Khảo sát và vẽ C.. Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ Môn thi: TOÁN HỌC – Khối A, B
Thời gian: 180 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I:
Cho hàm số y x 2 C ( )
x 2
+
=
−
1 Khảo sát và vẽ ( )C
2 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A 6;5 (− )
Câu II:
1 Giải phương trình: cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
π
+ = + + ÷
.
2 Giải hệ phương trình:
3 3
2 2 3
x y 1
x y 2xy y 2
+ =
+ + =
Câu III:
Tính
4
2 3x 4
dx I
cos x 1 e
π
− π
=
+
∫
Câu IV:
Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC bằng 2 Với )
giá trị nào của góc α giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Câu V:
Cho a, b,c 0 : abc 1.> = Chứng minh rằng:
1
a b 1 b c 1 c a 1+ + ≤
+ + + + + +
Câu VI:
1 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1;0 , B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5( ) (− ) (− ) ( ) và đường
thẳng d : 3x y 5 0− − = Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích
bằng nhau
2 Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:
x 1 2t
x y 1 z 2
d : ; d : y 1 t
z 3
= − +
Câu VII:
Tính:
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN 2
Câu I:
1 a) TXĐ: ¡ \\ 2{ }
b) Sự biến thiên của hàm số:
-) Giới hạn, tiệm cận:
+) x 2lim y→ − = −∞, lim yx 2→ + = +∞ ⇒ =x 2 là tiệm cận đứng.
+) xlim y→−∞ =xlim y 1→+∞ = ⇒ =y 1 là tiệm cận ngang.
-) Bảng biến thiên :
( )2
4
x 2
= − < ∀ ≠
−
c) Đồ thị :
-) Đồ thị cắt Ox tại (−2;0) , cắt Oy tại (0; 1− ) , nhận I 2;1 là tâm đối xứng ( )
2 Phương trình đường thẳng đi qua A 6;5(− ) là ( )d : y k x 6= ( + +) 5. (d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
Trang 3( )
2
2 2
x 2
x 2
4x 24x 0
4
x 2
+
+ + = − × + + =
= − = −
−
− + + − = + − − = = = −
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = = −
−
Suy ra có
2 tiếp tuyến là : ( )1 ( )2
x 7
d : y x 1; d : y
4 2
= − − = − +
Câu II:
2
1 cos x cos3x 1 2 sin 2x
4 2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x
2cos x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 0
cos x cos x sinx cos2x 0
cos x cos x sinx 1 sinx cosx 0
2 cos x 0
4
1 sinx cosx 0
sin x
4
π
+ = + + ÷
π
= + π
=
π
⇔ + = ⇔ = − + π
+ − =
−
÷
1 2
2
4
x k2
5
4 4
= −
π
= + π
= + ππ
= − + π
⇔ ⇔ = − + π
π π
− = − + π
= π
π π
− = + π
Trang 4( )
2
x y
4 x y
2 x y
xy 2 xy
x y
2x
y
x
x 2, y 2
x 3
2x
2 x
+ = − + − ÷ = − ÷
⇔
+ = + =
=
− = − −
+ = + =
=
= =
+ =
= = −
= − = = −
= − =
− =
Câu III:
( ) ( )
2
2
3
2
1
2
d x
I
x x 1 2 x x 1 2 t t 1
+ + + + + +
+ + +
÷ ÷
÷
Đặt u 3tan y, y ; du 3 dy2
π π
= ∈ − ÷⇒ = ×
3 dy
3
2 cos y 1 tan y 3 6 3
4
= ⇒ = = ⇒ =
π
× × +
Câu IV:
Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM Ta có:
Trang 5( )
2
2
2 SABCD
SMN ,d A; SBC d N; SBC NH 2
SI MI.tan
sin cos
V
3 sin cos 3.sin cos
sin sin 2cos 2 sin sin 2cos
1 sin cos
3
V min sin cos max
s
α
= α = =
α α
⇒ = × × =
α α α α
α + α + α
⇒ α α ≤
⇔ α α
in 2cos cos
3
α = α ⇔ α =
Câu V:
Ta có:
3
3 3 3
3 3 3 3
+ = + − + ≥ +
⇒ + + ≥ + + = + + = + +
Tương tự
suy ra OK!
Câu VI:
1 Giả sử M x; y( )∈ ⇔d 3x y 5 0.− − =
N
M I
D
C S
H
Trang 6( ) ( )
AB
CD
MAB MCD
AB 5,CD 17
AB 3;4 n 4;3 PT AB : 4x 3y 4 0
CD 4;1 n 1; 4 PT CD : x 4y 17 0
S S AB.d M;AB CD.d M;CD
4x 3y 4 x 4y 17
3x y 5 0
4x 3y 4 x 4y 17
3x y 5 0
3x 7y 21 0
= =
⇒ − ⇒ − + =
+ − − +
⇔ × = × ⇔ + − = − +
− − =
⇒ + − = − +
− − =
+ − =
⇔
uuur uuur
uuur uuur
7
M ;2 ,M 9; 32 3
3x y 5 0
5x y 13 0
− − =
− + =
2 Gọi M d∈ ⇒1 M 2t;1 t; 2 t , N d( − − + ) ∈ ⇒2 N 1 2t ';1 t ';3(− + + )
1
1
MN 2t 2t ' 1; t t '; t 5
2 2t 2t ' 1 t t ' t 5 0 MN.u 0
2 2t 2t ' 1 t t ' 0 MN.u 0
6t 3t ' 3 0
t t ' 1 3t 5t ' 2 0
M 2;0; 1 , N 1;2;3 , MN 1;2;4
x 2 y z 1
PT MN :
⇒ − + − + − +
= − + − − + + − + =
⇔
− + − + + =
=
− + + =
⇔− + − = ⇔ = =
−
uuuur
uuuur uur
uuuur uur
uuuur
Câu VII:
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
Ta có:
Trang 7( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )
( )
k 2010
k
k 1 k 1 2011
1 1 2 2 2011 2011
2011 2011 2011
2011 0 0
2011
2 2010! 2 2010!
2 C
1
k 1 k! 2010 k ! k 1 k 1 ! 2010 k !
2 2011!
2 C
2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
1
4022
−
+ − −
⇒ = − × − + − + + −
= − × − + − − =