Đề Toán vào 10

Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể.. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được 2 3bể nước.. a Chứng minh tứ gi

KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ I

NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

-Bài 1 (2,0 điểm).

1 Thực hiện phép tính : A = 3 2 - 4 9.2

2 Cho biểu thức P = a + a a - a

a +1 a -1

   với a 0; a 1≥ ≠ .

a) Chứng minh P = a -1

b) Tính giá trị của P khi a = 4 + 2 3

Bài 2 (2,5 điểm).

1 Giải phương trình x2- 5x + 6 = 0

2 Tìm m để phương trình x2- 5x - m + 7 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức

x12+x22=13

3 Cho hàm số y=x có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : 2 y= - + 2x

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Bằng phép tính hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)

Bài 3 (1,5 điểm).

Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể

Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được 2

3bể nước.

Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ?

Bài 4 (3,0 điểm).

Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn Kẻ đường thẳng đi qua S (không

đi qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N Gọi H là giao điểm của

SO và AB; I là trung điểm MN Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E

a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp trong một đường tròn

b) Chứng minh OI.OE = R2

Bài 5 (1,0 điểm) Cho xy + xz + yz = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x4 + y4 + z4

-KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ 1

NĂM HỌC 2011 - 2012 Đáp án chấm Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 : (2,0 điểm)

Bài 1.1 (0,5 điểm)

3 2 - 4 9 2 = 3 2 -12 2 = -9 2

Bài 1.2 (1,5 điểm)

a) Chứng minh P = a - 1:

P = a + a a - a

a +1 a -1

a ( a +1) a ( a -1)

= ( a +1)( a -1) = a -1 Vậy P = a - 1

b) Tính giá trị của P khi a = 4 + 2 3

( )2

a = 4 + 2 3 = 3+ 2 3 +1 = 3 +1 = 3 +1

P = a -1 = 3 +1-1 = 3

0,25điểm 0,25điểm

0, 5 điểm

0,25 điểm

0,5 điểm 0,25 điểm

Bài 2 : (2,5 điểm)

1 (0,5 điểm)

Giải phương trình x2 − 5x + 6 = 0

Ta có ∆ =25 24 1− =

Tính được : x1= 2; x2 = 3

2 (1,0 điểm)

Ta có ∆= 25 4( m 7)− − + = 25 + 4m −28 = 4m − 3

Phương trình (1) có hai nghiệm x x1 2; ⇔ ∆ = 4m − 3 ≥ 0 ⇔ 3

4

m≥

Với điều kiện 3

4

m≥ , ta có: 2 2 ( )2

x + x = x + x - x x =13

⇔ 25 - 2(- m + 7) = 13

⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1 ( thỏa mãn điều kiện )

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

3.(1,0 điểm)

a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) :

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

Bảng giá trị tương ứng:

b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình :

x2 + x -2 = 0 ; Giải phương trình ta được x1 = 1 và x2 = -2

Vậy tọa độ giao điểm là (1 ; 1) và (-2 ; 4)

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

Bài 3 (1,5 điểm)

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể nước là x (h) và thời gian vòi thứ hai

chảy một mình đầy bể nước là y (h).

Điều kiện : x , y > 5.

Trong một giờ, vòi thứ nhất chảy được 1

x bể.

Trong một giờ vòi thứ hai chảy được 1

y bể.

Trong một giờ cả hai vòi chảy được : 1

5 bể.

Theo đề bài ta có hệ phương trình :

 + =





 + =



Giải hệ phương trình ta được x = 7,5 ; y = 15 ( thích hợp )

Trả lời : Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể nước là 7,5 (h)

(hay 7 giờ 30 phút )

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể nước là 15 (h)

0,25 điểm

0,25 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

4

2

-5 -2 -1 O 1 2 5

y

x

1

Bài 4 (3,0 điểm)

Vẽ hình đúng

a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp trong một đường tròn :

Ta có SA = SB ( tính chất của tiếp tuyến)

Nên ∆SAB cân tại S

Do đó tia phân giác SO cũng là đường cao ⇒ SO⊥AB

I là trung điểm của MN nên OI ⊥MN

Do đó SHE SIE· = · =1V

⇒ Hai điểm H và I cùng nhìn đoạn SE dưới 1 góc vuông nên tứ giác IHSE nội tiếp

đường tròn đường kính SE

b) ∆ SOI đồng dạng ∆ EOH ( g.g)

⇒ OI OS OI.OE OH.OS

mà OH.OS = OB2 = R2 ( hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB)

nên OI.OE = R2

c) Tính được OI= R R2

2

Mặt khác SI = 2 2 R 15

SO OI

2

R 3( 5 1)

SM SI MI

2

−

Vậy SESM = SM.EI R 3 3( 5 1)2

−

=

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

E

H

A I M

B

N

Bài 5 (1,0 điểm)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(xy + xz + yz)2 ≤ ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 )

⇔16 ≤ ( x2 + y2 + z2 )2 (1)

Mặt khác: ( x2 + y2 + z2 )2 ≤ ( 1 + 1 + 1 )( x4 + y4 + z4 ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 3( x4 + y4 + z4 )≥ 16

⇔ x4 + y4 + z4 ≥

3 16

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z = ±

3 2

Vậy min P =

3 16

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ II

NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

-Bài 1 (3 điểm):

A) Giải hệ phương trình sau:





2x-3y=-13 3x+5y=9

B) TÝnh 1) 2 5− 80+ 125

2)

1 3

1 1

3

1

+

−

C) Cho phương trình: x2 + mx - 4 = 0 (1) (với m là tham số)

1 Giải phương trình (1) khi m= 3

2 Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm m để:

x1(x2 + 1) + x2(x2 + 1) > 6

Bài 2 (1.5 điểm):

