Đề và đáp án thi thử ĐH số 23

Viết phương trỡnh tiếp tuyến với C, biết tiếp tuyến đú đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.. Tro

Sở GD-ĐT phú thọ

Trờng T.H.p.t long châu sa éỀ THI thử ĐẠI HỌC

NĂM học: 2010-2011 Mụn thi : TOÁN

Thời gian làm bài:150 phút(không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Cõu I:(2 điểm)

Cho hàm số :

1 x 2

1 x y

2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đú đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox

Cõu II:(2 điểm)

1 Giải phương trỡnh: sin 2 cos 2

cot cos sin

4 3

log x log

2

3 x

Cõu IV: (1 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(−2, 0) biết phương trỡnh cỏc cạnh AB, AC theo thứ

tự là 4x + y + 14 = 0; 2x+ y−2=0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B, C.

PHẦN RIấNG (3 điểm)

Chú ý:Thí sinh chỉ đợc chọn bài làm ở một phần nếu làm cả hai sẽ không đợc chấm

A Theo chương trỡnh chuẩn

Cõu Va :

1 Tỡm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8C C1 49

n

2 n

3

2 Cho đường trũn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0

Viết phương trỡnh đường trũn (C') tõm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại cỏc điểm A, B sao cho AB= 3

B Theo chương trỡnh Nõng cao

Cõu Vb :

1 Giải phương trỡnh :log ( x 1 )2 log 3( 2 x 1 ) 2

2 Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc với đáy hỡnh chúp

Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu vuông góc của A lờn SB, SD

Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tớnh thể tớch khối chúp OAHK

……… … ……… Hết………

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

wWw.VipLam.Info Hớng dẫn chấm môn toán

Câu ý Nội Dung Điểm

1 Khảo sát hàm số (1 điểm) 1

• TXĐ: D = R\ {-1/2} • Sựự Biến thiên: , ( )2 3 0 2 1 y x D x − = < ∀ ∈ + Nên hàm số nghịch biến trên ( ; 1) ( 1; ) 2 va 2 −∞ − − +∞ 0,25 + Giới hạn ,tiệm cận: 1

2 lim x y + →− = +∞ 1

2 lim x y − →− = −∞ ⇒ĐTHS có tiẹm cận đứng : x = -1/2 lim 1 2 x y →−∞ = − lim 1 2 x y →+∞ = − ⇒đTHS có tiệm cận ngang: y = -1/2 0,25 + Bảng biến thiên:

0,25

x y’

y

∞

1/2

∞

−

∞ +

-1/2

Phương trình tiếp tuyến (∆) qua A có dạng 

(∆) tiếp xúc với (C) /

x 1 k x 1

x 1 k co ù nghieäm2x 1

+

−

⇔

)2( k1x3

)1( 2

1xk1x

1x

y

x0

I-1/2

11-1/2

cosxcos

x2

(1)

(1)

xsin

x

cosxcos

x

sinx

cosxsin

xsinxsinxcosx2

⇔

( )

xcosxsin

xcosxsinxcosxsin

xxcos − = 2 − 2

⇔

0,25

⇔cosx= −cos2x sin2x 0∧ ≠

⇔2 cos x cosx 1 0 sin2x 02 + − = ∧ ≠

43

logxlog

2

3 x

4x

log

1xlog

2

3 3

wWw.VipLam.Info

22 loglog xx 1 log4 x 1

3 3

−

−+

0,25

Do đó, (1) 3

1log x 1 hay x 4 x hay x 81

=+

=

++

=

2yy

2xxy

yyy

xxxx

C B

C B

C B A G

C B A G

(1)

0,25

Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)C(xC, yC) ∈ AC ⇔ y 25xC 52

C =− + ( 3) 0,25 Thế (2) và (3) vào (1) ta có

0y 1x

2y3x25

25

x14x

2xx

C C

B B

C B

C B

n

0 k

k n k k n

n

x

Hệ số của số hạng chứa x8 là C4n2n−4

7 =

0,25

Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R= 3

Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trungđiểm H của đoạn AB

0,25

Ta có

2

32

ABBH

Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I

Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB Gọi H' là trung điểm của A'B'

35HIMI

494

3MHAH

1694

3'MH'H'A'MA

+BC vuụng gúc với (SAB)

⇒ BC vuụng gúc với AH mà AH vuụng với SB

⇒AH vuụng gúc với (SBC) ⇒AH vuụng gúc SC (1)

(do 2 tam giỏc SAB và SAD bằng nhau và cựng vuụng tại A)

0,25

Ta cú HK song song với BD nờn HK SH HK 2a 2

BD SB= ⇒ = 3 .

0,25

kẻ OE// SC ⇒OE⊥(AHK doSC)( ⊥(AHK)) suy ra OE là đờng cao của

hình chóp OAHK và OE=1/2 IC=1/4SC = a/2 0,5

Gọi AM là đường cao của tam giỏc cõn AHK ta cú

Câu II:

1 Giải phương trình: tgx cotgx

xsin

x2

cosxcos

x

sinx

cosxsin

xsinx2sinxcosx2

⇔

( )

xcosxsin

xcosxsinxcosxsin

xx2cos − = 2 − 2

43

logxlog

2

3 x

4x

log

1xlog

2

3 3

4x

log2

xlog2

3 3

−

−+

−

=+

=

++

=

2yy

2xxy

yy

y

xxx

x

C B

C B

C B A

G

C B A

G

(1)

Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)

C(xC, yC) ∈ AC ⇔ y 25xC 52

C =− + ( 3)Thế (2) và (3) vào (1) ta có

2y3x25

25

x214

B B

C B

+BC vuông góc với (SAB)

⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

⇒AH vuông góc với (SBC) ⇒AH vuông góc SC (1)

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

Ta có HK song song với BD nên HK SH HK 2a 2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0; a 2)

1A

Phương trình tiếp tuyến (∆) qua A có dạng 

(∆) tiếp xúc với (C) /

x 1 k x 1

x 1 k co ù nghieäm2x 1

−

⇔

)2( k1

x

2

3

)1( 2

1xk1

k n k k n n

2 Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R= 3

Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung điểm H của đoạn AB Ta có

2

32

AB

BH

AH= = =

Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I

Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB

Gọi H' là trung điểm của A'B'

35HIMI

MH= − = − =

MH' MI H'I 5 3 13

2 2

4

524

494

3MHAH

1694

3'MH'H'A'MA

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (± 2;0)

2 x2x2 – 2 = m ⇔ 2x2x2 – 2 = 2m (*)

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :

y = 2x2x2 – 2 và (d): y = 2m

Ta có (C’) ≡ (C); nếu x ≤ - 2 hay x ≥ 2

(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu - 2 < x < 2

Theo đồ thị ta thấy ycbt ⇔ 0 < 2m < 2 ⇔ 0 < m < 1

x 1

−

=+

a x

B

MNH

15(x y) x 7y y x : d

⇔ x – 2y + 2z + 1 = 0 Gọi ∆ là đường thẳng bất kỳ qua A

Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q) Ta có :

d(B, ∆) ≥ BH; d (B, ∆) đạt min ⇔∆ qua A và H

Pt tham số

x 1 tBH: y 1 2t

⇔ 2x2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))

Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0

Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Môn thi : TOÁN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

dxI

e 1

=

−

∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ =

2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tíchkhối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB Đườngtrung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 Viếtphương trình đường thẳng AC

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x+ y + z – 20 = 0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song songvới mặt phẳng (P)

Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện z – (3 – 4i)= 2

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1 Gọi I là tâm của (C) Xác địnhtọa độ điểm M thuộc (C) sao cho ·IMO= 300

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x 2 y 2 z

Câu VII.b (1,0 điểm)

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số

2

x x 1y

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (± 2;0)

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 là

Câu II 1) Phương trình tương đương :

3 cos5x (sin 5x sin x) sin x 0− + − = ⇔ 3 cos5x sin 5x 2sin x− =

⇔ 3cos5x 1sin 5x sin x

2 2 2 2

2

x(x y 1) 3

x(x y) x 35

x (x y) x 5(x y) 1

Câu V. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

4

2 3y

4

2 3y

wWw.VipLam.InfoPHẦN RIÊNG

nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 ⇔ 3x – 4y + 5 = 0

2) AB qua A cĩ VTCP AB ( 1;1; 2)uuur= − nên cĩ phương trình :

Câu VI.b 1 (x – 1)2 + y2 = 1 Tâm I (1; 0); R = 1

Ta cĩ ·IMO = 300, ∆OIM cân tại I ⇒ ·MOI = 300

IOM =IMO= , do đối xứng ta sẽ có

2 điểm đáp án đối xứng với Ox

H là hình chiếu của M xuống OX

Tam giác OM H1 là nửa tam giác đều

wWw.VipLam.InfoCâu VII.a Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i

Vậy z – (3 – 4i) = 2 ⇔ (x 3)− 2 + +(y 4)2 =2 ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = 4

Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2

Câu VII.b pt hoành độ giao điểm là :

2

x x 1

2x mx

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009

- Môn thi: TOÁN; Khối: A

ĐỀ CHÍNH THÚC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.

Câu V (1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

( ) (3 )3 ( ) ( ) ( ) ( )3

x y+ + +x z +3 x y x z y z+ + + ≤5 y z+ .

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng:x y 5 0

∆ + − = Viết phương trình đường thẳng AB.

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x 2y z 4 0− − − = và mặt cầu

( )S : x2+y2+ −z2 2x 4y 6z 11 0− − − = Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Câu VII.a (1,0 điểm)

Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0 tính giá trị của biểu thức A = |z 1 | 3 + |z 2 | 3.

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( )C : x2+y2+4x 4y 6 0+ + = và đường thẳng: x my 2m 3 0

∆ + − + = , với m là tham số thực Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x 2y 2z 1 0− + − = và hai đường thẳng

-Hết -1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y(2x 3) (2x 3)

và cắt Oy tại B(0;

2

0 0

2 0

2x 8x 6(2x 3)

0

x 1(L)(2x 3) 1 2x 3 1

Phương trình⇔ cosx - 2sinxcosx = 3 (1 – sinx + 2sinx – 2sin2x)

⇔cosx – sin2x = 3+ 3sinx - 2 3sin2x

⇔ − 3sinx + cosx = sin2x + 3(1 – 2sin2x)

3 2 2

35u 3v 8

u 215u 26u 20 0 vô n do ' 13 15.20 0

Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2}

Câu III.Tính tích phân 2( )

S =S +S =2a +a =3a (E là trung điểm của AB)

3 2

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo

AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ + − =:x y 5 0 Viết phương trình đường thẳng AB.

Giải: Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I.

Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB là x – 4y + 19 = 0 hoặc y = 5

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x 2y z 4 0− − − = và mặt cầu

( )S : x2+y2+ −z2 2x 4y 6z 11 0− − − = Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Vì d(I;(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường tròn

Gọi H là hình chiếu của I trên (P) thì H là giao của mp(P) với đường thẳng qua I, vuông góc với (P)

Gọi H là hình chiếu của I trên ∆.

• Để ∆cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A,B phân biệt thì: IH<R

• Khi đó

2 2 2 2 IAB

− Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách

từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.

9261b 792b 612 121b 440b 400140b 352b 212 0

35b 88b 53 0

b 153b35