Hàm tử độ đo xác suất fedorchuk bảo toàn một số tính chất tôpô

Các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn một số tính chất tôpô.. Fedorchuk đã xây dựng khái niệm hàm tử độ đo xác suấtvới giá hữu hạn và chứng minh được rằng các hàm tử đó bảo toàn tính chất A

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

§1 Các khái niệm và tính chất cơ bản 4

§2 Các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn một số tính chất tôpô 10

§3 Hàm tử độ đo xác suất tác động trên không gian khả mêtric 17

§4 Các lưới bất biến qua tác động của hàm tử Pk 26

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết tôpô là một ngành toán học rất quan trọng trong chuyên ngànhGiải tích nói riêng và Toán học nói chung Nó đã được bắt đầu xây dựng cáchđây khá lâu và hiện nay đã trở tnành tiền đề không thể thiếu để phát triển

và nghiên cứu các ngành toán học hiện đại

Sự bảo toàn các tính chất tôpô qua các ánh xạ từ lâu đã thu hút được khánhiều người quan tâm Vấn đề đặt ra là liệu nó có bảo toàn qua tác động củahàm tử độ đo xác suất hay không?

Năm 1986, trong bài báo Probability measure and absolute neighborhoodRetract ([4]) V V Fedorchuk đã xây dựng khái niệm hàm tử độ đo xác suấtvới giá hữu hạn và chứng minh được rằng các hàm tử đó bảo toàn tính chất

AN R của không gian mêtric compact

Đến năm 1989, trong bài báo Probability measure preserving the AN property of metric spaces ([5]), Nguyễn Tố Như và Tạ Khắc Cư đã chứngminh được rằng các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn tính chất AN R củakhông gian mêtric tùy ý

R-Quan tâm đến vấn đề các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn một số tính chấttôpô và dựa trên cơ sở bài báo của Tạ Khắc Cư (2003) Probability measureswith finite supports on topological spaces ([6]), tác giả đã chọn đề tài "Hàm

tử độ đo xác suất Fedorchuk bảo toàn một số tính chất tôpô" Luận văn được trình bày theo các mục sau:

§1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Trong mục này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, khái niệm và tính chất

cơ bản dùng cho nội dung các mục sau

§2 Các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn một số tính chất tôpôTrình bày khái niệm độ đo xác suất với giá hữu hạn trên các không gianHausdorff X và xây dựng tôpô Fedorchuk trong Pk(X), trong đó Pk(X) làtập hợp tất cả các độ đo xác suất trên X với giá không vượt quá k điểm

Trình bày một số kết quả về sự bảo toàn một số tính chất tôpô qua tácđộng của hàm tử độ đo xác suất trên các không gian Hausdorff X như: hoàntoàn chính quy, liên thông đường, corút, corút địa phương, tiên đề đếm đượcthứ nhất.

§3 Hàm tử Pk tác động trên các không gian khả mêtric

Chứng minh chi tiết sự bảo toàn tính mêtric hóa được và tính AN R củakhông gian Hausdorff X qua tác động của hàm tử Pk

§4 Các lưới bất biến qua tác động của hàm tử Pk

Đưa ra và chứng minh tính bất biến của các loại lưới qua tác động củahàm tử Pk như: sn-lưới, wcs∗-lưới

Luận văn đã được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình và chu đáo của thầy giáo PGS TS Tạ Khắc Cư Nhân dịp này, tácgiả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy Đồng thời, tác giả xin chânthành cảm ơn các thầy giáo trong tổ Giải tích - Khoa Toán, Khoa Sau đạihọc đã tận tình giảng dạy Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn tất cả các bạn bètrong lớp Cao học 13 - Giải tích đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện cho tácgiả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng

vì năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên sự trình bày nội dung luận văncòn có nhiều thiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong sự đóng góp ý kiến của cácthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện tốt hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

§1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

1.1 Định nghĩa ([2]) Cho một tập hợp X tuỳ ý Họ τ các tập con của

X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn

U chứa x1 nhưng không chứa x2

1.3 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X được gọi là một T2-không gian(hay là không gian Hausdorff ) nếu với mỗi cặp điểm khác nhau x1, x2 ∈ X,tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của x2 sao cho UT V = ∅.1.4 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X được gọi là không gian hoàntoàn chính quy nếu với mỗi điểm x ∈ X và mỗi tập đóng F không chứa x,tồn tại một hàm liên tục f : X−→[0, 1] sao cho f (x) = 0 và f (y) = 1, vớimọi y ∈ F

