BÁO cáo TRƯỜNG điện từ

CHƯƠNG 6 : BỨC XẠ SÓNG ĐIỆN TỪMục đích: chương 6 giúp tìm hiểu ứng dụng của phương trình Maxwell, giúp hiểu rõ hơn về trường bức xạ của dây dẫn có dòng điện, đặc tính phương hướng của an

BÁO CÁO

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

NHÓM 4

LÊ THỊ PHƯƠNG PHẠM THỊ NGA ĐOÀN HOÀNG TRANG NGÔ VĂN SANG

VŨ VĂN HÀ

LÊ TRỌNG ĐẠI NGUYỄN XUÂN TOÀN ĐOÀN VIỆT TIỆP NGÔ NHẬT THĂNG PHẠM VĂN THIỆU NGUYỄN XUÂN TOÁN

HỒ VIẾT TUYÊN

CHƯƠNG 6 : BỨC XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ

Mục đích: chương 6 giúp tìm hiểu ứng dụng của phương trình Maxwell, giúp hiểu rõ hơn về trường bức xạ của dây dẫn có dòng điện, đặc tính phương hướng của anten, công suất bức xạ và điện trở bức xạ của anten,

hệ số định hướng và hệ số tăng ích của anten, lý thuyết nhân đồ thị phương hướng

6.1 Giải hệ thống phương trình Maxwell theo phương pháp véctơ thế

Ta đã biết hệ thống phương trình Maxwell đầy đủ cả nguồn (J e,e) và từ

)

,

J  là:

Rot H =+

dt

E d

J e



Rot

dt

H d J







e



 (6.3)



m

H

Từ đây ta cũng có thể viết cho từng nguồn:

 Nguồn điện ta có J P e, e  0 còn J m  m  0

Ta có hệ phương trình với nguồn điện:

Rot H =J e d dt E



Rot

dt

H d

e

D

0

Ta có hệ phương trình với nguồn từ :

RotH    d dt E (6.9)

Rot

dt

H d J







0



D

m

B

Ta chỉ cần giải cho một nguồn điện hoặc từ sau đó suy ra được nghiệm của nguồn kia theo nguyên lý đổi lẫn của hệ thống phương trình Maxwell Ta giải cho nguồn điện Từ phương trình (6.8) ta có divB 0, trong toán học có div(rot…)=0

Ta đặt B  rot A e gọi A e là vectơ thế điện, ta có divB 0 phương trình không có gì thay đổi Từ B  rot A e ta suy ra:

e A rot H



1



Từ phương trình (6.6) của nguồn điện:

Rot

dt

H d

E    hay rot E dB

dt



Mặt khác ta có : B  rot A e nên

) (rot A e dt

d E

Hay:

e d

dt

Từ đó suy ra: ( ) 0

e dA rot E

dt

Theo tính chất thế của trường là rot (a)=0 thì a là trường thế và biẻu diễn trường theo thể ta có:

e

e dA

dt

Hay

dt

A d gradU E

e

e



e A rot H



1

Trong đó U e gọi là thế vô hướng của điện Lúc này ta có nghiệm của E

và H thong qua hai biến trung gian e, e

A U của nguồn điện, dựa vào nguyên lý đổi lẫn trong hệ thống phương trình Maxwell ta có E và H của nguồn từ:

dt

A d gradU H

m

m 



m

A rot E



1



m

m U

A , là vectơ thế vô hướng của từ

Khi tồn tại cả nguồn điện và nguồn từ, theo nguyên lý xếp chồng ta có:

E tổng E  e E m , H tổng=H  e H m

Nghiệm tổng quát là :

dt

A d gradU



1







H tổng=-grad 1

m

Từ nghiệm trên ta thấy các thành phần E, H phụ thuộc vào hai biến trung gian A và U, ta đi tìm quan hệ A, U và nguông J và 

Trên phương trình (6.5) của nguồn điện ta viết lại:

e J dt

E d H

rot   

e J dt

E d B

rot    



Thay B và E với nghiệm trên vào phương trình (6.5) ta có:

dt

A d gradU dt

d

A   (   )  

Sau khi biến đổi toán học ta có:

e e

e e

dt

A d dt

dU grad A

div grad



2

e e

e e

dt

A d dt

dU A

div grad



2

Ta đặt:

0





dt

dU A

div

e

e 

Và gọi là phương trình chuẩn tĩnh (vế trái các đạo hàm của A,U nên ta cộng thêm các hằng số sao cho phương trình thỏa mãn)khi thỏa mãn phương trình chuẩn tĩnh, phương trình trên còn gọi là:

2 2

2

e

dt

Trên phương trình(6.6) của nguồn điện ta có:

div D = pe hay div E=

e

p



Ta thay bằng nghiệm của nguồn điện ta có:

div(-gradUe

-

e

A

d

dt )=p e



Hay : -grad(divUe) - d (divA ) e



Mặt khác khi đã thoả mãn phương trình chuẩn tĩnh ta có:

e

A

dt



Thay vào trên và chú ý grad(div)=▽2 ta có:

-▽2 Ue +

2 m

A

d dt

 (6.21)

Đối với ngồn từ theo nguyên lý đổi dẫn ta có:

-▽2

m

2 A m

d dt

 =J m (6.22) -▽2Um + d2U2m

dt

m

 (6.23)

Bốn phương trình trên biểu thị quan hệ giữa A,D với nguồn, khi có nguồn ta giải tìm được A,D khi có A,D ta tìm được E,H Ta thấy bốn phương trình trên có dạng hoàn toàn như nhau, nên chỉ cần giải một phương trình dễ dàng suy ra nghiệm của các phương trình kia

Để đưa Etổnng và Htổng và các phương trình trên về dạng đơn giản, ta giả thiết nguồn là một sóng đơn sắc

Sóng đơn sắc ta có:

d A

dU

dt = jU

2 2

d A

dt = -2A

2 2

d U

dt = -2U

Phưong trình chuẩn tĩnh sẽ có: div

A+j U= 0

Ta viết lại bốn phương trình trên:

-▽2

e

A - k2

e

A = J e (6.24)

-▽2 Ue –k2Ue = p e

 (6.25)

-▽2 m

A - k2 m

A = J m (6.26)

-▽2 Um – k2Um =p

m

 (6.27)

Với: k2=

A e

d dt

2 2

v



=

2

2



Nghiệm của hệ thống cả nguồn điện và từ được viết lại cho nguồn dòng:

E tổng= grad div A e j A e rot A m

H tổng = grad div A m j A m rot A m

1 )

(

1



(6.29)

Ta giải một trrong bốn phương trình trên (6.24)

Để giải ta giả thiết nguồn biến thiên rất chậm, suy ra:

0





dt

dU dt dA

Phương trình (6.20) còn lại :

e

A   

2

Đây là dạng của phương trình Poastion, có nghiệm tổng quát đã cho:





4





e

r v

r t J V

) ( 

V là thể tích chứa J e

R là khoảng cách từ điểm lấy tích đến điểm khâỏ sát

V vận tốc truyền lan của song (trong không gian v=C=3.10 8m/s)

Hoàn toàn tương tự ta sẽ có:

dV r v

r t J A

v

m

) (



dV r v

r t U

v

e

) ( 4

1





dV r v

r t U

v

m

) ( 4

1





Công thức trên với nguồn biến thiên chậm Nếu nguồn biến thiên điều hòa với J J0.e jt ta có thể viết lại nghiệm của hệ thống

dV r e

J

v

e

4

)

1 ( 0















dV r e J

v

e

.













(6.34)

dV r e

J

v

m

4

) 1 ( 0















dV r e J

v

m

4













(6.35) Khi có các phần A của nguồn ta có E và H cần tìm, cụ thể khảo sát phần sau

6.2 TRƯỜNG BỨC XẠ CỦA DÂY DẪN CÓ DÒNG ĐIỆN.

Giả thiết: dây dẫn đặt trong không gian rộng vô hạn và đẳng hướng để

trường khảo sát tại một điểm chỉ có một tia song tới Đặt dây dẫn trong hệ tọa

độ vuông góc Gốc tọa độ tại điểm giữa của dây dẫn

R- khoảng cách từ điểm khảo sát tới gốc tọa độ;

r- khoảng cách từ điểm lấy tích phân tới điểm khảo sát;

ρ- khoảng cách từ điểm lấy tích phân tới gốc tọa độ;

- là góc hợp bởI (R và ρ)

V- thể tích chứa Je;

Hình 6.1 Bức xạ của dây dẫn có dòng điện

Muốn tìm E,H tại điểm khảo sát Từ (6.34) ta có:

 

v

dV

r

1 e J 4

A e e - jkr





r  R   | r | R 2 2 2 cos r







Khai triển r theo chuỗi Taylor và chú ý: R, r >>  ta xem

R R

1 r

1 cos -R r 0

thay vào biểu thức trên ta có:

  

v

dV R

) cos jk(R e

J 4 A









  

v

dV R

R

) cos jk(R e -jkR

J e 4 A









(6.36) Đặt: ( )

R

e -jkR

R



 Gọi là hàm pha khoảng cách

G (θ )

R

e J

jkpcos e







v

gọi là hàm bức xạ

Ta viết gọn lại phương trình trên:

( ) ( )

4

A e









G R



*

R

e

(R)  -jkR

 Hàm pha khoảng cách:

+R << r: Là trường khu gần vớI k 2



 , suy ra e -jkR 1

 Điều đó chứng tỏ trường khu gần không phụ thuộc vào góc pha khoảng cách + R >> r: Trường khu xa e -jkR 1

 Trường khu xa phụ thuộc vào góc pha khoảng cách Trường khu xa còn gọi là trường bức xạ Trường bức xa không thể bỏ qua sai pha khoảng cách

*

jkpcos

e

v

e







+ G (  ) phụ thuộc vào hàm phân bố J etrong V

+ Nếu J e là hàm khả tích mớI tính được: G (  ) tính được A e ta có (E,H)

Ta chỉ khảo sát 3 trường hợp:

e

J là hàm không đổi

e

J là hàm tuyến tính (sóng chạy)

e

J là hàm điều hòa (sóng đứng)

+ G (  ) hàm bức xạ phụ thuộc vào hướng khảo sát

Góc  là góc hợp giữa trực oz và hướng khảo sát Mặt phẳng chứa góc  là mặt phẳng chứa trục oz

Góc  là góc hợp bởI (ox) và hình chiếu trước đó xuống mặt phẳng xoy Mặt phẳng chứa góc  là mặt phẳng () Từ đó suy ra mặt phẳng  và mặt phẳng  luôn luôn vuông góc vớI nhau

Trong không gian véctơ G (  ) có thể viết:

G (  )= G (  ) +G (  )

Chú ý: ở hệ tọa độ đềcác: Gx,Gy,Gz

G (  )= cos .cos.Gx + sin.cos.Gy - sin.Gz

G (  )= - sin.Gx + cos .Gy

Ta đã có:

  ( , )

4











G R

   ( , )

4





G R



Thay vào nghiệm E tq, H tq ta có:





4 )

θ,

(





w G

i G

w G

R

jk

)).

(

1 ) ( ( )).

(

1 ) ( ( 4

)

θ,

(

Ta có thể biểu diễn theo từng thành phần:

    



4 ) (

tq    (6.41)     



4 ) (

tq    (6.42)   





W

E i

i W

E tq

) ( ) (

) ( )

(

Htq     (6.43)   





W

E i

i W

E tq

) ( ) (

) ( )

(

Htq    (6.44) Đây là nghiệm tổng quát để xác định trường của nguồn khi biết hàm phân bố dòng trong đó

6.3 ĐẶC TÍNH PHƯƠNG HƯỚNG CỦA ANTEN ( NGUỒN BỨC XẠ )

Các thành phần của trường bức xạ phụ thuộc vào hướng khảo sát G ,  Gọi f (  , ) là hàm phương hướng thì ta có thể gán:

f( ) = W.Ge ( ) + Gm  (6.45) f() = W.Ge () – Gm  (6.46)

Và f ( , ) là hàm véctơ nên có thể viết:

f  ,  =        



 , e j.arg f , f

* f  ,   : hàm phương hướng biên độ;

* j.arg f ,  

e   : hàm phương hướng pha

Như vậy đặc tính phương hướng của anten gồm đặc tính phương hướng biên độ và đặc tính phương hướng pha

Đặc tính phương hướng biên độ:

Định nghĩa: Đặc tính phương hướng biên độ của một anten hoặc một

nguồn bức xạ trong không gian là một bề mặt chứa tất cả các đầu mút véctơ biên độ của trường trong không gian

Thực tế đặc tính phương hướng biên độ trong không gian rất phức tạp

và không thể biểu diễn được cho nên người ta chỉ biểu diễn đặc tính phương hướng trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng   và mặt phẳng  

Và đặt là:

  

f và f  

Biểu diễn:

