LTDH ... TÍCH PHÂN HÀM NHỊ PHÂN THỨC

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC I.

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON

MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC

I Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức

Có dạng x m(a bx n)p dx







 với ,a bR m n p, , , Q n p, ,  0

Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau

Cụ thể xét bộ ba số p; m 1; m 1 p



TH 1: Nếu pZ thì ta đặt xt q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n

TH 2: Nếu m 1 Z p, s, r s, Z ,r s,  1





t  abx hoặc t abx n

Đặc biệt

- Nếu p r Z

s

  ta chỉ được đặt t abx n

- Nếu p r Z

s

  và p 2,3, ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  TPTP một lần, khi 2 p  3 TPTP hai lần, …

TH 3: Nếu m 1 p Z p, s, r s, Z





n r n

a bx

t x





Bài tập giải mẫu:

TH 1: Nếu pZ thì ta đặt q

xt với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n

Bài 1: Tính tích phân sau

 

4

dx I







Giải:

Ta có

 

1 1

1 1

dx



2

m  n p  Z q

Cách 1:

Đặt

2

2

x t

x t

dx tdt

 

  





Đổi cận 4 2



Khi đó

2

2

1

1

Cách 2:

2

1 1

x t

  



   





2

2

1

t t



TH 2: Nếu m 1 Z p, s, r s, Z ,r s,  1





t  abx hoặc t abx n

Đặc biệt

- Nếu p r Z

s

  ta chỉ được đặt t abx n

- Nếu p r Z

s

  và p 2,3, ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  TPTP một lần, khi 2 p  3 TPTP hai lần, …

Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau

1

0

1

I x x dx

Giải:

Phân tích

I x x dxx x xdx

2

m

n



Cách 1:

Đặt

xdx tdt

  

 





1

I   t t dt  t t dt  t t dt t  t  

Cách 2:

Đặt

2 2

1 1

2

xdx



 





1

I   t t dt  t t dt  t t dt   t  t  

Cách 4:

Đặt xcost dx sintdt

Cách 4.1

Đặt sint u costdt du

Khi đó

1 2 (1 )

0

I  u u du  u u du   

Cách 4.2

0



Cách 4.3

2

t



Cách 5:

Cách 3: Đặt 2

2

dt

t x  xdx

Bài 3: Tính tích phân

3 2

x dx I

x







Giải :

Cách 1: Đặt

3 2

2

1

2

x t

t x

xdx t dt







Đổi cận 7 2

1 0

t x

t x











4

3 2

1

1

t t dt

t x

Cách 2:

Đặt

2 2

1 1

2

x t

xdx









1 0

t x

t x











1

1

t dt

t





2 3

Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần

2

2

1

1 4

2

d x x







Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân

4

2

dx I

x x







Giải:

Phân tích

4

2

9 9

dx

I

x x









2

m

n



Đặt

xdx tdt

  





4 7

t x













Khi đó

7

5

4

9

I

t

x x







Cách 2:

Đặt

2 2

9 9

2

x t

xdx





 Khi đó

25

1

1

2

9

dt I

t t





 đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt

2

2

u t

udu dt

 

  





… bạn đọc giải tiếp nhé

Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau:  

1

6

0

1

I x x dx

Giải:

I x x dxx x x dx

n



Cách 1:

Đặt

2 3

3

1

dt

x dx









I   t t dt  t t dt t t dt    

Cách 2:

Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau  

2

2 0

1

I x x dx

Giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Đặt  12 22 1

2

du x dx

u x

x

dv xdx v







I  x  x x dx  x x dx    

Cách 2:

Đặt t x 1 x t 1

dx dt

 



   







Khi đó

3 34 1

1

I  t t dt  t t dt   

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích

x x x x  x x  x x

0

2

2

0

I  x  x x dx    



Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân

Ta có x x 12 x11x12 x13 x12

I  x dx x dx x d x  x d x     

TH 3: Nếu m 1 p Z p, s, r s, Z





n r n

a bx

t x





Bài 7: Tính tích phân sau

2

dx I







Giải:

2

m

n



2

2 2

1

x

t x





Đặt

2 2 2

2 2

2 2

1 1 1

1

x t x

t





  

 





Đổi cận

5 2

2 1

2

x

t











Ta có

2

2 2

6

2

1

2

t

t

x

Bài 8: Tính tích phân sau:  



1

3 1 4 3

1 3

dx x

x x

HD:















1

3

1

3 3 1 2

1 1

1

dx x x

1 3

1

x x dx

3

m

n



2

dt dx t

     ….I 6 bạn đọc tự giải

Bài 9: Tính tích phân sau

3

2 3 3

2

(1 )

dx I

x





Giải :

2

m

n

Đặt

2

2 2

1

( 1)

x

t

tdt x

xdx

t









Đổi cận

2 3 3

3 3

3 2

x

t x

t



 







Khi đó

2

2

3

2 3

I



Bài tập tự giải:

Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân

2

3

dx I

x x





HD:

Đặt

2 3

2

3 1

1

t



Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân

4 2 7

1 7 ln

6 4 1

dx I

x x





Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân

2

2 2 3

12 1

dx I

x x







Cách 1:

2

1

1

t



vàttanu,

2 u 2

   , 2

1

dt du

t  

Cách 2: Đặt

2

1 , 0;

dx



cos

x

t











 2

π 0;

t

x

sin

1



C2: Đặt x2  1 t

C3: Đặt x2   1 t

C4: Đặt x 1

t



1  x 1 x 

Bài 4: Tính tích phân

2 1

0 1

x

x







C1: Đặt xtant

C2: Phân tích 3  2 

1

x x x   x

C3: Đặt

2

2

1

u x

x

x

 













