp dẫn Vấn đề giữa cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu rất sôi nổi

Ngoài ra, một số vấn đề cơ bản của cơ học lượng tử vẫn được nghiên cứu cho đến nay

1.2 Dao động tử điều hòa

Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hòa là một hệ thống cơ học thực hiện dao động mà chuyển động có thể mô tả bởi những hàm số điều hòa của thời gian, mà cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin Năng lượng của dao động tử điều hòa có thể nhận các giá trị liên tục và tần số bức xạ trùng với tần

số dao động cơ học của dao động tử điều hòa Ví dụ như dao động của con lắc đơn, dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng

5

Hình 1.1 Dao động của con lắc đơn quanh vị trí cân bằng

Hình 1.2 Dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng

Trong cơ học lƣợng tử, dao động tử điều hòa là khi một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng Năng lƣợng của các dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển) Ví dụ nhƣ dao động của nguyên tử trong phân tử, dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể

Hình 1.3 Dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể

Hay chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là dao động điều hòa và

đó là một hiện tượng rất quan trọng của vật lý nói chung và của cơ học lượng

tử nói riêng

1.3 Phương trình Schrodinger

Phương trình Schrodinger là một phương trình cơ bản của vật lý lượng

tử mô tả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay thế cho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển

Trong cơ học lượng tử, trạng thái lượng tử của một hệ vật lý được mô tả đầy đủ nhất bởi một vector trạng thái thí dụ như hàm sóng trong không gian cấu hình, nghiệm của phương trình Schrodinger Nghiệm của phương trình Schrodinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (proton, notron, electron và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vĩ mô, thậm chí có thể

là toàn bộ vũ trụ Phương trình này được đặt tên theo nhà vật

lý người Áo Erwin Schrodinger, người đầu tiên thiết lập vào năm 1926

7

Tùy thuộc điều kiện từng bài toán khác nhau mà nghiệm phương trình Schrodinger có dạng khác nhau Như vậy khi nghiên cứu chuyển động của hạt hoặc hệ hạt trong trường thế nào đó ta sẽ biết được năng lượng E và hàm sóng  tương ứng ở những trạng thái khác nhau Khi xác định được năng lượng và hàm sóng của hạt ở trạng thái nào đó ta có thể tính toán được các yếu tố ứng với phép đo đại lượng F nào đó của hệ lượng tử như mật độ xác suất, xác suất, trị trung bình,…

Phương trình Schrodinger có nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào các điều kiện khác nhau của hệ vật lý

* Đối với hạt chuyển động trong trường lực tổng quát ˆW, có năng lượng biến đổi theo thời gian thì phương trình Schrodinger tổng quát có dạng [1]:

( , , , ) ( , , ) n

i

E t n

8

1.4 Kí hiệu ket-bra

Trong lĩnh vực cơ học lượng tử, ký hiệu bra-ket là biểu diễn chuẩn dùng

để mô tả những trạng thái lượng tử và được kí hiệu là:

 

với phần bên trái  gọi là bra và phần bên phải  gọi là ket Ký hiệu được giới thiệu bởi nhà toán học Paul Dirac năm 1939 nên còn có tên gọi là ký hiệu Dirac, mặc dù Grassman đã dùng ký hiệu  |  cho tích vô hướng của mình hàng trăm năm trước đó

Tuy vậy, ngày nay ứng dụng chủ yếu của ký hiệu bra-ket chủ yếu nằm ở

cơ học lượng tử Hầu hết các hiện tượng được giải thích bằng cơ học lượng tử (bao trùm cả một phần của vật lý hiện đại) đều được biểu diễn dưới dạng bra-ket Cách biểu diễn này thuận lợi hơn biểu diễn hàm sóng ở chỗ là tính độc lập trong biểu diễn trừu tượng của đối tượng mà nó ký hiệu, cộng với tính linh hoạt khi tạo ra những biểu diễn đặc thù (tọa độ, động lượng hoặc hàm riêng

cơ sở) một cách dễ dàng, hoặc phụ thuộc quá nhiều vào không gian tuyến tính

(dấu (+) ở trên F chỉ phép toán vừa lấy liên hợp phức vừa chuyển vị trí ij

i j của F ), ij Fij được gọi là phần tử liên hợp của phần tử F của toán tử ij

9

ˆ,

F còn toán tử tương ứng với nó là toán tử Fˆ

được gọi là toán tử liên hợp của toán tử ˆ.F

Nếu: FijFij, tức là  , Fxˆ   ˆ , 

i j i j

x  Fx x hay Fˆ Fˆ

thì toán tử Fˆ được gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử Hermite

Tính chất của toán tử Hermite [1, 3, 4]:

a Tổng của hai toán tử Hermite là một toán tử Hermite

b Tích của toán tử Hermite với một số là một toán tử Hermite khi số đó

d Các trị riêng của toán tử Hermite là số thực

a trùng với lượng tử liên hợp phức của nó, vậy trị riêng a n là số thực

e Tập hợp các vector riêng của toán tử Hermite trong trường hợp không suy biến là trực giao

Nếu x i  x j, x x i, i0 với  x i 0, cho nên f j  f j*

Nếu x i  x j trong trường không suy biến f i  f j

Do đó x x i, j0 (đpcm)

f Các hàm riêng của toán tử Hermite là trực giao

Chứng minh:

Giả sử các hàm sau: f x , 1  f2 x ,… f k x ,… f n x là các hàm riêng

của toán tử ˆA thì ta có các hàm này là trực giao tức là:

( ) ( ) ( )

L K

n

k k k



Trong đó C k là các số thực được chọn duy nhất

1.6 Không gian Hilbert

Không gian Hilbert là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều Đó là một không gian có tích vô hướng, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt là khái niệm trực giao hay vuông góc) Hơn nữa, không gian Hilbert thỏa mãn một yêu cầu nữa là tính đầy đủ để chắc chắn rằng giới hạn là tồn tại khi cần, làm các định nghĩa khác nhau trong tính toán vi tích phân dễ dàng hơn Các không gian Hillbert cho phép các trực giác hình học có thể áp dụng vào một số không gian hàm vô hạn chiều Chúng cung cấp một khung để hệ thống hóa và tổng quát hóa khái niệm chuỗi Fourier theo một hệ bất kì của các hàm số trực giao và của phép biến đổi Fourier, là những khái niệm trung tâm của giải tích hàm Không gian Hilbert đóng vai trò quan trọng trong việc hình thức hóa toán học cơ học lượng tử

Để làm đƣợc điều đó, ta đƣa ra toán tử mới ˆa và toán tử ˆa

Để tìm các giá trị riêng và các vector riêng của toán tử ˆH và toán tử Nˆ.

Giả sử rằng có ít nhất một vector riêng của toán tử ˆN trong không gian

Hilbert, và gọi giá trị riêng  (đây không phải một giả thuyết tầm thường, vì

có nhiều toán tử không có vector riêng trong không gian Hilbert) Gọi  là vector riêng, do đó:

1

 

Với trường hợp:

  là vector không hoặc vector riêng của toán tử Nˆ với

giá trị riêng 1, luôn có 10 Giả sử ˆa 0, có nghĩa:

Do đó 1 luôn là vector riêng của toán tử ˆN với giá trị riêng  1

Một lần nữa lặp lại quá trình trên, ta có đƣợc một dãy của vector n (n= 0,

1, 2,…), là vector riêng của toán tử Nˆ với giá trị riêng  n

Do chuỗi các vector riêng m phải kết thúc sau một số bước hữu hạn,

và phải tồn tại một vector 0:

Ta thấy vector n là vector riêng của toán tử Nˆ , với giá trị riêng n, và

C n

;

n n

C n

1.n!

n

Ngoài ra, ta có với một vector chuẩn hóa 0 thuộc không gian Hilbert có các thuộc tính:

với các giá trị riêng n= 0, 1, 2,…

Từ đó các vector riêng đã được chuẩn hóa, và trực giao với nhau bởi vì chúng là các vector riêng của một toán tử Hermitian với các giá trị riêng khác nhau Như vậy, ta có mối quan hệ trực giao:

được xác định trên các yếu tố của hệ thống trực giao này Xem xét tất cả các vector:

,

n n n

   trong đó: n là các số phức

Tiếp theo ta tính ma trận chéo của toán tử năng lượng ˆH giữa vector n

với một giá trị cố định n Sử dụng phương trình (2.4) và (2.5), ta được:

Trong đó: E là các giá trị riêng của toán tử năng lƣợng n Hˆ Tập hợp tất

cả các giá trị riêng của toán tử năng lƣợng ˆH gọi là quang phổ của toán tử

Quang phổ E n n 1,2,3  của toán tử năng lƣợng ˆH là năng lƣợng quang

phổ của dao động tử điều hòa Quang phổ của toán tử tọa độ Qˆ là liên tục và

là các số thực Quang phổ của toán tử số hạt Nˆ và toán tử năng lƣợng ˆH là

Và tìm ra x n là biến đổi giữa một vector riêng n n (của toán tử ˆH

và toán tử ˆN ) và vector riêng x (của toán tử Qˆ ):

x

n  x x n 

20

Nhƣ vậy, (2.11) là hệ thức lặp lại của m x nếu 0 x đã biết, ta có thể ,

xác định 1 x bởi (2.11a) và sau đó xác định 2 x bởi (2.11) Với 1 x và

n x

x

đƣợc định nghĩa với mọi x với 0 x khác 0 (nếu 0 x =0, thì (2.11) và

(2.11a) có n x 0 với mọi n)

22

Xét toán tử xung lượng ˆP tương tự như với toán tử tọa độ Qˆ Các

vector riêng của toán tử ˆP kí hiệu là p , ta có:

là hàm sóng của vector xung lượng trong biểu diễn số hạt

Tương tự như toán tử tọa độ Qˆ , quang phổ của toán tử xung lượng ˆP là

liên tục

Bây giờ, ta tính các phần tử ma trận của toán tử ˆP trong cơ sở của vector

riêng của toán tử Qˆ và các phần tử ma trận của toán tử Qˆ trong cơ sở của