Cho biểu thức: B = ( - )( - ) với b > 0; b≠ 9

1 Rút gọn B

2 Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên

Bài 3(1.5 điểm):

Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu ? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau

Bài 4 (3.0 điểm):

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao BM, CN của tam giác cắt nhau tại H

1 Chứng minh tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

2 Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

3 Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao tam giác ABC luôn nhọn Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn nhất

Bài 5 (1.0 điểm):

Cho a, b là c ác số dương thảo mãn a + b = 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 +

ab 33

-Hết

-KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ 2

NĂM HỌC 2011 - 2012 Đáp án chấm Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

1 Cho phương trình: x2 + mx - 4 = 0 (1) (với m là tham số)

1 Giải phương trình (1) khi m= 3:

- Phương trình trở thành: x2 + 3x - 4 = 0

- Vì tổng các hệ số: 1 + 3 + (-4) = 0 nên phương trình có nghiệm

x1=1 v à x2=- 4

Vậy khi m = 3 th ì phương trình có 2 nghiệm x1=1 v à x2=- 4

0,25

0,5 0.25

2 Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm m để:

x1(x2 + 1) + x2(x2 + 1) > 6

- Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thì: ∆ ≥ 0 mà ∆ = m2 + 16≥16 với mọi m

Khi đó theo Vi-ét ta có:







−

=

−

= + (**) 4

(*) 2

1

2 1

x x

m x x

- Ta lại có x1(x2 +1)+x2(x2 +1)> 6<=> x1x2+x1 +x2x2+x2 > 6<=>

x1x2(x1+ x2) + x1+ x2> 6 <=> (x1+ x2)(x1x2+1)>6 (***)

- Thay (*), (**) vào (***) ta có: -m(-4+1) > 6 <=> 3m>6 <=> m >2

- Vậy khi m >2 th ì phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

x1(x2 +1)+x2(x2+1)> 6

0,25

0,25 0,25 0,25

2 Bài 2 (2.0 điểm):

Cho biểu thức: B = = ( + )( - ) với b > 0; b≠9

1 Rút gọn B

Với b > 0; b≠9 B =















+

−

−

− +

+

b 3

3 b 3)

b 3)(

b (

3) b 3)(

b ( 3) b 3)(

b (















+

3 b 3) b 3)(

b (

b 12

=  b+3 4

0,5 0.5

2 Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên

B =  b+3

4 nguyên khi b +3 là ước của 4 vì b +3≥3 nên

b +3 = 4 hay b =1 <=> b=1

- Vậy với b = 1 thì B đạt giá trị nguyên

0,5 0.25 0,25

3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và các điểm A, B thuộc

parabol (P) vơi xA = 2, xB = - 1

1 Tìm toạ độ các điểm A, B và viết phương trình đường thẳng AB

- Tọa độ điểm A: xA = 2=> y = 22= 4 Vậy A(2;4)

- Tọa độ điểm B: xB = -1=> y = (-1)2= 1 Vậy B(-1;1)

- Gọi đường thẳng qua A(2;4), B(-1; 1) có dạng y = ax + b (AB)

- Vì (AB) qua A(2; 4) nên 2a + b = 4(i)

- Vì (AB) qua B(-1; 1) nên -a +b = 1(ii)

- Lấy phương trình (i) trừ (ii) ta được 3a = 3 => a = 1 khi đó =>b= 2

Vậy đường thảng AB có dạng: y = x +2

0,25 0,25

0,25 0.25

2 Tim n để đường thẳng (d): y = (2n2 - n)x + n + 1 (với n là tham số) song

song với đường thẳng AB.

- Đường thẳng AB: y = x+2 song song với (d) y = (2n2-n)x+n+1 thì: 2n2-n

=1(u) và n+1 ≠2(v)

Giải (u) ta được n = 1; và n =

-2

1 kết hợp với (v) n≠1

Nên với n= -

2

1 thì AB song với (d)

0,5 0,25 0,25 4

1 Chứng minh BCMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

- Lấy I là trung điểm BC Suy ra:BI= CI = MI = NI

nên B ,C, M, N cách đều điểm I nên tứ giác BCMN nội tiếp trong một đường tròn

0.25

0.5 0,25

2 Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh tứ giác BHCK

là hình bình hành Ta có:

ABK = 900 = (góc nội tiếp)=> BK⊥AB nên BK∥CH(*) Tương tự:

ACK = 900 = (góc nội tiếp)=> CK⊥AC nên CK∥BH(**) Từ (*) và (**)

suy ra BHCK là hình bình hành

0,5

0.25 0,25

3 Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao tam giác ABC luôn nhọn Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn nhất

Gọi I là giao điểm AH và BC, F là trung điểm của BC Vì khi A thay đổi BC cố định và lam giác ABC luôn nhọn nên H nằm trong tam giác ABC Nên S∆BCH = BC.HI lớn nhất khi HI lớn nhất (BC cố định), HI lớn nhất => AI lớn nhất => I≡

F mà F là trung điểm của BC nên ∆ABC cân tại A => AB = AC=> A bằm chính giữa lớn cung BC

0,25 0,25 0,25 0,25

Cho a, b là c ác số dương thảo mãn a + b = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2

+ b2 +

Ta có (a-b)2≥ 0 => a2+b2≥ 2ab và (a+b)2≥ 4ab hay ab≤ 4 => ≥

Nên khi đó P = a2 + b2 + ≥ 2ab + + ≥

≥ 2 + =16 + =

Dấu "=" xảy ra khi 2ab= và a=b hay ab = 4 và a = b =>a = b= 2

Vậy Min P = khi a = b = 2

0,25 0,25

0,25