Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức.. KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức; chứ

Trang 1

Buổi 1: DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

I MỤC TIÊU

KT: - Nắm được quy luật của dãy số

- Tính toán trên dãy số

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giá trị của dãy số

n n+

d) 1 + n2 e) n(n + 5)

f) (3n – 2)(3n+1) g)

( 3) 2

n n+

h)

( 1)( 2) 2

n+ n+

i)

( 1)( 2) 2

n n+ n+

Bài 2: Tính:

a, A = 1 + 2 + 3 +… + (n – 1) + n

b, A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100

Trang 3

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay 1

A = 2449755

Tổng quát:

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n – 2)(n – 1)n

A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1):4

Trang 5

Trang 6

Buổi 2: A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I MỤC TIÊU

KT: - Nắm được tính chất của tỉ lệ thức,tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức

a = (hoặc a : b = c : d)

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hayngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ

2 Tính chất:

Tính chất 1: Nếu d

c b

a = thì ad =bc

a =, a

c b

d = , a

b c

d =

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ d

c b

a =

c a d b

c a d

c b

a

−

= +

+

=

=-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

Trang 7

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay f

e d

+ +

=

f d b

c b a f d b

c b a f

e d

c b a

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số 2 3 5

c b a

=

ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4 5

20 3

2

y x y

Trang 8

Do đó: 3 8

12

x = ⇒ =

(1)

3 5 12 20

z y z

y = ⇒ =

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 9 12 20

z y

x = =

(*)

6 20 36 18

3 2 20 36

3 18

2 20 12

x = = =

20 12

9 (sau đó giải như cách 1 của VD1)Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết:

5

3 5

3

z y z

y = ⇒ =

9 4 5

3 3 4

3 4

3

z

z y

x y

3 3 20

9 2 6 3

2x− y+z= ⇒ z − z +z = ⇒ z = ⇒ z=

Suy ra: 5 36

60

Trang 9

40 5 2

a) 10 6 21

z y

x = =

và 5x+y−2z=28 b) 3 4

y

x = , 5 7

y

x =

và x2 −y2 =4 f) x y x y z

z x

z

y z

y

x

+ +

=

− +

= + +

= +

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:

Trang 10

a) 10 6 21

z y

x = =

và 5x+y−2z=28 b) 3 4

y

x = , 5 7

y

x =

và x2 −y2 =4 f) x y x y z

z x

z

y z

y

− +

= + +

= +

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x=2y,7y=5z và x−y+z=32 b) 4

3 3

2 2

1= − = −

x

và 2x+3y−z=50c) 2x=3y =5z và x+ y−z=95 d) 2 3 5

z y

x = =

và xyz=810

y x y

x z x

z

y

+ +

=

− +

= + +

=

+

f) 10x 6= y và 2x2 −y2 =−28Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x=2y,7y=5z và x−y+z=32 b) 4

3 3

2 2

1= − = −

x

và 2x+3y−z=50c) 2x=3y =5z và x+ y−z=95 d) 2 3 5

z y

x = =

và xyz=810

y x y

x z x

z

y

+ +

=

− +

= + +

=

+

f) 10x 6= y và 2x2 −y2 =−28Bài 5: Tìm x, y biết rằng: x

y y

y

6

6 1 24

4 1 18

2

y y

y

6

6 1 24

4 1 18

2

d d

b a

c d

c a

b d

c b

a

+ +

= + +

a d b a

d c d a

c b d c

b a A

+

+ + +

Trang 11

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 haya)

Giải Rút ra được: a = – 3b, từ đó suy ra : a = – 2,25; b = 0,75.

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

Buổi 3: DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

I MỤC TIÊU

Trang 12

KT: - Ôn tập tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

- Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức, chứng minh hệ thức

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức; chứng minh hệ thức

d

c b

a d

c b

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức d

c b

a

=

Chứng minh rằng: c d

d c b a

b a

−

+

=

− +

Trang 13

1 (

) 1 (

b

k b b kb

b kb b

1 (

) 1 (

d

k d d kd

d kd d

b a

b c

a d

c b

b a d

b a

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức d

c b

a

=

Chứng minh rằng: 2 2

2 2

d c

b a cd

d c

b a cd

c b

kb d dk

b bk cd

Trang 14

2 2

2 2 2

2 2

1

1 )

(

) (

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

d c

b a cd

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

d c

b a cd

c b

a

b

a

5 3

5 3 5

d c

b a d

c

b a

d c

b a cd

a

b

a

4 3

5 2 4

d c

b a

2007 2006

2006 2005

2007 2006

2006 2005

+

−

= +

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

Bài 2: Cho tỉ lệ thức: d

c b

a

b

a

5 3

d c

b a d

c

b a

+

c) c d

d c b a

b a

+

−

= +

b a

4 3

5 2 4 3

5 2

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

b b

c b

c b a

Trang 15

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hayBài 4: Cho d

c c

b b

a = =

a d

c b

+

Bài 5: Cho 2003 2004 2005

c b

a a

Bài 8: Cho 2003 2004 2005

c b

Chứng minh rằng: 4(a−b)(b−c)=(c−a)2Bài 9: Chứng minh rằng nếu : d

b b

a =

a d b

b a

= +

+ 2 2

2 2

a a

Bài 11: CMR: Nếu a2 =bc

a c b a

b a

Đảo lại có đúng không?

Bài 12: Chứng minh rằng nếu : d

b b

a =

a d b

b

+

+ 2 2

2 2

Bài 13: Cho c d

d c b a

b a

c

b a

= +

+

2 2

=

b a d c d c

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a

cd

ab

.

2

2 2

2

2 2

= + +

+ +

⇒

= +

+

= + +

+ +

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

= +

+

= +

+

= +

Trang 16

Bài 15: Chứng minh rằng nếu: 3

3 2

b a

x z c b a

z y

b a

a

=

Bài 19: Cho d

c b

a

=

Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 và zc+td ≠0Chứng minh rằng: zc td

yd xc tb za

yb xa

+

= + +

Bài 20: Chứng minh rằng nếu: 3

3 2

u

thì 2 3

v u

=Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2 =ac ; c2 =bd và b3 +c3 +d3 ≠0

a d c b

c b a

= + +

+

3 3 3

Bài 22: CMR nếu a(y+z)=b(z+x)=c(x+y) Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0

thì : ( ) ( ) c(a b)

y x a c b

x z c b a

z y

2

c x b x a

c bx ax P

+ +

=

Chứng minh rằng nếu 1 1 c1

c b

b a

a

=

thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 24: Cho biết :

a =

Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 và zc+td ≠0Chứng minh rằng: zc td

yd xc tb za

yb xa

+

= + +

Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2 =ac ; c2 =bd và b3 +c3 +d3 ≠0

Trang 17

a d c b

c b a

= + +

+

3 3 3

Bài 27: Cho 1 2 1 1

2

c x b x a

c bx ax P

+ +

=

Chứng minh rằng nếu 1 1 c1

c b

b a

a = =

thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

KT: - Nắm được kiến thức cơ bản về GTTĐ

- Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức, chứng minh hệ thức

TĐ: Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của họcsinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn

Trang 18

*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của

Nếu x-a ≥ 0=> = x-a

Nếu x-a ≤ 0=> = a-x

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai

số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau

b a b

Trang 19

* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai

số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

TQ: a + b ≥ a+b và a + b = a+b ⇔a.b≥ 0

2 Các dạng toán

I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 Dạng 1: A(x)=k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )

k x A k x A

) (

) ( )

(

Bài 1.1: Tìm x, biết:

1 2 4

5 3

1 − − x =

1 5

1 2

1 − x+ =

7 1 2 4

3 − x+ =Giải

Trang 20

1 3

2

2 x− =

b) 7,5−35−2x = −4,5 c) 15 3,75 2,15

4 − − = − − +

2 + = +

−x

1 2 3

1 2

3

2− x− = −

7 4

3 5

4 2

3 + x− =

5 3

5 2

1 4

3 5 ,

1 :

1 4 : 2

3 4

11 + x− =

1 4

b a b a

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x A

5 2

7 4

5x− − x+ =

1 3

4 3

2 5

7x+ = x−

1 6

5 8

7x+ − x+ =

3 Dạng 3: |A(x)| = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

Trang 21

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị

tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x A

( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a≥0⇒ a =a

Nếu a<0⇒ a =−a

Ta giải như sau: A(x) =B(x) (1)

• Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được vớiđiều kiện )

• Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đượcvới điều kiện )

Trang 22

- Biến đổi chứng minh hệ thức chúa nhiều dấu GTTĐ.

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để bỏ dấu GTTĐ, chứng minh hệ thức, biến đổi biểu thức

4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

Trang 23

v Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở

vế trái của đẳng thức trên Từ đó sẽ tìm được x

GiảiXét x – 1 = 0 ⇔x = 1; x – 1 < 0 ⇔x < 1; x – 1 > 0 ⇔x > 1

Trang 24

x -1 1x+1 - 0 + +x-1 - - 0 + Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

1 5

1

2 −x + x− + =

d) x+ + x − = 5−x

1 2 2

1 3 2

Điều kiện: D(x) ≥0 kéo theo A(x) ≥ 0 ;B(x) ≥ 0 ;C(x) ≥ 0

Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)

Trang 25

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hayBài 5.1: Tìm x, biết:

a) x+1+ x+2 + x+3 =4x b) x+ 1 + x+ 2 + x+ 3 + x+ 4 = 5x− 1

1 5

101

3 101

2 101

+

1

4 3

1 3

2

1 2

.

1

= +

+ + + + + +

+

1

7 5

1 5

3

1 3

13 9

1 9

5

1 5

3 1 2

1x+ − =

c)

x x

4

3 2

3 2 2

Trang 26

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi vàchỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.

* Cách giải chung: A + B =0

B1: đánh giá:

0 0

0

≥ +

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:

a) 3x−4 + 3y+5 =0 b) 25 0

9

= + +

−y y x

11 5 , 1 4

3 2

1 3

2 − + x + − + y =

c)0

0

≥ +

a) 5x+1+6y−8 ≤0 b) x+2y + 4y−3 ≤0 c) x−y+2 + 2y+1 ≤0

a) 12x+8 +11y−5 ≤0 b) 3x+2y + 4y−1 ≤0 c) x+y−7 + xy−10 ≤0

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không

âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tươngtự

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

Trang 27

2008 2007

= +

3 x− y 2004 + y+ =

1 2 1 3

7 5

≤ + +

x

6 5

4 2008

2007 2

Trang 28

11

Trang 29

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 haya) x−2007 + y−2008 ≤0

- Tìm cặp giá trị (x;y) trong hệ thức chúa nhiều dấu GTTĐ

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để bỏ dấu GTTĐ, biến đổi biểu thức

* Nếu m > 0 ta giải như sau:

m

B

A + = (1)

Do A ≥0 nên từ (1) ta có: 0 ≤ B ≤m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) x−2007 + x−2008 =0 b) x−y−2 + y+3 =0 c) (x+y)2 + 2y− 1 = 0

Trang 30

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

0

≥ +

B

A

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ A+ B <m từ đó giải bài toán A+ B =k như dạng 1 với 0≤k <m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) x + y ≤3 b) x+5 + y−2 ≤4 c) 2x+1+ y−4 ≤3 d) 3x + y+5 ≤4

a) 5x+1+ y−2 ≤7 b) 42x+5+ y+3 ≤5 c) 3x+5+2y−1 ≤3 d) 32x+1+42y−1≤7

3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a+b xét khoảng giá trị của ẩn số.

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) x−1+ 4−x =3 b) x+2 + x−3 =5 c) x+1+ x−6 =7 d) 2x+5+ 2x−3 =8

Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau

a) x + y = 4 và x+2 + y =6 b) x +y = 4 và 2x+1+ y−x =5

c) x –y = 3 và x + y =3 d) x – 2y = 5 và x + 2y−1 =6

Trang 31

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hayBài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:

a) x + y = 5 và x+1+ y−2 =4 b) x – y = 3 và x−6 + y−1 =4

c) x – y = 2 và 2x+1+ 2y+1=4 d) 2x + y = 3 và 2x+3+ y+2 =8

4 Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:

* Cách giải : A(x).B(x)= A(y)

Đánh giá: A(y) ≥ 0 ⇒ A(x).B(x) ≥ 0 ⇒n≤ x≤m tìm được giá trị của x

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) (x+ 2)(x− 3)< 0 b) (2x− 1)(2x− 5)< 0 c) (3 − 2x)(x+ 2) > 0 d) (3x+ 1)(5 − 2x)> 0Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

m A B A

2 3

5

+ +

=

− +

−

y x x

10 5

1

+ +

=

− +

−

y x x

8 1

+

y x

x

16 1

3

+ +

−

=

− + +

y y

x x

Trang 32

c) ( 3) 2

12 5

3

1

+ +

=

− +

+

y x

x

10 5

1 2

+

−

= +

−

y y

x

3 1

14 7

2 2

− +

−

= +

−

+

y y

y

x

b) ( )

5 2 3

20 4

2 2

+ +

= + +

y x

6 3

2

+ +

= + + +

y y

x

Buổi 7: III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

I MỤC TIÊU

KT: - Nắm được KT cơ bản về GTTĐ

- Biến đổi chứng minh hệ thức chúa nhiều dấu GTTĐ

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để bỏ dấu GTTĐ, chứng minh hệ thức, biến đổirút gọn biểu thức

* Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5≤x≤4,1

1 − − +

B

c) C = x+1+ x−3

Trang 33

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hayBài 4: Rút gọn biểu thức khi 7

1 5

3 7

1 + − − − +

1 5

1 ≤ x≤

1 3 2

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) A=2x+2xy−y với 4

3

; 5 ,

- Biến đổi chứng minh hệ thức chứa nhiều dấu GTTĐ

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để bỏ dấu GTTĐ, chứng minh hệ thức, biến đổi biểu thức, tìm GT lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Trang 34

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chấtcủa bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) A=0,5− x−3,5 b) B= −1,4−x −2 c) 4 5

2 3

3 2

e) E =5,5− 2x−1,5 f) F = −10,2−3x −14 g) G =4− 5x−2 −3y+12

h) 2,5 5,8

8 , 5

+ + +

=

x N

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A= 1 , 7 + 3 , 4 −x b) B= x+2,8 −3,5 c) C = 3 , 7 + 4 , 3 −x

d) D= 3x+8,4 −14,2 e) E = 4x−3+ 5y+7,5 +17,5 f) F = 2,5−x +5,8

g) G = 4,9+x −2,8 h) 7

3 5

2 +

−

= x H

+ + +

1

+

− +

4

+ + + + +

=

y x

C

Trang 35

24 6

+ + +

− +

−

=

x y x

D

21 3

2

+ +

=

x y

x E

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

11 5 7

2

+ +

=

y

y B

32 1 15

+ +

=

x

x C

8 5

+ +

− +

15

+ + +

−

=

x y x C

33 6 4

21

+ +

=

y

y B

68 7 15

+ +

− +

−

=

x

x C

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

Trang 36

KT: - Nắm được quy luật của dãy số.

- Tính toán trên dãy số

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính thành thạo giá trị của dãy số TĐ: Cẩn thận, sáng tạo

Trang 37

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên ?

Hướng dẫn:

Bài 3: Cho A= 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 +

a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ?

) 12 ( ) 7 ( )

Trang 38

Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.

b Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	1,47 MB