  ,  

f = f   + f 

Hoặc hai mặt phẳng chứa véctơ E và mặt phẳng chứa véctơ H cùng vuông góc với nhau, gọi là mặt phẳng E và mặt phẳng H, do vậy có thể viết:

  ,  

f = f E  ,   + f H  ,  

Định nghĩa: Đồ thị phương hướng biên độ của một nguồn bức xạ (anten)

trong một mặt phẳng nào đó là một đường được vẽ bởi đầu mút véctơ biên độ của trường trong mặt phẳng đó

Đồ thị phương hướng biên độ của anten không phụ thuộc vào biên độ dòng điện ở trong anten đó Vì vậy khi vẽ đồ thị phương hướng người ta đưa

ra khái niệm hàm phương hướng biên đọ chuẩn hóa, và được định nghĩa:

|F ( ,)| =    

max

,

,









f

f

Hàm phương hướng biên độ chuẩn hóa bằng hàm phương hướng biên

độ ở hướng bất kỳ chia cho hàm phương hướng biên độ ở hướng cực đại

Hàm phương hướng biên độ cũng được vẽ trong từng mặt phẳng

  

max





f

f

(trong mặt phẳng  )

  

max





f

f

(trong mặt phẳng )

Tất cả các đồ thị phương hướng biên độ đều được vẽ theo hàm phương hướng biên độ chuẩn hóa

Trong tọa độ cực:

Trong tọa độ đề các:

Để so sánh các anten với nhau ta khái niệm : độ rộng của đồ thị phương hướng biên độ theo hai mức mức bức xạ không và mức bức xạ nũa cồng suất +Độ rộng của đồ thị phương hướng theo mưc bức xạ không 2 0 được biểu diễn: 2 ; 2  0E  0H; 2  0 

Từ đó ta có định nghĩa độ rộng của bước xạ không là một góc hợp bởi hai hướng mà tại đó biên độ của trường giảm dần về không

+Độ rộng của đồ thị phương hướng ở mức nữa công suất

2 2 E;2 H;2  ; 2 

Từ đó ta có định nghĩa : độ rộng của mức nữa công suất là góc hợp bởi hai hướng mà tạ đó công xuất giảm đi một nũa hoặc nữa biên độ của trường giảm đi 1

2 lần

6.4 CÔNG SUẤT BƯỚC XẠ VÀ ĐIỆN TRỞ CỦA BƯỚC XẠ

ANTEN(nguồn bước xạ)

6.4.1 Công suất bức xạ của anten

Bao quanh nguồn một mặt cầu có R>>  (khảo xát trường khu xa)

Lấy diện tích ds trên mặt cầu, trên ds ta có E H, xác định nên ta tìm được mật đọ công suất trung bình trên ds (dP tb)

Công suất bức xạ “P” của nguồn là năng lượng thoát ra khỏi mặt cầu

Ta có :

2 2

0 0 2

.sin sin

s

ds R d d

 

  

  



 

S là diện tích của mặt cầu trong tọa độ Đề các

Mật độ công suất trung bình tính theo công thức :

2

( , ) 1

tb

E

P   

Thay vào ta có:

2 2

2.

0 0

( , ) 1

sin

E

   

  

  (6.48)

Công thức này được tính cho bất kỳ nguồn bức xạ nào khi đã tính được E

6.4.2 Điện trở bức xạ.

Giả thiết: cho một dòng điện chạy qua một điện trở, trên điện trở có

một công suất tổn hao, công suất đó được tính:

R I

2

1 2

0  Nếu ta cho một doing điện (cao tần) chạy qua một đoạn dây đó sẽ bức

xạ với công suất bức xạ là P Ta xem công suất bức xạ như công suất tổn hao trên một điện trở nào đó và được gọi là điện trở bức xà và ký hiệu:

2

I

P

  Điện trở bức xạ chỉ là một khái niêm không có thực, không đo được bằng thiết bị thong thường, không nhìn thấy được mà chỉ có trên tính toán

Mặt khác trên dây dẫn có dòng điện cao tần, nên tại các điểm khác nhau trên dây sẽ có biên độ dòng điện I khác nhau cho ta R khác nhau: do

đó giá trị R có ý nghĩa khi dòng điện tại đầu vào anten với I0cho ta điện trở bức xạ đầu vào R 0 : và R 0 chính là trở kháng vào của aten R VA R VA là một thong số rất quan trọng của ưnten trong quá trình nghiên cứu và sử dụng anten

Khi đó dòng điện ở điểm cực đại (điểm bụng) I b ta có:

2

2

b I

P R

b



 

b

R : chỉ cho ta biết bức xạ của anten.2

6.5 Hệ số định hướng và hệ số tăng ích của anten.

6.5.1 Hệ số định hướng của anten [P tb( 0, 0)]

Định nghĩa:hệ số định hướng của một anten cần khảo sát là tỷ số giữa

mật độ công suất P tb(  ,  ) trung bình của anten đó chia cho mật độ công suất trung bình P tb(  ,  )ncủa anten chuẩn với điều kiện công suất đắt vào hai anten như nhau, cự ly khảo sát là như nhau, hướng khảo sát như nhau, và anten chuẩn là một anten bức xạ vô hướng hoặc hệ số định hướng D(  ,  ) đã biết

Theo định nghĩa ta có:

) , (

) , ( )

,

(

0

0 











tb

tb

P

P

Mật độ công suất trung bình cần khảo sát:

) , (  

tb

W

E

2

) ,





Mật độ công suất trung bình của anten chuẩn:

2

4 R

P

P tb







Thay thế ta có :





P

R W

E D

2 2

4 2

) , ( ) ,

Trong không gian tự do:



120

0 

W

2 60

) , ( ) ,

P

E D













Hệ số định hướng chỉ tập trung năng lượng của nguồn bức xạ theo một hướng nào đó so với nguồn vô hướng Quan hệ, hệ số định hướng và đờ thị phương hướng

Đồ thi phương hướng càn rộng thì mật độ công suất càng nhỏ, hệ số định hướng càng nhỏ và ngược lại

6.5.2 Hệ số tăng ích của anten.

)}

, (

{G   Hoặc {  (  ,  )}

Định nghĩa: Hệ số tăng ích của anten là hệ số định hướng của anten

đó khi kể đến hiệu suất bức xạ của nó:

0

) , ( ) , (

A

A

D













A

 : hiệu suất của anten khảo sát

0

A

 : hiệu suất của anten chuẩn

Mà   

0

P

P

A

 (công suất bức xạ )/ (công suất đặt vào)

Và A0=1

A

D   





Ý nghĩa: Hệ số tăng ích của anten cho biết khả năng tập trung năng

lượng của anten

Cho biết hiệu suất bức xạ (mức độ phối hợp trở kháng giữa anten và đường truyền) của anten đó

6.6 LÝ THUYẾT NHÂN ĐỒ THỊ PHƯƠNG HƯỚNG.

- Gỉa thiết: Một hệ thống N phân tử, trường tại điểm khảo sát M, theo nguyên lý xếp chồng thì:

N

E E

E

E  1 2  

Nếu ta biểu diễn :

1 01

1 E f

E 

2 02

2 E f

E 

N N

N E f

E  0 .

Ta có:

N N

E  01. 1  02. 2   0 .

01

E : Biên độ và pha của phần tử thứ nhất

1

f : Hàm phương hướng riêng của phần tử thứ nhất

02

E : Biên độ và pha của phần tử thứ hai

2

f : Hàm phương hướng riêng của phần tử thứ hai

Gỉa thiết: Các phần tử trong hệ thống có cấu tạo như nhau

N

f f

f

f1 2  3  

Gỉa thiết: Quan hệ dòng điện trong các phần tử

1

.

1

1

2 a e j

I

I



1

a : Biên độ của I2 so với I1

2

 Góc lệch pha của I2 so với I1

1

.

2 1

a e j n

I

2

a : Biên độ của so với

2

 Góc lệch pha của I3 so với I1

1 1 1





n

I

1



n

a : Biên độ của so với



n

 : Góc lệch pha của so với

Gỉa thiết: Gọi khoảng cách từ các phần tử đến điển khảo sát lần lượt là

n r

r

r

r1 , 2 , 3 , ,

Đặt:

1 2

1 r r

r  



1 3

2 r r

r  



1

1 r r

r n  n 

Có:

n

E  1[ 01 02   0 Lấy E01 ra thừa số chung:

1 1 2

1 [









n j

j

1

1

1 1 1







n n

(6.51)

Chú ý: a0  1 ; o  0 ; r0  0

Đặt:

1

1

1 1









 N j n jk r n

Gọi là hàm phương hướng tổ hợp cỉa hệ thống gồm N phần tử Ta có thể viết lại:

KN

M E f f

E  01. 1. và f N f1.f KN

Ta viết lại: