Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q (2018)

Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa biến dạng q .... Chính với các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề trong vật lý lý thuyết như: quang học p

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2018

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Vật lí, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã quan tâm dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt 4 năm học tập tại trường cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã đặt nền móng, tận tình hướng dẫn và động viên em trong quá trình nghiên cứu để khóa luận được hoàn thành

Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của

em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Ngô Thị Khánh Linh

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan công trình nghiên cứu này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Công trình này không trùng lặp với các kết quả đã công bố

Sinh viên

Ngô Thị Khánh Linh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Đóng góp của đề tài 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH 3

1.1 Dao động tử điều hòa tuyến tính 3

1.1.1 Hàm sóng của dao động tử điều hòa tuyến tính 3

1.1.2 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính lượng tử 6

1.1.3 Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều 15

1.1.4 Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa tuyến tính 17

1.2 Dao động tử Boson 19

1.2.1 Ngưng tụ Bose-Einstein 19

1.2.2 Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson 19

1.2.3 Biễu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson 22

1.2.4 Thống kê Bose-Einstein 24

1.3 Dao động tử Fermion 26

1.3.1 Nguyên lí loại trừ Pauli 26

1.3.2 Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion 27

1.3.3 Thống kê Fermi-Dirac 31

Kết luận chương 1 32

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG q 33

2.1 Dao động tử điều hòa biến dạng q 33

2.1.1 Lý thuyết q- số 33

2.1.2 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q 35

2.1.3 Tính phi điều hòa của dao động tử điều hòa biến dạng q 37

2.1.4 Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa biến dạng q 39

2.2 Dao động tử Boson biến dạng q 41

2.2.1 Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson biến dạng q 41

2.2.2 Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson biến dạng q 42

2.2.3 Thống kê Bose-Einstein biến dạng q 43

2.3 Dao động tử Fermion biến dạng q 45

2.3.1 Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion biến dạng q 45

2.3.2 Thống kê Fermi-Dirac biến dạng q 46

Kết luận chương 2 48

KẾT LUẬN CHUNG 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý lý thuyết là một chuyên ngành của vật lý học, phát triển mạnh mẽ trên cơ sở có nội dung vật lý và phương pháp toán học Vật lý lý thuyết nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất, lý giải được bản chất của các hiện tượng tự nhiên Trải qua nhiều giai đoạn phát triển, các nhà khoa học nhiều lần biến dạng các quy luật cơ bản để tạo ra các lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu nghiên cứu

Ngày nay, việc nghiên cứu bằng phương pháp đại số biến dạng nhận được nhiều sự quan tâm của nhà khoa học bên vật lý lý thuyết và vật lý toán Chính với các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề trong vật

lý lý thuyết như: quang học phi tuyến, thống kê lượng tử, vật lý chất rắn lượng tử,… Đặc biệt, người ta thấy phương pháp này rất hiệu quả khi nghiên cứu hình thức luận dao động tử biến dạng lượng tử Dao động tử biến dạng chính là sự biến dạng của các dao động tử điều hòa phụ thuộc vào một hay nhiều thông số biến dạng và khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị nào

đó thì dao động tử biến dạng lập tức trở lại dao động tử điều hòa Xuất phát từ

lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q” làm đề tài nghiên cứu của mình

Với đề tài này, tôi mong muốn tìm hiểu tổng quan dao động tử điều hòa biến dạng q trên cơ sở nghiên cứu các hệ thức giao hoán, phản giao hoán tương ứng, áp dụng lý thuyết trường lượng tử để xây dựng các thống kê lượng

tử biến dạng q Tìm hiểu và biểu diễn ma trận của các toán tử trong vật lý

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày một số tính chất của dao động tử điều hòa tuyến tính

- Nghiên cứu về dao động tử điều hòa biến dạng q

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động tử điều hòa tuyến tính

- Nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng q bằng lí thuyết biến dạng

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp vật lý lý thuyết: Phương pháp vật lý thống kê, phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng

tử và các phương pháp giải tích khác

6 Đóng góp của đề tài

Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q có những đóng góp quan trọng trong lý thuyết lượng tử nói chung nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH

1.1 Dao động tử điều hòa tuyến tính

1.1.1 Hàm sóng của dao động tử điều hòa tuyến tính

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,

chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F kx dọc theo một đường thẳng nào đó. 1

Xuất phát từ phương trình Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính có:

Với năng lượng E trạng thái của hạt được biểu diễn bằng hàm sóng  x

thỏa mãn phương trình Schrodinger:

n n n



 ( a0 ≠ 0) trong đó:

v    v  nv   Mặt khác, H n  là đa thức Hermite tương ứng trong toán học thỏa mãn phương trình sau:

H    H    nH   (1.8) Tiếp theo, để xác định dạng tường minh của hàm sóng  x ta so sánh hai phương trình trên với N n là một hệ số có kết luận:

kết hợp với tính chất của Hermite:   2

2 3

1.1.2 Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính lƣợng tử

Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng:

Để thuận tiện ta dùng các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc: 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

.2

   

