Dao động tử điều hoà các bài toán về dao động tử điều hoà

Cỏc bài toỏn về dao động tử điều hoà” khụng cú sự trựng lặp với kết quả của đề tài khỏc.. Một trong số vấn đề có tính chất kinh điển là bài toán dao động tử điều hoà.. Để giải quyết vấn

LỜI CẢM ƠN

Nghiờn cứu khoa học là một chủ đề hấp dẫn nhiều người quan tõm, đặc biệt là với sinh viờn năm cuối Vỡ thụng qua quỏ trỡnh tự nghiờn cứu, chỳng tôi cú thể hiểu rõ hơn về bộ môn, nâng cao được nhận thức về bức tranh vật lý

và bước đầu tập nghiên cứu khoa học mở rộng và nõng cao tầm nhỡn, tầm hiểu biết của mỡnh

Trong suốt quỏ trỡnh nghiờn cứu và hoàn thành khoỏ luận này, tụi đó nhận được sự chỉ bảo, góp ý, hướng dẫn và giỳp đỡ hết sức tận tỡnh của thầy

giỏo - tiến sĩ Trần Thỏi Hoa Bờn cạnh đú tụi cũng đó nhận được sự gúp ý

chõn thành của cỏc thầy cụ giỏo trong khoa vật lý núi chung và cỏc thầy cụ giỏo trong tổ vật lý lý thuyết núi riờng Tụi xin bày tỏ lũng biết ơn sõu sắc tới cỏc thầy cụ giỏo đó giỳp đỡ tụi bước đầu làm quen với việc nghiờn cứu khoa học, chắc chắn điều đú sẽ rất bổ ớch cho tụi trờn con đường học tập và cụng tỏc sau này

LỜI CAM ĐOAN

Khoỏ luận này là kết quả lao động của bản thõn tôi trong quỏ trỡnh học

tập và nghiờn cứu Bờn cạnh đú tôi được sự quan tõm tạo điều kiện của thầy

giỏo, cụ giỏo trong khoa vật lý đặc biệt là sự hướng dẫn của thầy giỏo - tiến sĩ

Trần Thỏi Hoa

Trong khi nghiờn cứu hoàn thành bản khoỏ luận này tụi cú tham khảo

một số tài liệu đó ghi trong phần tài liệu tham khảo

Vỡ vậy, tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: “Dao động tử điều hoà

Cỏc bài toỏn về dao động tử điều hoà” khụng cú sự trựng lặp với kết quả của

đề tài khỏc

Sinh viờn thực hiờn:

Nguyễn Thị Nga

Môc lôc

Néi dung Trang Lêi c¶m ¬n 1 Lêi cam ®oan 2

Cơ học lượng tử là một trong những phần cơ bản của vật lý lý thuyết Nú

là môn khoa học giỳp con người tỡm hiểu và chinh phục thế giới vi mụ

Dựa trờn tớnh chất lưỡng tớnh súng hạt của vật chất cỏc nhà vật lý như: Schrodinger, Dirac, Heisenberg,… đó nghiờn cứu và giải thớch tớnh chất, hiện tượng xảy ra trong khụng gian các hạt có kích thước nhỏ cỡ nguyên tử

10 10 cm Đối tượng chủ yếu của cơ học lượng tử là cỏc nguyờn tử, phõn tử và cỏc hạt cơ bản Cụng cụ toỏn học của cơ học lượng tử phần lớn là cỏc toỏn tử tỏc động trong khụng gian Hilbert Sự ra đời của thuyết lượng tử

đó làm thay đổi tư duy con người về cỏc hiện tượng và quỏ trỡnh vật lý trong thế giới cỏc hạt cơ bản và nguyờn tử, phõn tử

Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần nghiờn cứu trong cơ học lượng tử Một trong số vấn đề có tính chất kinh điển là bài toán dao động tử điều hoà Để giải quyết vấn đề tìm năng lượng và trạng thái của dao động tử điều hoà, ta cần giải phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà với thế năng điều hoà Bài toán này có một số tính chất cần quan tâm Chính vì vậy đề tài của

tôi có tên là: “Dao động tử điều hoà Cỏc bài toỏn về dao động tử điều hoà”

Đề tài này sẽ liên quan đến các vấn đề như thế về dao động tử điều hoà

II Mục đớch nghiờn cứu

Giải bài toán về dao động tử điều hoà

Trên cơ sở ấy rốn được kĩ năng giải phương trỡnh Schrodinger, biết kết hợp cỏc công cụ toỏn học vào giải cỏc bài toỏn

III Nhiệm vụ nghiờn cứu

Giới thiệu, lập phương trỡnh Schrodinger cho dao dộng tử điều hoà

Dựa vào các đòi hỏi của hàm sóng và đòi hỏi của phương trình

Schrodinger để giải bài toán về dao động tử điều hoà

Giới thiệu một số dạng bài toỏn cơ bản về dao động tử điều hoà và cỏch giải

IV Đối tượng nghiên cứu

Dao động tử điều hoà và các hệ điều hoà trong cơ học lượng tử

PHẦN NỘI DUNG

I Lý thuyết cơ bản về dao động tử điều hoà

I.1 Cỏc kiến thức cơ bản

I.1.1 Phương trỡnh Schrodinger tổng quỏt

Trong quá trình giải bài tập cơ học lượng tử phi tương đối tính cần giải

phương trình Schrodinger Tuỳ thuộc điều kiện từng bài toán khác nhau mà

nghiệm phương trình Schrodinger có dạng khác nhau Như vậy khi nghiên cứu

chuyển động của hạt hoặc hệ hạt trong trường thế nào đó ta sẽ biết được năng

lượng  E và hàm sóng   tương ứng ở những trạng thái khác nhau Khi xác

định được năng lượng và hàm sóng của hạt ở trạng thái nào đó ta có thể tính

toán được các yếu tố ứng với phép đo đại lượng F nào đó của hệ lượng tử như

mật độ xác suất, xác suất, trị trung bình,…

Đối với hạt chuyển động trong trường lực tổng quát Wˆ , có năng lượng

biến đổi theo thời gian thì phương trình Schrodinger tổng quát có dạng:

t E i n

n

ez,y,xt

z,y,

phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc khụng gian

I.1.2 Dao động tử điều hoà

Chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường thế U(x) Trong khụng gian này hạt chuyển động thực hiện những dao động bộ quanh vị trớ cõn bằng x0=0 của nó vì vậy ta có thể khai triển thế năng này dưới dạng:

x

U

!n

1

xx

U2

1xx

UU

x

n

n 2

2 2

 

2 2

Và người ta gọi một hạt thực hiện những dao động điều hoà như vậy

là dao động tử điều hũa

I.2 Thiết lập phương trỡnh Schrodinger của dao động tử điều hoà

Giả sử xột một hạt cú khối lượng m, chuyển động theo trục ox quanh vị trớ cõn bằng dưới tỏc dụng của lực đàn hồi

  : là tần số gúc của dao động) Nhìn vào phương trình (3) ta thấy

hạt chuyển động trong trường thế m 2x2

2

1

U  đang xét trên là dao động tử

điều hoà

0x2

xmEm2x''

n n n

2 2 2

2 2

2 2 2

 : là nghiệm ứng với mức năng lượng En

I.3 Giải phương trỡnh của dao động tử điều hoà

Trong cơ học cổ điển người ta thấy rằng phổ năng lượng của dao động

tử điều hũa cú thể nhận cỏc giỏ trị liờn tục Vậy kết luận này trong cơ học lượng tử cú cũn đỳng khụng ta sẽ đi kiểm nghiệm điều đú bằng cỏch đi giải phương trỡnh Schrodinger của dao động tử điều hoà:

M:m

L:x



Đặt cỏc biến số khụng thứ nguyờn cú dạng: 



m

,  

21

điểm  Khi  rất lớn    thì     ta có thể bỏ qua số hạng 2 n 

 

y '' 2 y '    1 y 0 (8) Phương trình (5) có nghiệm dưới dạng chuỗi như sau:

Muốn cho phương tr×nh lu«n thoả mãn thì các hệ số bên cạnh c¸c luỹ

thừa  đều phải triệt tiêu tức là: k

~a2k23k2

k4

~a25k215k

2

15k22

exp

0akhi2

exp

~2expy

1 2

0 2

2

Điều kiện   triệt tiêu bắt buộc y phải trở thành đa thức, nghĩa là  

chuỗi (9) phải ngắt ở kmax n nào đó

Nghĩa là a (hoặco a )1 , ,a , ,ak k max an 0, còn an 2 ,an 4 , 0.

Từ (10) suy ra an 2 0 và: n

n

2E2n 1

     



Từ đây rút ra biểu thức của năng lượng:

số lượng tử n n0,1, 2,  Trạng thái ứng với n được gọi là trạng thái 0

cơ bản của dao động tử lượng tử Khi thay   1 2n vào (8), phương trình (8) trở thành:

y '' 2 y ' 2ny    0 (12) (12) gọi là phương trình vi phân Hermite, nghiệm của phương trình này là đa thức Hermite bậc n :

n n

2 n n

II Các bài toán cơ bản về dao động tử điều hoà

Hãy chuẩn hoá hàm sóng n  ?

de1

n n n

2

!1

2n1nn

2.nH

d

d

5 n 4 n

3 n 2 n 1

n n n

5n4n3n2n1nn

2

!1

3n2n1nn2

1nnH

d

d

6 n 4 n

4 n 2 n 2

n n n

Thay các kết quả trên vào (3) ta được:

I 1 1 .2 n! 2 n!  Vậy hàm sóng n  đã được chuẩn hoá là:

 

n

2 4

n n

4 2

2 i

2E

 

  Thì (1) có nghiệm là:   1 1 

2 x

3

2E

 

  Thì (2), (3) có nghiệm là:

2 y

1

1A

2 2

3 3

2

4

n n

 x, y, z phõn biệt bởi hệ 

bộ n , 1 n 2 n khỏc nhau Cố định 3 n ,1 n cho n thay đổi từ 0 đến 2 nn1 khi

đú n sẽ thay đổi từ 3 nn1 Cỏc giỏ trị cú thể cú của 0 n là 2

0,1, 2,3 , nn và tất cả cú nn11 giỏ trị Số giỏ trị của n cú thể ứng 2với mọi giỏ trị khỏc nhau của n từ giỏ trị 1 n1 đến giỏ trị 0 n1n cho ta bội suy biến g n

Mức khụng suy biến ứng với n 0

II.4 Bài 4: Chuyển động của dao động tử điều hoà một chiều được mô tả bởi

a, Tính xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của dao động tử nằm ở trạng thái được mô tả bởi số lượng tử n = 0

b, Tính xác suất để đo được giá trị p của xung lượng của dao động tử x

2 0

2 0

dxx

mexpm

dx

mexp

mdx

xW

1

2

x 0

3 3

1

2 4

x

2 x 4

2 2

x p

II.5 Bài 5: Tìm năng lượng và hàm sóng của dao động tử một chiều dưới tác

dụng của điện trường không đổi 

đặt dọc theo phương dao động ox

Vậy thế năng của dao động tử dưới tác dụng của điện trường không đổi dọc theo phương dao động ox là:

' n

Trong đó A là hệ số chuẩn hoá n

II.6 Bài 6: Chứng minh cỏc đa thức Hermite:     2 2

n n

2

!1

3n2n1n1

n2n2d

H

d

6 n 5 n

4 n 3 n 2

n 1

n 2

n 2

6 n

4 n 2

n

H1n2.n2

2

!2

4n3n2n

2

!1

3n2n2

1n2.n2

Mà: Hn  là nghiệm phương trình: ''   '    

H   2 H  2nH  0Thay vào ta có:

Mà: *   

1 khi k 0d

x

* n

xixdx

xpˆ

i

di

dm

mip

n 2

* n 2 2

n 2 n

2H e H e 2n.He

2 2

2

1dn

i

dH

HeAi2

1dH

HneA

i

dH

Hen2idH

2

1nH

HeA

i

dH

Hen2.AidHHeA

i

p

1 n

* n 1

n

* n

1 n

* n 2

n 1

n

* n 2

n

1 n

* n 1

n 1

n

* n 2

n

1 n

* n 2

n n

* n 2

n

x

2 2

2 2

2 2

eAm

dm

dmm

dxxx

xdx

xpx

p

n 2 2

2

* n 2 2 n 2

n 2

2

* n 2

n 2

2 2

*

n

n 2

2 2

* n n

2 x

2 n

2 2

n 2

2 n 2 n

2 n

2

n 2 n

2 2

n 2

2 n 2 2

n n

2

n 2 n

2 n 2

2 n 2

n 2 1

n 2 1

n 2

2 n 2 1

n 2

n 2 1

n 2 1

n 2

2 n 2 1

n 2

n 2 1

n 1

n 2

2 n 2

1 n 2 n

2 n

2 2

2 n 2

1 n 2 n

2 n

2 2 n

2

2

2

He4

1H

e2

1H

neH

e1nn

He4

1H

eH

e21

Hne2

1H

ne2

3H

e1nn

He1nn4H

2

1H

1ne21

HeH

2

1H

1nne3

He1nn4

HeH

e2

1H

en

He1nn4H

en4

HeH

e2

1H

en

He1nn4nH

2e2

HeH

2

1nH

e

H1n2n2e

nH2e2H

eH

e

H1n2n2e

nH2eH

eH

eH

e

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

He

2

vào công thức tính 2

x

p và biến đổi tương tự trên ta có :

2

1nm

d2

1nm

dHe2

1H

neH

eA

mp

n , n 2

n

* n 2

n 2 n

2

* n 2 2 n 2

2

x

2 2

II.9 Bài 9: Tính các giá trị trung bình của các đại lượng thế năng, động năng

và năng lượng của dao động tử điều hoà ở trạng thái n ?

Lời giải:

Có :   2   2

xk2

1xUkx

2

1x

m2

1nm21

m2

1nk21

m22

1nm

m2

pWm2

pW

2 x d

2 x d





2 2

2 x

Vậy từ hệ thức bất định ta thấy năng lượng thấp nhất có thể có của dao

động tử điều hoà một chiều là:

Emin 1

2

  

III Bài toán tham khảo

III.1 Bài 1: Tìm động năng trung bình của dao động tử điều hoà một chiều? III.2 Bài 2: Tìm sự phụ thuộc thời gian của toạ độ và xung lượng trung bình

của dao động tử điều hoà một chiều?

III.3 Bài 3: Xét dao động tử điều hoà tuyến tính với  và 0  là các hàm 1riêng thực, chuẩn hoá của toán tử năng lượng tương ứng trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đầu tiên Hàm sóng của dao động tử ở thời điểm nào đó

a, Viết hàm sóng ở thời điểm tx, t

b, Tìm kết quả có thể của phép đo năng lượng của hạt ở trạng thái này và xác suất tương đối của phép đo nhận được các giá trị đó

c, Tính x ở thời điểm t Hỏi x thay đổi theo thời gian như thế nào? 0

III.5 Bài 5: Trong x - biểu diễn, dao động tử điều hoà ở trạng thái cơ bản

KếT LUậN

Trong quá trình thực hiện đề tài về bài toán dao động tử điều hoà, chúng tôi đã tham khảo một số tài liệu và kiến thức đã học Qua đó chúng ta phần nào hiểu rõ hơn về dao động tử điều hoà và các yếu tố ảnh hưởng của

nó

Khi viết đề tài này, tôi nghiên cứu và hoàn thành một số nhiệm vụ sau:

- Lập phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà

- Giải phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà

- Lập các hệ thức của đa thức hermite

- Giải một số bài toán về dao động tử điều hoà

Tuy nhiên đề tài của tôi chỉ dừng lại ở mức độ khái quát với một số bài tập ứng dụng cơ bản và còn nhiều hạn chế mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để đề tài của tôi hoàn thiện hơn

TàI LIệU THAM KHảO

1 – Trần Thái Hoa – Giáo trình cơ học lượng tử – NXB Đại học sư phạm, Hà

Nội – 2006

2 – Phạm Quý Tư – Cơ học lượng tử – NXB giáo dục, Hà Nội – 1986

3 – Geyliskman – Tuyển tập các bài tập cơ học lượng tử – NXB Đại học và

Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1974

4 – I.M.Babacop – Lý thuyết dao động tập 2 – NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệp, Hà Nội 1976

5 – A.N.Matvev – Cơ học lượng tử và cấu trúc nguyên tử – NXB Khoa học và

kỹ thuật, Hà Nội 1975