1.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử X là không gian tôpô, x ∈ X và U (x) là

họ tất cả các lân cận của x Họ B(x) ⊂ U (x) được gọi là một cơ sở lân cậntại điểm x, nếu với mọi U ∈ U (x), tồn tại V ∈ B(x) sao cho x ∈ V ⊂ U Không gian tôpô X được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứnhất, nếu tại mỗi điểm x ∈ X, tồn tại một cơ sở lân cận có lực lượng đếm

1.6 Định nghĩa ([2]) Giả sử X là không gian tôpô, a, b ∈ X Ánh xạliên tục s : [0, 1]−→X sao cho s(0) = a, s(1) = b được gọi là một đường congnối a và b

Không gian tôpô X được gọi là liên thông đường (hay liên thông tuyếntính) nếu với hai điểm bất kỳ a, b ∈ X, tồn tại đường cong s : [0, 1]−→X nối

a và b

1.7 Định nghĩa ([1]) Giả sử X, Y là các T2-không gian Khi đó, ta kýhiệu YX là tập gồm mọi ánh xạ từ X vào Y Trong không gian hàm YX cóthể trang bị tôpô bằng cách cho tiền cơ sở β trong đó, như sau:

Đối với mỗi tập compact X0 ⊂ X và tập mở V ⊂ Y , ta ký hiệu G(X0, V )

là tập tất cả các ánh xạ f ∈ YX sao cho f (X0) ⊂ V Họ β tất cả các tậpG(X0, V ) như thế tạo nên tiền cơ sở của không gian YX Tôpô này gọi làtôpô compact mở

Ký hiệu cặp không gian (X, X0) gồm không gian X và tập con X0 của nó.Cặp (X, φ) ta xem như X

1.8 Định nghĩa ([1]) Ánh xạ cặp ϕ : (X, X0)−→(Y, Y0) được hiểu làánh xạ ϕ : X−→Y , thỏa mãn điều kiện ϕ(X0) ⊂ Y0 Ánh xạ ϕ được gọi làr-ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ ψ : (Y, Y0)−→(X, X0) sao cho ϕψ là ánh xạ đồngnhất trên (Y, Y0)

Trong trường hợp riêng khi Y ⊂ X, Y0 ⊂ X0, thì ánh xạ ϕ : (X, X0)−→(Y, Y0)được gọi là ánh xạ co rút nếu ánh xạ lồng i : (Y, Y0)−→(X, X0) là nghịchphải của ϕ Trong trường hợp này ta nói cặp (Y, Y0) là cái co rút của (X, X0).1.9 Định nghĩa ([1]) Không gian hàm YX gồm tất cả các ánh xạ

ϕ ∈ YX thỏa mãn ϕ(X0) ⊂ Y0, được ký hiệu là (Y, Y0)(X,X0 )

1.10 Định nghĩa ([1]) Các ánh xạ f0, f1 ∈ (Y, Y0)(X,X0 ) được gọi là

đồng luân nếu với mỗi t ∈ [0, 1], tồn tại ánh xạ ft ∈ (Y, Y0)(X,X0 ) liên tục phụthuộc t và thỏa mãn ft=0 = f0, ft=1 = f1 Khi đó, ta cũng nói họ {ft} là họđồng luân nối f0 với f1.

1.11 Định nghĩa ([1]) Tập con A của T2-không gian X được gọi là corút theo không gian X vào tập B ⊂ X, nếu ánh xạ lồng i : A−→X đồngluân với ánh xạ f : A−→X sao cho f (A) ⊂ B

Nếu B chỉ gồm một điểm thì ta nói tập A co rút theo X vào một điểm.Nếu ánh xạ đồng nhất i : X−→X đồng luân với ánh xạ f : X−→X, thỏamãn f (x) = a, với mọi x ∈ X, a là một điểm nào đó của X thì ta nói là X

co rút điểm

1.12 Mệnh đề ([1]) Mọi tập con lồi A của không gian tuyến tính X là

co rút điểm

1.13 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là T2-không gian Khi đó X được gọi

là co rút điểm địa phương tại điểm x0 ∈ X, nếu mỗi lân cận U của x0 chứalân cận U0 co rút theo U về một điểm

Không gian X được gọi là co rút điểm địa phương nếu nó co rút điểm địaphương tại mọi điểm của nó

1.14 Định lý ([1]) Mỗi thành phần liên thông của không gian co rútđiểm địa phương là tập liên thông tuyến tính

1.15 Mệnh đề ([1]) Mỗi tập con lồi M của không gian tuyến tính X

là co rút điểm địa phương

1.16 Định nghĩa ([1]) Không gian X được gọi là một đa diện nếu tồntại một họ J các đơn hình hình học σ sao cho