Mặt khác các toán tử ˆa và ˆa

cũng đƣợc biểu diễn ngƣợc lại theo ˆpvà

Ta sẽ chứng minh đƣợc các toán tử ˆa

, ˆa đã thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Nhƣ vậy khi tìm hiểu về phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa quy

về bài toán tìm các véctơ riêng và trị riêng Hamiltonian (1.17) và các toán tử

Định lí 1: Các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

Tiếp theo, ta xét véctơ trạng thái â n bằng cách tác dụng các toán tử â

lên véctơ trạng thái n Áp dụng công thức (1.19) tác dụng lên véctơ trạng

thái này toán tử Nˆ có

Từ hệ thức trên ta thấy véctơ trạng thái ˆa n cũng là véctơ trạng thái riêng

của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-1) Tương tự như vậy, dễ dàng chứng tỏ

được rằng ˆa n ,2 ˆa n … lần lượt là véctơ trạng thái của toán tử 3 Nˆ ứng với

Điều đó có nghĩa là véctơ trạng thái ˆa n

cũng là một véctơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n +1) Tương tự ta có  2  3

ˆ , ˆ

a n a n ,… cũng là véctơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với các trị riêng (n +2), (n+ 3),

Kết hợp định lí 1 và định lí 2 ta xét nếu n là trị riêng của toán tử Nˆ thì

chuỗi các số không âm n-1, n-2 , n-3,…cũng là trị riêng của toán tử Do chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin :

Xét véctơ trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nminta có:

min

vì nếu ˆa nmin ≠ 0 thì véctơ trạng thái ứng với trị riêng (nmin – 1) nmin, trái

với giả thiết là nmin là trị riêng nhỏ nhất Từ (1.15) ta có:

So sánh 2 phương trình (1.26) và (1.27) ta đi tới định lí như sau :

Định lí 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là n min có giá trị bằng 0

Theo định lí 3, véctơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất Nˆ được ký hiệu

là 0 gọi là trạng thái chân không, véctơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện:

Khi đó: ˆ 0a 0 tỉ lệ với véctơ riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng n1,

 2

ˆ 0

a tỉ lệ với véctơ riêng 2 của Nˆ ứng với trị riêng n2,…,

 aˆ n 0 tỉ lệ với véctơ riêng n của Nˆ ứng với trị riêng n

1 là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng

1

112

Vậy ta có định lí sau:

Định lí 4 : Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được biểu

diễn bằng công thức:

1.2

0

12

E  ≠ 0

Để tìm ý nghĩa của các toán tử ˆ ˆ ˆN a a, , ta làm nhƣ sau:

Xét trạng thái 0 ứng với năng lƣợng thấp nhất là :

0

12

lƣợng tử Toán tử Nˆ với giá trị nguyên không âm, cách nhau 1 đơn vị nên

đƣợc đoán nhận là toán tử số lƣợng tử năng lƣợng Toán tử â khi tác dụng lên

n cho 1 trạng thái tỉ lệ với n1 nên đƣợc đoán nhận là toán tử hủy lƣợng

tử năng lƣợng Toán tử â + khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ với

1

n nên đƣợc đoán nhận là toán tử sinh lƣợng tử năng lƣợng Nếu cho rằng lƣợng tử năng lƣợng là một hạt thì toán tử Nˆ nhất định là toán tử số hạt, â nhất định là toán tử hủy hạt, â + nhất định là toán tử sinh hạt Do đó toán tử n

ứng với năng lƣợng sau:

=> n n N nˆ = n a a nˆ ˆ Mặt khác: n aˆ n* n1

1.1.3 Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều

Dao động tử điều hòa một chiều được coi như một thí dụ đơn giản khi nhắc đến quỹ đạo pha Khi xét chất điểm chuyển động chỉ có một bậc tự do, cho nên để làm tọa độ suy rộng q ta có thể lấy khoảng cách từ chất điểm tới vị trí cân bằng dọc theo đường thẳng đó  3

Động năng của dao động tử được biểu diễn qua xung lượng suy rộng

pmv như sau:

 2 2

ñ

p E

m

Thế năng biểu thị qua tọa độ suy rộng qx:

2

.2

Đối với dao động tử điều hòa động năng trung bình bằng thế năng trung bình Thật vậy:

Có  2  2 2cos2  ,

m q p

Hình 1: Đồ thị biểu diễn quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa 1 chiều

Năng lƣợng toàn phần của dao động tử là không đổi

1.1.4 Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa tuyến tính

Để đơn giản ta đi tìm các đại lƣợng đối với 1 dao động tử sau đó mở rộng ra với hệ gồm N dao động tử tuyến tính độc lập Đầu tiên, việc tìm tổng trạng thái đối với một dao động tử của hệ, dao động tử đó có thể nằm trong các trạng thái:  1 , 3

1.2

2 1

1

1exp

2

n n

n

n n

Z E

T



    Với N N o (N o là số Avogadro) có:

Theo (1.36) ta thấy khác với các fermion, hệ các boson không hề triệt tiêu khi

có các chỉ số  trùng nhau Có nghĩa là mỗi trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng được Khi ở nhiệt độ đủ thấp các boson có tính chất khác hẳn các fermion, chúng dồn hết xuống trạng thái cơ bản, tương ứng đó là trạng thái có năng lượng thấp nhất Tiếp đó, mật độ boson ở trạng thái cơ bản có thể đạt tới mức vĩ mô tạo thành một trạng thái vật chất đặc biệt gọi là trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein

Ý nghĩa: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein tồn tại chính là một hệ quả

của nguyên lí bất khả phân biệt các hạt boson đồng nhất

1.2.2 Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson

Tìm hiểu về các hệ nhiều hạt có một phương pháp được áp dụng nhiều chính là phương pháp diễn tả các trạng thái của hệ bởi các véctơ chuẩn hóa trong một không gian Hilbert, đồng thời sử dụng các toán tử sinh hạt và huỷ hạt trong dao động tử điều hoà để kiến tạo các véctơ trạng thái nhiều hạt   1 2

Gọi ˆa , ˆ

a lần lượt là các toán tử hủy, toán tử sinh của dao động tử

boson, thỏa mãn các giao hoán tử sau:

Lại có toán tử số dao động Nˆ dạng:

Xét trạng thái n là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n dao động tử ứng

với trị riêng n Khi đó trong không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng

a n

Suy ra biểu thức (1.44) đúng với n1,2

Giả sử nếu đúng tiếp với n k ta có

Nghĩa là (1.44) đúng với n k 1 Vậy (1.44) đúng với mọi n

1.2.3 Biễu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson

Chúng ta biết rằng, trong biểu diễn số hạt các dao động tử boson đƣợc đặc trƣng bởi các toán tử sinh, hủy hạt ˆ ˆa a, tuân theo hệ thức giao hoán: 1

nm nm

Giả sử ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson ˆa a,ˆ

đƣợc biển diễn nhƣ sau:

1.2.4 Thống kê Bose-Einstein

Để xây dựng thống kê Bose-Einstein có rất nhiều hướng phát triển, một cách làm từ việc sử dụng linh hoạt các phương pháp trong lý thuyết trường lượng tử Sử dụng phương pháp này ta xuất phát từ công thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lí F tương ứng với toán tử Fˆ được xác định:

1.3 Dao động tử Fermion

1.3.1 Nguyên lí loại trừ Pauli

Đƣợc đánh giá phù hợp hoàn toàn với cơ học lƣợng tử, rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng của các fermion, một nguyên lí cấm do Pauli đƣa ra có nội dung đƣợc phát biểu nhƣ sau: “Nếu có một bộ 4 đại lƣợng động lực (L L L S1, 2, 3, z) bất kì đủ để đặc trƣng cho trạng thái của một hạt, thì trong

hệ fermion không thể có hai hạt có trạng thái đặc trƣng bởi 4 số (L L L S1, 2, 3, z) giống nhau ”   1 , 2

Thật vậy, giả sử trong hệ có 2 hạt k và j ở trong hai trạng thái giống

Theo giả thiết: a j,k  a k j, nên a k j,  a k j, nên suy ra:

Ý nghĩa: Nguyên lí loại trừ Pauli là một hệ quả của nguyên lí bất khả

phân biệt các hạt đồng nhất, đóng vai trò quan trọng trong sự phân loại vật liệu thành các chất bán dẫn, kim loại và điện môi Ngoài ra, nguyên lí này cho phép giải thích đƣợc sự phân bố các điện tử theo các trạng thái trong nguyên

tử và thiết lập cơ sở lý thuyết của sự sắp xếp các nguyên tố trong bảng phân hạng tuần hoàn Mendeleev

1.3.2 Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion

Gọi ˆ,b ˆb

lần lƣợt là các toán tử hủy, toán tử sinh của dao động tử fermion Với 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào, ta xét hai véctơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau  và    1

Kết hợp (1.56) (1.57) và (1.58) suy ra các toán tử sinh hạt fermion phải thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán sau:

Cộng các phương trình (1.62) - (1.65) theo từng vế ta đuợc:

 b bˆ ˆ,  1,

 2 2

Xét trạng thái n , tác dụng các toán tử ˆ ˆ b b,  lên trạng thái ta có:

Trong đó: Hˆ là toán tử Hamiltonian Hˆ Nˆ , là năng lượng của một dao

Kết luận chương 1

Trong chương này tôi đã nêu được tổng quan lý thuyết về dao động tử điều hòa tuyến tính Đưa ra được hàm sóng, phổ năng lượng, quỹ đạo pha, tổng trạng thái, nội năng, nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính Tìm hiểu một số dao động tử là boson và fermion Trong đó, khi tìm hiểu về hai dao động tử trên tôi đi sâu tới các hệ thức giao hoán của toán tử boson, phản giao hoán của các toán tử fermion, hai thống kê tương ứng là Bose-Einstein và Fermi-Dirac Những kết quả trên sẽ là cơ sở cho chương 2