Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng ABCD, có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung
Trang 1ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC SỐ 32 Môn thi : TOÁN - lµm bµi:180 phót
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số 2 4
1
x y x
−
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Câu II (2,0 điểm):
1 Giải phương trình: 2 2
x x = + + − + + −
2 Giải phương trình: sinx+sin2 x+sin3 x+sin4x=cosx+cos2 x+cos3x+cos4x
1
ln
ln
1 ln
e
x
+
∫
Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh
a Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h
Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
P
PHẦN RIÊNG(3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2+y2+4 3x− =4 0 Tia Oy cắt (C) tại A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có
phương trình
2 3
2 (t R)
4 2
= +
= − ∈
= +
Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình trong tập số phức: z2+ =z 0
B Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2,0 điểm):
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo
BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng:
( ) 2 1 0 ; ( ') 3 3 0
x y x y z
x y z x y
.Chứng minh rằng hai đường thẳng (∆) và ( '∆ ) cắt nhau Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi (∆) và ( '∆ )
Trang 2Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: 2 2 2
log 3 log log log 12 log log
- Hết
-ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 24
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
1 TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiên: ' 6 2 0 x D
( 1)
y x
+
=> hs đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và ( 1;− +∞), hs không có cực trị 0.25 Giới hạn: xlim→±∞y=2, limx→−1− y= +∞, limx→−1+ y= −∞
=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2
BBT
x -∞ -1 +∞
y’ + +
y
+∞ 2
2 -∞
0,25
0.25
+ Đồ thị (C):
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( )2;0 , trục tung tại điểm (0;-4)
f(x)=(2x-4)/(x+1) f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x y
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0.25
Trang 3Trung điểm I của AB: I ; 2 2
Có : AB MN. 0
I MN
∈
uuur uuuur
0.25
=> 0 (0; 4)
2 (2;0)
=>
Đặt t= x+ +1 3−x , t > 0=> 2 2 4
3 2
2
t
Với t = 2 1 3 =2 1( / )
3
x
x
= −
2 sinx+sin2 x+sin3x+sin4x=cosx+cos2 x+cos3x+cos4x 1,0
TXĐ: D =R
sinx+sin x+sin x+sin x=cosx+cos x+cos x+cos x
(sin ) 2 2(sin ) sin 0
2 2(sin ) sin 0
x cosx
x cosx x cosx
4
x cosx− = ⇔ = +x π kπ k Z∈
0,25
+ Với 2 2(sin+ x cosx+ ) sin + x cosx=0, đặt t = sinx cosx+ (t∈ − 2; 2 )
được pt : t2 + 4t +3 = 0 1
3( )
t
t loai
= −
t = -1
2
2 2
m Z
= +
= − +
Vậy :
( ) 4
2 2
= − +
0,25
1
ln
ln
1 ln
+
I1 =
1
ln
1 ln
e x dx
x + x
∫ , Đặt t = 1 ln x+ ,… Tính được I1 = 4 2 2
2
1
ln
e
I =∫ x dx, lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 = e - 2 0,25
Trang 4I = I1 + I2 = 2 2 2
3 3
M N
A
B
S
S'
H
K
SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : V V= S ABCD. −V S AMND.
0,25
S AMND S AMD S MND
0.25
1 2
S ABD S ACD S ABCD
S AMND S ABCD S ABCD
2
5 24
CâuV Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc :
P
2a b 2 (a b)a2 ab b2
1 3
a ab b
a ab b
+ + (Biến đổi tương đương)
1
3
a ab b
a ab b
Tương tự: 2 3 3 2 1( ); 2 3 3 2 1( )
3
=> P 2,≥ P=2 khi a = b = c = 1⇔x = y = z = 1
II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm)
A Chương trình chuẩn
Pt đường thẳng IA : 2 3
2 2
=
= +
, 'I ∈IA => I’( 2 3 ; 2t t+2), 0,25
Trang 52
AI = I A⇔ = =>t I
uur uuur
0,25
(C’): ( )2 ( )2
Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B
(MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB
0.25 0,25
z = x + iy ( ,x y R∈ ), z2 + z = ⇔0 x2−y2+ x2+y2 +2xyi=0 0,25
2 2 2 2
0
xy
=
⇔
0 0 0 1 0 1
x y x y x y
=
=
=
= −
0,25
B Chương trình nâng cao
Câu
VI.b
2.0
1 BD∩AB B= (7;3), pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7
A AB∈ ⇒A a+ a C BC∈ ⇒C c − c a≠ c≠ ,
I = 2 1; 2 17
a c+ + a− +c
I∈BD⇔3c a− − = ⇔ = − ⇒18 0 a 3c 18 A c(6 −35;3c−18) 0,25
M, A, C thẳng hàng MA MCuuur uuuur, cùng phương => c2 – 13c +42 =0 7( )
6
c loai c
=
=
c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.25
2.
Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, (∆)∩( '∆ ) = A 1;0;3
2 2
(0; 1;0) ( )
M − ∈ ∆ , Lấy N ( ')∈ ∆ , sao cho: AM = AN => N
AMN
∆ cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi (∆) và (
'
Trang 6Đáp số:
Câu
VII.b
TXĐ: 0
0
x y
>
>
⇔
=
2
3 x 2 y
=
⇔
=
4 3 4 3
log 2 2log 2
x y
=
⇔ =
(Học sinh giải đúng nhưng không theo cách như trong đáp án, gv vẫn cho điểm tối đa tương
ứng như trong đáp án ).