(3) Nếu các đơn hình σ1, σ2 thuộc J thì σ1T σ2 cũng là mặt của mỗi đơnhình đó;

(4) Tập con G ⊂ X mở khi và chỉ khi GT σ mở trong mỗi σ ∈ J

Họ J được gọi là tam giác phân của không gian X, còn các đỉnh của đơnhình σ ∈ J là đỉnh của J Mỗi đa diện X gọi là một phức đơn hình

1.17 Định nghĩa ([1]) Giả sử G = {Gµ}, µ ∈ M là phủ của không gian

X Ta xem Gµ 6= Gµ0, với µ 6= µ0 Ta giả thiết rằng các phần tử của họ Glập nên cơ sở của không gian vectơ F Nói cách khác F là môđun tự do thựcvới cơ sở G Khi đó, mỗi điểm p ∈ F được biểu diễn một cách duy nhất dướidạng p = X

µ∈M

tµGµ, với các hệ số tµ thực và chỉ có hữu hạn hạng tử kháckhông Nếu như các chỉ số µ0, µ1, , µn khác nhau, thì ta ký hiệu đơn hình

Số tµi được gọi là toạ độ trọng tâm của điểm p, tương ứng với đỉnh Gµi

Ta xem tất cả các đơn hình trừu tượng này là đơn hình hình học bìnhthường Mỗi đơn hình như thế có các đỉnh là các phần tử của phủ G cógiao khác rỗng Còn hợp của chúng với tôpô yếu tạo nên đa diện W với tamgiác phân J Nói cách khác, đơn hình σ thuộc J khi và chỉ khi các đỉnh

1.19 Định lý Kuratowski - Woidyslawski ([1]) Đối với không gianmêtric X, tồn tại không gian định chuẩn Z và đồng phôi h : X−→h(X) ⊂ Z

và h(X) đóng trong bao lồi C(h(X))

1.20 Định nghĩa ([2]) Giả sử X là không gian tôpô Một họ A các tậpcon của X gọi là hữu hạn địa phương nếu với mọi điểm x ∈ X, tồn tại lâncận V của x chỉ giao với một số hữu hạn các tập A ∈ A

Họ A được gọi là σ-hữu hạn địa phương nếu A là hợp đếm được của các

họ hữu hạn địa phương

1.21 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X được gọi là khả mêtric nếutồn tại một mêtric d trên X sao cho tôpô sinh bởi d trùng với tôpô đã chotrên X

1.22 Định nghĩa ([3]) Giả sử P là họ gồm các tập con của X Khi đó(1) P được gọi là lưới, nếu với mọi x ∈ X và U là lân cận bất kỳ của x,tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U

(2) P được gọi là wcs∗-lưới, nếu với mọi dãy {xn} hội tụ đến x ∈ X và U

là lân cận bất kỳ của x, tồn tại dãy con {xni : i ∈ N} của {xn} và P ∈ P saocho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U

1.23 Định nghĩa ([3]) Giả sử X là một không gian, x ∈ P ⊂ X Tanói P là lân cận dãy của x nếu với mọi dãy {xn} hội tụ đến x, tồn tại m ∈ Nsao cho xn ∈ P với mọi n ≥ m

1.24 Định nghĩa ([3]) Giả sử P = [

x∈X

Px là một phủ của không gian

X và với mọi x ∈ X, P thỏa mãn hai điều kiện sau đây

(1) Px là lưới của x;

(2) Nếu P1, P2 ∈ Px thì tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ P1T P2

Khi đó P được gọi là sn-lưới của X, nếu với mỗi x ∈ X thì mỗi phần tử

của Px là lân cận dãy của x.

1.25 Định nghĩa ([2]) Giả sử F là một σ-đại số những tập hợp concủa một tập hợp X Hàm số µ : F −→[0, ∞] gọi là một độ đo nếu

(1) µ(∅) = 0;

(2) µ là σ-cộng tính, tức là nếu A1, A2, là một họ đếm được những tậphợp đôi một rời nhau thuộc F thì

§2 CÁC HÀM TỬ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT BẢO TOÀN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ

2.1 Định nghĩa ([6]) Giả sử X là không gian tôpô Hausdorff Một độ

đo xác suất với giá hữu hạn trên X là một hàm µ : X −→ [0, 1] thỏa mãncác điều kiện sau

(i) supp µ = {x ∈ X : µ(x) > 0} hữu hạn;

x∈supp µ

µ(x) = 1

Với mỗi k ∈ N, ký hiệu Pk(X) là tập hợp tất cả các độ đo xác suất trên

X, với giá không vượt quá k điểm Khi đó mỗi µ ∈ Pk(X) có thể biểu diễndưới dạng

i ∈ Pk(X) ta xây dựng tập O(µ0, U1, U2, , Uq, ε), trong đó

ε > 0, U1, U2, , Uq là các lân cận rời nhau của các điểm x01, x02, , x0q tươngứng (ở đây Ui có thể chọn từ cơ sở tôpô của X), k µi k= X

Dễ thấy họ

O(µ0, U1, U2, , Uq, ε)lập thành cơ sở lân cận tại µ0 theo tôpô trong Pk(X) Tôpô này gọi là tôpôFedorchuk

Trong các Định lý sau ta luôn giả sử X là không gian tôpô Hausdorff và

Pk(X) là không gian tất cả các độ đo xác suất trên X với giá không vượtquá k điểm

2.2 Định lý ([6]) Nếu X là không gian hoàn toàn chính quy thì Pk(X)

là không gian hoàn toàn chính quy

Chứng minh Giả sử X là không gian hoàn toàn chính quy, và

i ∈ Pk(X), và O(µ0, U1, U2, , Uq, ε) là một lân cận của

µ0, với ε > 0 Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một ánh xạ liên tục F : Pk(X) −→ [0, 1]sao cho

Đặt Vi = (m0i− ε, m0i + ε), i = 1, 2, , q và ta giả sử ϕi : [0, 1] −→ [0, 1] làhàm Urysohn thỏa mãn các điều kiện ϕi(m0i) = 1 và ϕi([0, 1] \ Vi) = 0 với mỗi

i = 1, 2, , q và ϕq+1(O) = 1, ϕq+1([ε, 1]) = 0 (4)Khi đó ϕi là hàm liên tục

Vậy Pk(X) là không gian hoàn toàn chính quy

2.3 Định lý ([6]) Nếu X co rút điểm thì Pk(X) cũng co rút điểm

Chứng minh Giả sử X là co rút điểm Khi đó sẽ tồn tại một ánh xạ

ϕ : X × [0, 1] −→ X sao cho

(i) ϕ(x, 0) = x, với mỗi x ∈ X;

(ii)ϕ(x, 1) = a, với mỗi x ∈ X và a ∈ X là một điểm cố định

Ta xác định hàm Φ : Pk(X) × [0, 1] −→ Pk(X) cho bởi công thức

Dễ thấy rằng Φ là hàm liên tục Do đó Pk(X) corút điểm

2.4 Định lý ([6]) Nếu X co rút điểm địa phương thì Pk(X) co rút điểmđịa phương

Chứng minh Giả sử X co rút điểm địa phương

ϕi(x, 0) = x với mỗi x ∈ Ui0,

ϕi(x, 1) = x∗i với mỗi x ∈ Ui0 và x∗i ∈ Ui0

Ký hiệu ϕq+1(x, t) = x với mỗi x ∈ X và t ∈ [0, 1]

Khi đó hiển nhiên ta có O0 ⊂ O.

Ta xác định hàm F : O0 × [0, 1] −→ O cho bởi công thức

x j ∈U 0 i

ta có

F (µ, 1) = µ∗ ∈ O0

Do đó Pk(X) co rút điểm địa phương

2.5 Định lý ([6]) Nếu X liên thông đường thì Pk(X) cũng liên thôngđường

Chứng minh Giả sử X liên thông đường Không mất tính tổng quát ta cóthể giả thiết µ1, µ2 có q điểm giá Khi đó ta có

Ta xác định hàm F : [0, 1] −→ Pk(X) cho bởi công thức

2.6 Định lý ([6]) Nếu X thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất thì Pk(X)cũng thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.

với n ∈ N, Uin ∈ {Uin}, Uin ∩ Ujn = ∅(i 6= j)

Dễ thấy rằng {On} là cơ sở lân cận đếm được của µ0 Do đó Pk(X) thỏamãn tiên đề đếm được thứ nhất

§3 HÀM TỬ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TÁC ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KHẢ MÊTRIC

Trong mục này, nếu không nói gì thì ta hiểu X là T2-không gian và Pk(X)

là không gian tất cả các độ đo xác suất trên X với giá không vượt quá kđiểm

3.1 Định lý Frink ([1]) T1-không gian X mêtric hóa được khi và chỉkhi điều kiện sau được thỏa mãn: Với mỗi x ∈ X, tồn tại cơ sở lân cận{Un(x)}∞n=1 thỏa mãn điều kiện nếu Un(x) là lân cận cho trước, tồn tại chỉ

số m = m(x, n) sao cho Um(y)T Um(x) 6= ∅ thì kéo theo Um(y) ⊂ Un(x).3.2 Hệ quả ([1]) Nếu X mêtric hóa được thì Pk(X) mêtric hóa được.Chứng minh Do X là T1-không gian nên Pk(X) cũng là T1-không gian

Do đó để chứng minh Pk(X) mêtric hóa được ta chỉ cần kiểm tra yêu cầuĐịnh lý Frink đối với Pk(X)

Với mỗi i = 1, 2, , q, ta chọn {Un(xi)}∞n=1 sao cho

Cho trước On(µ) Từ điều kiện εn(γ) < 2−n với mỗi γ ∈ Pk(X) nên tồntại m ∈ N sao cho

εm(γ) < 1

4kmin{εn(γ), mi, i = 1, 2, , q} (3)với mỗi γ ∈ Pk(X) Bây giờ ta sẽ chứng minh

m(µ, n) = max{m, m(xi, n), i = 1, 2, , q}

thỏa mãn các đòi hỏi của điều kiện Frink

Giả sử Om(γ) = Om(γ, V1m, V2m, , Vqm, εm(γ)) với Om(γ) ∩ Om(µ) 6= ∅.Chọn θ ∈ Om(γ) ∩ Om(µ) và ký hiệu θi = θ|Um

Từ k θi k≥ mi − εm(µ) > mi − 14mi = 34mi > εm(γi), i = 1, 2, , q tasuy ra rằng với mỗi i ≤ q tồn tại ít nhất một chỉ số j ∈ {1, 2, , r} sao cho

Bởi vì Ai ⊂ Uim và từ (2) ta suy ra

Bây giờ ta sẽ chứng minh Om(γ) ⊂ On(µ)

Với mỗi ω ∈ Om(γ), ký hiệu ωi = ω|Gi với i = 1, 2, , q + 1, ωij = ωi|Vjvới mỗi Vj ⊂ Gi; θij = θi|Vj với Vj ⊂ Gi

Do ω, θ ∈ Om(γ) ta suy ra

| k ωij k − k θij k |< 2εm(γ)

Nhờ Định lý Frink ta suy ra Pk(X) mêtric hóa được.

3.3 Định lý ([1]) Nếu không gian tôpô X là T1-không gian và là khônggian chính quy, và tôpô có cơ sở σ-hữu hạn địa phương thì Pk(X) cũng cócác tính chất đó

Chứng minh Do X là T1-không gian và là không gian chính quy, và tôpô

có cơ sở σ-hữu hạn địa phương nên X mêtric hóa được Khi đó nhờ Hệ quả3.2 ta có Pk(X) mêtric hóa được Do đó Pk(X) là T1-không gian và là khônggian chính quy, và tôpô có cơ sở σ-hữu hạn địa phương

Vậy định lý được chứng minh

• Giả sử {Un} là dãy các phủ mở của không gian mêtric X và giả sử

n∈N

Un Ký hiệu N (U ) là thần kinh của phủ U Ta viết K ≺ {Un} nếu

và chỉ nếu K là phức đơn hình con của N (U ) và với mỗi đơn hình σ ∈ K thì

σ ⊂ UnS Un+1 với n ∈ N nào đó Ta viết

3.4 Định lý Nguyễn Tố Như ([1]) Không gian mêtric X ∈ AN Rkhi và chỉ khi tồn tại một dãy các phủ mở {Un} của X sao cho với bất kỳ

K ≺ {Un} và với mỗi phép chọn bất kỳ f : K0 −→ X (nghĩa là f (U ) ⊂ U )tồn tại ánh xạ g : K −→ X sao cho nếu {σn} là dãy các đơn hình của Kthoả mãn f (σn0) −→ x0 ∈ X khi N (σn) −→ ∞ thì ta có g(σn) −→ x0

3.5 Định lý ([1]) Nếu X ∈ AN R(M ) thì Pk(X) ∈ AN R(M ) với mỗi

k ∈ N

Chứng minh Giả sử X ∈ AN R Theo Định lý Kuratowski - Woidyslainski

ta có thể xem X như tập con mở của không gian định chuẩn Z nào đó.Với mỗi n ∈ N, ta chọn một phủ mở Wn của X sao cho Wn+1 ≺ Wn

và diam W < 2−n với mỗi W ∈ Wn Đặt W =

Với mỗi n ∈ N ta chọn phủ Vn của X gồm các tập con lồi sao cho

(i) Con V ≺ Wn với mỗi V ∈ stVn;

(ii) Vn+1 ≺ Vn với mỗi n ∈ N