C4: Đặt x  t

x dxx xdx x   d x 

Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân

0

141 20 1

x

x





Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân

5

x

x





Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân

3

3 2 1

14 3 1

5

I x x  dx

Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân

9 3 1

468 1

7

I  x x dx  

Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân

1 2 0

2 2 1 1

3

I x x  dx 

Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân

3

1

105

I   x  x dx 

Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân

1

0

6 3 8

5

I x x  dx 

Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân

1

0

8 1

105

I x x dx

Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân

1 2 0

1

ln 2 2 1

x

x





0

2

9

Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân

3

2 2

1

3 1

3 12 1

dx

I

x x







Bài 16: Tính tích phân

2 3

3

3 2 2 1

dx I

x x





b Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức





      với với ,a bR m n p, , , Q n p, ,  0

Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau

Nếu m 1 Z p, s, r s, Z ,r s,  1





t abu x  hoặc n 

tabu x

Đặc biệt : Nếu p r Z

s

  ta chỉ được đặt n 

t abu x

Ta xét các thí dụ sau đây

Thí dụ 1 (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau

ln 5 2

x x

e

e





Lời giải

2

1 1

x

x

e

e





  thì đây chính là tích phân nhị thức với

2

m

n



       và   x

u x e

Đặt

2

1

2

x x

x

e t

e dx tdt









2

t tdt

t



Cách khác: Đặt x 1

e   t

Thí dụ 2 (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau

1

1 3ln ln

e

x





Lời giải

1 3ln ln

ln 1 3ln ln

x



2

m

n



      và u x lnx

Đặt

2 2

1 ln

3

1 3ln

2 3

t x

x t

dx

tdt x





 



x e t



Khi đó

2

1

I   t dt  t t dt     

Cách khác: t  1 3lnx

Thí dụ 3 (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau

1

ln 2 ln

e

x





Lời giải

1

2 3

ln 2 ln

ln 1 ln ln

x



3

m

n



      và u x lnx

Đặt 3 2 ln2 3 2 ln

2

x

x

Đổi cận

3 3

3

x e t





3 4

3

3

3

3 3 2 3

t

I  t t dt  t dt  

Cách khác: Đặt 2ln x2  t

Thí dụ 4 (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau

1

ln

2 ln

e

x







Lời giải

Ta có

2

2 2

ln

2 ln

e

x





1

n



        và u x lnx

Đặt

2 ln

x t

dt x

 









ln

2

3 1 ln

2 3

t

Thí dụ 5 (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau

ln 3

3

x x

e dx I

e





Lời giải

Ta có

3 3

1 1

x

x

e dx

e





  thì đây chính là tích phân nhị thức với

2

m

n



u x e

Đặt 2

t e   tdt e dxdx tdt

Khi đó

2

3 2

2 1

2

tdt I

t t

Thí dụ 6 Tính tích phân sau

2

1

dx I







Lời giải

1

1

dx







  đây là tích phân nhị thức với m 3,n2,p   1 Z

Đặt

2 2

1 1

2

x t

xdx











Ta có

1

x

Khi đó

5

2

Thí dụ 7 Tìm nguyên hàm:

2 39

1

x dx I

x







Lời giải

Ta có

2

39 2

1

x dx

x





n



Đặt t  1 xx  1 t dx dt

Khi đó

 2

2

t dt



Thí dụ 8 (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau

2

0

sin 2 cos

1 cos

x x

x









Lời giải

Phân tích

2

1 2

sin 2 cos sin cos



với m2,n 1,p  1 Z và u x cosx

dt xdx

x t

 



 



2 0

t x

t x















 



1 2

2

2 0

sin cos 1 cos



Lời giải

m n p Z và u x cosx

xdx dt

x t

 



 



Đổi cận 2 1

2 0

t x

t x















 



2 17 1

1

I   t t dt  t t dt    

Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như

trong lý thuyết

Thí dụ 10 (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau

2

0

sin 2 sin

1 3cos

x











Lời giải

sin 2 cos 1

2 cos 1 3cos cos 1 3cos cos

1 3cos

x





Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u x cosx với I ta có 1 m n 1 m 1 2 Z

n



     và với I 2

ta có m 0,n 1 m 1 1 Z

n



Vậy chung qui lại ta có thể

Đặt

2 2

1 cos

3

1 3cos

3

1 3cos

t x

x t

dx x







2 0

t x

t x















 



Khi đó

3 1

2

1

t

I    dt  t  t 



Thí dụ 11 (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau

2

0

sin 3

1 cos

x

x









Lời giải

3

1 2





hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m 2,n 1,p 1 Z m 1 3 Z

n



        và u x cosx nên ta

sin

x t

dt xdx

 





Đổi cận 2 1

2 0

t x

t x















 



2

2

1

t

Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau

Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau

3

2

1

15

ln 1

e

x





Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau

ln 2 2

0

2 2 3 1

x x

e

e





Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I = dx

x x

x e

1 1 ln

3





Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau

1

3 2 ln 10 2 11

3

1 2 ln

e

x





Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau

1

(ln 2 1) 2

e

x

x x





Bài 7: Tính tích phân sau

3 2

3 2

1

27 ln 2

1 3ln

e

x





Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau

2

I   e  e dx  e  e e dx

Bài 9: Tính tích phân sau ln 5 

ln 2

1 1

x

e









Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau

2

2 0

2 6 ln

4

1 cos

x

x







Bài 11: Tính tích phân sau 2  2 3

0

15 sin 2 1 sin

4



Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau

3 2

2 0

sin cos

1 cos

x









Bài 13: Tính tích phân

3 6

0

ln 2

x









Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau

3 3 0

6 ln 2

dx I

x x





Bài 15: Tìm nguyên hàm

3

x dx



Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long

Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa