Hàm với đối số nguyên

Bộ giáo dục và đào tạoTrờng đại học Vinh--- o0o ---Nguyễn Thị Đào Hàm với đối số nguyên Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số... 82.2 Một số bài toán về phơng trình trên các hàm số số học…

Bộ giáo dục và đào tạoTrờng đại học Vinh - o0o -

Nguyễn Thị Đào

Hàm với đối số nguyên

Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số

1.2 Hàm τ (n), ( )σ n , ( )ϕ n số hoàn chỉnh, số nguyên tố Mersenne 51.3 Căn nguyên thủy và các tính chất 6

Chơng 2: Hàm với đối số nguyên ……… ……… 82.1 Một số tính chất của hàm số đối số nguyên ……….……… 82.2 Một số bài toán về phơng trình trên các hàm số số học………… 17

Ngày nay, trong thời đại công nghệ thông tin, nhiều thành tựu mới nhấtcủa Số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống nh kinh tế, xãhội Đặc biệt qua tìm hiểu các bài toán về mật mã và thông tin gần đây, chúng

ta vẫn thấy xuất hiện các hàm số số học nh là những công cụ có hiệu quả nhất

Với những lý do nêu trên, luận văn này tập trung nghiên cứu về cáchàm số với đối số nguyên, nhằm làm phong phú lý thuyết hàm số trong số họccũng nh tìm tòi thêm các ứng dụng của chúng

Luận văn về "Hàm với đối số nguyên" dành để xét các bài toán liênquan đến các hàm xác định và nhận giá trị trên tập các số nguyên

Nội dung luận văn, gồm hai chơng:

Chơng 1 Các kiến thức cơ sở về hàm số số học

Chơng 2 Hàm số với đối số nguyên

2.1 Một số tính chất của hàm số với đối số nguyên

2.2 Một số bài toán về phơng trình trên các hàm số số học

2.3 Tính toán với các hàm số số học

Phơng pháp nghiên cứu trong luận văn là kết hợp các phơng pháp của lýthuyết hàm số với các kiến thức của số học Một số vấn đề luận văn quan tâmthể hiện qua các tính chất sau đây của các hàm số đối số nguyên

2.2.2 Mệnh đề Không tồn tại một hàm f nào từ tập hợp các số nguyên không

âm vào chính nó sao cho với mọi n, ta luôn có hệ thức:

( ( )) f f n = +n k , với k là số tự nhiên lẻ.

2.2.3 Mệnh đề Cho S = {0,1,2, ,k −1} và Ơ={0,1,2, } Khi đó có k hàm số

: f Ơ →S thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáoPGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kínhtrọng và biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã dành cho tác giả sự hớng dẫn chu

đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán

và các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học trờng

Đại học Vinh, đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này, cũng nh trong suốtkhoá học vừa qua Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các học viên caohọc Khóa XIV Toán về những buổi seminar bổ ích trong nhiều chứng minhchi tiết

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thểgiáo viên và học sinh Trờng THPT Diễn Châu 3– Sở Giáo dục và Đào tạoNghệ An đã động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

Nguyễn Thị Đào

Chơng 1 Các kiến thức cơ sở về hàm số số học

1.1 Hàm nhân, công thức tổng trải

1.1.1 Định nghĩa Một hàm số f xác định trên tập hợp Ơ và nhận giá trị +trong trờng các số hữu tỉ Ô đợc gọi là hàm số học

Ví dụ Các hàm số học , :f g Ơ+ →Ô xác định nh sau đều là hàm nhân:

1.1.4 §Þnh lÝ (C«ng thøc tæng tr¶i) NÕu sè nguyªn d¬ng n cã sù ph©n tÝch

4) Nếu số nguyên dơng n>1 có sự phân tích chính tắc thành các thừa số nguyên

gọi là số Mersenne thứ k Nếu p là một số nguyên tố, và M cũng nguyên tố p

thì M đợc gọi là số nguyên tố Mersenne p

Ví dụ M M M M là các số nguyên tố Mersenne, trong khi 2, 3, 5, 7 M là hợp số.11

1.2.6 Định lí Nếu p là một số nguyên tố lẻ, thì mọi ớc nguyên tố của số

Mersenne M đều có dạng 2 p kp+1 trong đó k là số nguyên dơng.

1.3 Căn nguyên thuỷ và các tính chất.

1.3.1 Định nghĩa Giả sử a và m là các số nguyên dơng nguyên tố cùng nhau.

Khi đó số nguyên nhỏ nhất x thỏa mãn đồng d thức a x ≡1(mod )m đợc gọi làbậc của a modulo m Ta viết x ord a= m

1.3.2 Định nghĩa Nếu r và n là các số nguyên tố cùng nhau, n>0, và nếu

2) NÕu a vµ n lµ c¸c sè nguyªn tè cïng nhau, n>0, th× ord n chia hÕt cho

Chơng 2 Hàm với đối số nguyên

2.1 Một số tính chất của hàm số với đối số nguyên

2.1.1 Mệnh đề Nếu hàm f có các tính chất sau:

1) ( ) f n đợc xác định với mọi số nguyên dơng n

f(2f(1))=2 (2)

Ta sẽ chứng minh rằng:

f(1)=1 (3)Thật vậy, giả sử ngợc lại f(1)≠1 Từ tính chất 2), suy ra (1)f là số nguyêndơng khác 1, nên (1)f có thể viết dới dạng f(1)=k +1, với k nguyên dơng.

Trong (1), thay n=k, thì:

f(2f(k))=2k (4)

Từ tính chất 3), ta lại có:

2f(k)+2f(1)= f{f(2f(k))+ f(2f(1))} (5)Thay (2) và (4) vào (5), ta đi đến:

Vì f(1)≥2 (do f( 1 ) là nguyên dơng và khác 1 nên f(1) ≥ 2) nên từ (7) thu

đợc f(k)<0 Điều này mâu thuẫn với f(k) > 0 (theo tính chất 2)) Tóm lại

- Thật vậy, theo lập luận trên thì (8) đã đúng khi n = 1.

- Giả sử (8) đã đúng đến n, tức là f(n)=n, ta chứng minh (8) đúng với n+1

.Thật vậy theo tính chất 3), dựa vào giả thiết quy nạp f(n)=n, f(1)=1, ta có:

f(n+1)= f(f(n)+ f(1))=n+1

Vậy (8) cũng đúng với n + 1 Theo nguyên lý quy nạp suy ra (8) đúng với mọi

n nguyên dơng 

2.1.2 Mệnh đề Cho hàm f xác định trên tập các số nguyên dơng và nhận giá

trị nguyên dơng Giả sử với mọi n: ( f n+ >1) f f n( ( )). Khi đó ( ) f n =n , với n

∀ .

Chứng minh Để chứng minh mệnh đề 1.2 trớc tiên ta chứng minh bổ đề sau:

2.1.3 Bổ đề Nếu hàm số f :Ơ* →Ơ thỏa mãn: (* f n+ >1) f f n( ( )), với mọi n thì (1) f < f(2)< f(3) <

Chứng minh Gọi S n là mệnh đề sau: ‘‘Nếu r n≤ và m > r, thì ( ) f r < f m( ))”.

Nhng tập hợp { f(1), (2), (3), f f } là tập hợp các số nguyên dơng cho nên phải tồn tại phần tử bé nhất.

Từ đó suy ra phần tử bé nhất của tập hợp này là f(1) Nh vậy ta đã chứngminh đợc f(m)> f(1) với mọi m>1 (chú ý ở đây r=1) Nh thế S1 đúng

Vậy S n+ 1 đúng Theo nguyên lý quy nạp suy ra S n đúng với mọi n nguyên

d-ơng Từ đó ta thấy ngay bổ đề là hiển nhiên đúng

Từ (1)f < f(2)< f(3) < và do f :Ơ* →Ơ nên suy ra: ( )* f n ≥n với mọi n

nguyên dơng

Ta sẽ chứng minh tiếp:

( ) f n ≤n với mọi n nguyên dơng.

Thật vậy, nếu không phải nh thế tức là tồn tại n’ nguyên dơng mà ( ) f n′ >n′,suy ra

( ) f n′ ≥ +n′ 1 (4)

Theo bổ đề, từ (4) ta có:

( ( ))f f n′ ≥ f n( ′+1). (5)

Mặt khác theo giả thiết thì:

Nói cách khác ( )f k =k với mọi k nguyên dơng 

2.1.4 Mệnh đề Nếu hàm số f:Ơ*→Ơ , thỏa mãn các điều kiện sau:*

(điều này dễ suy từ (*), vì phép quy nạp)

Đặt S= ∈{n Ơ*: ( ) 1f n ≠ } Từ (1) suy ra: Nếu f(n)≠1, thì n k< .

Mặt khác, dĩ nhiên n∈Ơ , nên S là tập có hữu hạn phần tử Có hai khả năng:*

1) Nếu S bằng tập rỗng, tức là ( ) 1f n = với ∀ ∈n Ơ , và lúc đó bài toán đã đợc*

giải quyết

2) Nếu S khác tập rỗng Khi đó S có hữu hạn phần tử, nên theo nguyên lý cực

hạn tồn tại phần tử n∗∈S, mà:

vô lý này chứng tỏ S không thể khác rỗng, tức là f(n)=1 với ∀ ∈n Ơ *

2.1.5 Mệnh đề Nếu hàm f có các tính chất sau:

1) f (n) đợc xác định với mọi số nguyên n.

2) f(n+19)≤ f(n)+19 với mọi số nguyên n.

3) f(n+94)≥ f(n)+94 với mọi số nguyên n.

191919)19.2(

1919)19.3(19)19.4()95(

+

≤+++++

≤

≤++++

≤

≤+++

≤++

≤+

n f n

f

n f

n f n

f n

¸p dông liªn tiÕp (3) vµ cã:

f(n+94)≤1+ f(n+93)≤2+ f(n+92)≤ ≤94+ f(n) (4)MÆt kh¸c theo tÝnh chÊt 3), th×:

gåm duy nhÊt hµm ( ) f n = +n k , víi ∀n k, ∈¥ *

Chøng minh V× f:¥*→¥ , nªn tõ gi¶ thiÕt * f n( + >1) f n( ),∀ ∈n ¥ , suy ra:*

f(f(1))− f(1)= f(1)−1 (4)

Từ tính chất (2), thay n = 1, ta có ( (1)) 2 f f = k +1 Thay vào (4) suy ra

2k + −1 f(1)= f(1) 1− , hay: (1)f = +k 1

Thay (1)f = +k 1 vào (3), ta đi đến ∀n k, ∈Ơ , thì*

( )f n = +n k

Đảo lại, dễ thấy hàm ( )f n = +n k thỏa mãn cả hai điều kiện đã cho

Vậy chỉ có duy nhất hàm cần tìm, đó là hàm số:

Vậy giả thiết phản chứng là sai, tức là (1) đúng

Lại theo giả thiết, ta có:

f(3)= f(2+1)= f(2)+ f(1)+10

Dựa vào (2) 0; (1) 0f = f = , thì:

f(3)=10

Theo giả thiết (3) 0f > , vậy:

=+

1

01)3()33

Theo nguyên lý quy nạp, thì (3) đúng với mọi n nguyên dơng.

Rõ ràng (3 )f n >n là điều không xảy ra với mọi n Thật vậy, nếu tồn tại n’

mà f(3n')>n' thì lập luận nh trên, suy ra:

Từ một số mệnh đề trên ta có thể ra một số bài toán cụ thể nh sau:

2.1.8 Bài toán Tìm tất cả các hàm f :Ơ*→Ơ thỏa mãn đồng thời hai điều *

Nh thế, từ giả thiết f(n1)= f(n2), ta đi đến n1 =n2, vậy nếu hàm f thỏa

mãn yêu cầu đề bài, thì trớc hết nó là một đơn ánh

Thay trong điều kiện đã cho m= f(1), khi đó với n∀ ∈Ơ ta có:∗

f f n + f = +n f f +k (2) áp dụng với điều kiện với n=1;m k= , thì:

( (1)f f + = +k) 1 f k k( + ) Thay vào (2) ta có:

( ( )f f n + f(1))= + +n 1 f k k( + ) (3) Lại thay trong điều kiện n bởi n+1 và m bởi k, ta có:

n+ +1 f k k( + =) f f n( ( + +1) k) (4)Bây giờ kết hợp (3) và (4), đi đến:

Hay:

( ) ( (1)f t = f −k t k) +

đặt a= f(1)−k, thì

( )f t = +at k (7)Thay (7) vào điều kiện, ta có:

Tóm lại, nếu f:Ơ*→Ơ thỏa mãn yêu cầu đầu bài, thì ( )* f n = +n k

Đảo lại, nếu ( )f n = +n k, thì dễ dàng thấy f:Ơ*→Ơ thỏa mãn mọi yêu cầu*

đề bài

Vậy ( )f n = +n k là hàm duy nhất thỏa mãn mọi yêu cầu đầu bài. 

2.2.2 Mệnh đề Không tồn tại một hàm f nào từ tập hợp các số nguyên

không âm vào chính nó sao cho với mọi n, ta luôn có hệ thức:

f(f(m))= f(f(n)) (3)

Từ giả thiết và kết hợp với (3), suy ra:

m k n k+ = + ⇒ =m n

Vậy theo định nghĩa, thì f là một đơn ánh.

Từ giả thiết ta lại có:

Theo nguyên lý quy nạp thì (5) đúng với mọi q nguyên không âm.

Xét tập hợp A = {0,1,2, ,k−1} Với mỗi n∈A, xét biểu diễn sau

( ) f n =kq r+ ,

ở đây q, r là các số nguyên, trong đó 0≤ ≤ −r k 1 theo tính chất đã cho của

Xét thu hẹp của f trên A1, tức là xét ( )f n với n ∈ A1.

Nếu n ∈ A1, thì theo định nghĩa của A1 ta có 0≤ f n( )≤ −k 1, tức là

Theo định nghĩa của tập hợp A2, thì f(n)∈A2 Vậy ta có : f A A/ 1: 1 →A2.

theo chứng minh trên f A dĩ nhiên là đơn ánh (vì f là đơn ánh)./ 1

Lấy n A∈ 2 tuỳ ý, tức n A∈ . và k ≤ f n( ) (≤ − +k 1) k. Khi đó

0≤ f n( )− ≤ −k k 1,tức là: ( )f n − ∈k A

Lấy m nguyên lớn hơn hoặc bằng k, và theo (4) ta có:

( )f m = f m k( − +) k (11)

(áp dụng (4) với n m k= − ).

Lại để ý rằng ( )f n ≥k, nên theo (11), thì

( ( ))f f n = f f n( ( )− +k) k (12)Nhng:

Nh thế thu hẹp f A của f trên / 1 A là một song ánh từ 1 A lên 1 A Điều này là2

mâu thuẫn với việc A A có tính chẵn lẽ khác nhau Vậy giả thiết phản1 , 2chứng là sai, tức là không thể tồn tại hàm :f Ơ →Ơ sao cho với mọi n∈Ơ ,thì: ( ( ))f f n = +n k 

( )f k = −k t,

ở đây t là số nguyên thỏa mãn điều kiện 1 t k≤ ≤ (chú ý khi đó k t S− ∈ ) Để

chứng minh tiếp, ta chứng minh bổ đề sau:

Theo nguyên lý quy nạp suy ra (1) đúng với mọi n k≥ .

Nh vậy nếu :f Ơ →S , thì f phải có dạng sau đây:

- Nếu m n k+ ≤ −1, thì dĩ nhiên ,m n∈S, do đó m= f(m),n= f(n) Vậy (*)

Chứng minh Giả sử dãy số n1 =2,n2 =3,n3 =5,n4 =6,n5 =7,n6 =8,n7 =10,

đợc đánh số theo thứ tự tăng dần của tất cả các số tự nhiên, không phải là bìnhphơng của số nguyên

k m

1 ,

1

m k k

k m

+ (*)

Với mỗi giá trị n > 1 có tơng ứng duy nhất một cặp số (k, m), ở đây

*,

k∈Ơ m∈Ơ sao cho n n= k m, (1)Thật vậy, nếu n=n p, ở đây p là số nguyên nào đó mà p≥1 Khi đó chọn

k = p m= , ta có:

n p =( )n p 2 0 =n p

0 , , tức là n=n p,0

Còn nếu n=s2, thì bao giờ cũng viết dới dạng m

lẻ

k nếu

1 , 1

, 1 , )

()(

m k

m k m

k

n

n n

f n f

Ta chứng minh rằng lúc này với mọi n thuộc số tự nhiên, thì

f(f(n))=n2

k m

n n

1 ,

( )2 2

, 1

n k m+ = k m = (3)kết hợp (2) và (3) suy ra f(f(n))=n2 trong trờng hợp này

k m

( )2 1

1 1

, 1

)( = − + = − m+

k m

n n

Vì k chẵn nên k−1 lẻ Do vậy:

, 1 , 1 ,

1 )(

))(

Vì lẽ đó f(f(n))=n2 cũng đúng trong trờng hợp này

Tóm lại, ta đã xây dựng đợc hàm f :Ơ*→Ơ thỏa mãn hệ thức*

f f n( ( ))=n n2, ∈Ơ * Chú ý: Ta hãy xây dựng tờng minh vài giá trị ban đầu của hàm f (n) này Theo định nghĩa (1) 1f =

3

1 1 , 1

2 1 , 2

2.2.6 Mệnh đề Nếu f là hàm số xác định trên tập các số nguyên và nhận giá

trị nguyên thỏa mãn điều kiện:

( f m f f n+ ( ( )))= −f f m( ( +1))− ∀n m n, , ∈Â

Thì ( ) f n =− −n 1.

Chứng minh Giả sử f là hàm số : Â→Â và thỏa mãn điều kiện:

f(m+ f(f(n)))=− f(f(m+1))−n (1)

Với ∀m n, ∈Â Ta dùng kí hiệu f 2(n) để thay cho f ( n f( )).

Vì :f Â→Â , nên ∀m n, ∈Â , thì f m2( )∈Â Trong (1) thay m bởi f 2(m) vàvới∀m n, ∈Â ta có:

f(f 2(m)+ f 2(n))=−f 2(f 2(m)+1)−n (2)Trong (2) thay đổi vai trò giữa m và n ta đợc:

f(f 2(n)+ f 2(m))=−f 2(f 2(n)+1)−m (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

f 2(f 2(m)+1)− f 2(f 2(n)+1)=m−n (4)Chú ý rằng có thể viết lại (1) dới dạng sau:

f(m+ f 2(n))=−f 2(m+1)−n (5)Trong (5), thay m=1, ta có:

f(f 2(n)+1)=−f 2(2)−n (6)Trong (6), thay đổi vai trò giữa m và n, thì:

f(f 2(m)+1)=−f 2(2)−m (7)

Từ (6) và (7) suy ra:

f 2(f 2(n)+1)= f(−n− f 2(2)) (8)Và:

(

f =− + mặt khác, − f(m)+ f(0)=m , do đó với m∀ ∈Â ,thì:

f 2(m)=m (12)Thay (12) vµo (5) vµ ta cã víi ∀m n, ∈¢ :

f(m+n)=−m−n−1 (13)Trong (13) cho m =0, ta cã:

2()2000

- NÕu 5≤k ≤8 Khi Êy:

f(9)= f(3).f(3)=k2 ≤64

§©y lµ ®iÒu v« lÝ, v× f(9)> f(8) VËy 5≤k ≤8 lµ ®iÒu kh«ng thÓ cã.

- NÕu 11≤k ≤15 Khi Êy:

f(2000)=44.253 =4000000 

2.2.8 Mệnh đề Giả sử hàm số f :Ơ*→Ơ thỏa mãn điều kiện:*

f(mf(n))=n2 f(m), với ∀m n, ∈Ơ *

Khi đó, với mỗi số nguyên tố p thì giá trị ( ) f p hoặc là số nguyên tố, hoặc là bình phơng của một số nguyên tố.

Chứng minh Giả sử hàm số f:Ơ*→Ơ thỏa mãn các điều kiện đầu bài Ta*

chứng minh rằng f là đơn ánh Thật vậy, giả sử:

Theo (3), thì f(f(p))=(p)2 Nên từ (5) đi đến:

( )2

)()

Từ mệnh đề 2.2.8 ta có bài toán 2.2.9 nh sau:

2.2.9 Bài toán Hãy chỉ ra một hàm f :Ơ*→Ơ thỏa mãn điều kiện:*

+ +

2,1,0, i với f(p

2,1,0, i với

2 2i

2 1 2

2 2 1 2

)

)(

i

i i

p

p p

f

tức là:

,

,)(

2 3 4

2 1 2

4 3 2 1

p p f p p f

p p f p p f

( ) ( ) ( ) ( )

;

2 2 2 1 2 1 2

2 1 2 2

2

2 1 2 2 2 1

2

+ +

+ +

+

+ +

i i

i

i i

i

p p

f p f p

f p

f f

p p

f p

f f

2 1

k

p p p n N

( ) ( ( ) ) 1( ( ) ) 2 ( ( ) )

2 1

k

k

p f p

f p f n

2 2

2 1 2

1

2 1 2

1 2

1 ff p ff p p p p p p p n p

ff n

f

k k

Từ f( f( )n ) =n2, với mọi n∈Ơ nên với*, ∀m n, ∈Ơ ta có:*

( )

(mf n ) f( )m.f(f( )n ) n2 f( )m

Vậy hàm f:Ơ*→Ơ xác định nh trên thỏa mãn yêu cầu * 

2.2.10 Bài toán Tìm tất cả các hàm số f:Ơ*→Ơ thỏa mãn điều kiện:*

)()()

()())

(

(

2 f m2 +n2 3 = f 2 m f n + f 2 n f m với mọi m≠n

Lời giải

1) Dĩ nhiên nếu f(n)=a, ở đây a là hằng số nguyên dơng, thì thỏa mãn

yêu cầu đề bài (khi đó với mọi n∈Ơ cả hai vế luôn bằng 2a3)

2) Ta chứng minh ngoài các hàm số nói trên, mọi hàm f:Ơ*→Ơ đều*

không thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Thật vậy, giả sử f:Ơ*→Ơ thỏa mãn yêu cầu đề ra, ngoài ra f không đồng*

nhất là hằng số Điều đó có nghĩa là tồn tại ', 'm n ∈Ơ mà ∗ f(m')≠ f(n') Xét m n'', ''∈Ơ∗, mà f(m '')− f(n '') là số nguyên dơng nhỏ nhất Luôn tồn tại

f(n'')< f(m''2+n''2)< f(m'')

Từ đó suy ra:

0< f(m ''2+n''2)− f(n'')< f(m '')− f(n'') (3)