LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- CHIỀU BIẾN THIÊN – CỰ C TRỊ Hàm số f(x) đồng biến trên (a,b) f’(x) 0 , x thuộc (a,b)
Hàm số f(x) nghịch biến trên (a,b) f’(x) 0 , x thuộc (a,b)
Bài 1 : Cho hàm số y x3 3x2 mx 1 , m là tham số ,Tìm m để :
a)Hàm số đồng biến trên R b) Hàm số đồng biến trên (3,+oo) c) Hàm số nghịch biến trên (1,3)
HD :
D=R , y ' 3x2 6x2 m
a) Hàm số đồng biến trên R y’ x 0, x R 3x2 6x2 m 0, x R
9 3m 0 m 3
b) Hàm số đồng biến trên (3,+oo) y’ x 0, x 3, 2 2
3x 6x m 0, x 3,
m 3x 6x, x 3,
Ta có g(x)= 3x2 6x , g’(x)=-6x+6 , g’(x)=0 x=1=> m g(3) g(x), x 3,
Giá trị cần tìm là m 9
c) Hàm số nghịch biến trên (1,3) y’ x 0, x 1, 3 2 2
3x 6x m 0, x 1, 3
m 3x 6x, x 1, 3
Ta có g(x)= 3x2 6x , g’(x)=-6x+6 , g’(x)=0 x=1=> m g(3) g(x), x 1, 3
Giá trị cần tìm là m 9
Bài 2 :
a)Định m để hàm số
3
2
mx
3
,nghịch biến trên (1,+oo) b) Định m để hàm số x 1
y 2x m
đồng biến trên(1,+oo)
HD: D=R, y ' mx2 4mx 14
Hàm số nghịch biến trên (1,+oo) y’ x 0, x 1, 2
mx 4mx 14 0, x 1,
Ta có g '(x) 14(2x2 4)2 0, x 1,
(x 4x)
5
Giá trị m cần tìm là : 14
m 5
Hàm số đồng biến trên (1,+oo) y’(x) 0 , x thuộc (1,+oo) m+2>0 , -m/2 <1 m>-2
Bài 3 : a) Tìm m đề hàm số y x3 3 x2 3( m2 1) x 3 m2 1có cực đại và cực tiểu , và các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ
b) Tìm m đề hàm số y x3 3 x2 mx 2có cực đại và cực tiểu , và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y= x+2 c) Xác định m để hàm số y x3 3 ( m 1 ) x2 9 x m đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho yCT xCD 4
HD:
a) D=R , y ' 3 x2 6 x 3( m2 1)
Hàm số có cực đại , cực tiểu y’(x)=0 có hai nghiệm phân biệt <=> m khác 0
Khi đó y’(x)=0 x=1-m,x=1+m
Các điểm cực trị của đồ thị hàm số : A(1-m, -2-2m2),B(1+m,-2+2m2)
Các điểm CĐ, CT cách đều gốc tọa độ OA=OB <=> <=> 1
m 2
b) D=R , y ' 3 x2 6 x m
Trang 2Hàm số cú cực đại , cực tiểu y’(x)=0 cú hai nghiệm phõn biệt <=> m <3, Khi đú y’(x)=0 x=x1,x=x2
Cỏc điểm cực trị A(x1,r(x1)), B(x2,r(x2)) , 2 1
Cỏc điểm A,B cỏch đều đường thẳng y=x+2
2 (m 3) 1 3
m 2 1
3
Kết hợp điều kiện , ta cú giỏ trị m cần tỡm là : m=2
c) Ta có y ' 3 x2 6 ( m 1 ) x 9
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 phương trình y ' 0 có hai nghiệm pb là x1, x2
Pt x2 2 ( m 1 ) x 3 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2
3 1
3 1 0
3 ) 1 (
m
m
+) Theo định lý Viet ta có x1 x2 2 ( m 1 ); x1x2 3
Khi đú , Chia y cho y’ ta được y(x)=y’(x).g(x)+r(x) 2
r x 2(3 (m 1) )x 2m 3
y x 4 (3 (m 1) )(x 2 1 x )2 2
(m 1) 3 ( x x 4x x )) 4 (m 1) 3 1
(m 1) 2 4 3 m 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là 3 m 1 3 và 1 3 m 1
Bài 4 : a) Định m để hàm số
4
2
y m x m m đạt cực tiểu tại x=3, giỏ trị cực tiểu bằng 135
2
b) Định m để cỏc điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số y x4 2mx2 m4 m2 1 tạo thành một tam giỏc đều c) Định m để cỏc điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số 1 4 2 2
2
y x mx m tạo thành một tam giỏc cú diện tớch bằng 1
2
HD:
a) D=R , y ' 2 x3 2( m2 10) x , y’’=6x2+2(m2-10)
Hàm số đạt cực tiểu tại x= 3 , y(3)=8 y’(3)=0, y(3)=8, y’’(3)>0
y’(3)=0 m=1,m=-1
.81 (1 10).9 1 26
2
8 m 26 m 18 0 m=1 , m=9/4 Khi đú m=1 , y’’(3)=54-18>0 thừa món
Vậy giỏ trị m cần tỡm là : m=1
b) D=R , y ' 4 x3 4 mx2 4 ( x x2 m )
Hàm số cú CĐ,CT y’(x)=0 cú 3 nghiệm phõn biệt <=> x2=m cú 2 nghiệm phõn biệt m>0
Khi đú y’(x)=0<=> x=0, x m
Cỏc điểm cực trị A(0, m4-m2+1) , B1,2 ( m m , 4 2 m2 1)
A,B,C lập thành một tam giỏc dều AB=AC=BC m+m4 =4m m=33
c) D=R , y ' 2 x3 8 mx 2 ( x x2 4 ) m
Hàm số cú CĐ,CT y’(x)=0 cú 3 nghiệm phõn biệt <=> x2=-4 m cú 2 nghiệm phõn biệt m<0
Khi đú y’(x)=0<=> x=0, x 2 m
Cỏc điểm cực trị A(0, 4m2) , B1,2 ( 2 m , 4 m2)
A,B,C lập thành một tam giỏc cú diện tớch bằng 1
2 AH.BC=1
2
4 m m 8 1 m 1 / 4
Bài tập tương tự
1) Tỡm m để hàm số 1 3 2
3
f x x m x mx m nghịch biến trờn (1,+oo)
Trang 32) Tìm m để hàm số 3 2
( ) 3 1 3( 1) 3
3)Tìm m để hàm số f x ( ) x3 3 x2 m x2 m có các CĐ và CT đối xứng qua đt x-2y+5=0
4) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y (m 2)x 3 3x2 mx 5 đã cho có hoành độ là các số dương
( ) 1 1 2
3
f x x m x m x đạt cực trị tại x x1, 2 thõa mãn điều kiện: x12 x22 1
7) Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 1 đồng biến trên khoảng (2 ; + )
8) Tìm m để hàm số y x3 3 mx2 3( m2 1) x m 3 m có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O