Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8

Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003... Dạng II :Phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số lớp 8Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến... Đẳn

Dạng I : Dãy số viết theo qui luật (lớp 6&7)

Bài toán 1: So sánh giá trị biều thức 3 8 15 9999

4 9 16 10000

2 + 3 + 4 + + 100 > 0 Nên A

< 99

Ta có k k( 1 1) = −1k k11

+ + với mọi k ≥1 nên

2 3 4 100 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 3 4 99 100 100

Do đó A= 99 − >B 99 1 98 − = Vậy 98 < <A 99

4 9 16

n

n

−

Bài toán 2 : Viết số 1 2 + + + + + 2 3 3 4 4 999 999 + 1000 1000trong hệ thập phân Tìm ba số đầu tiên bên trái số đó?

Giải: Ta có A= + + + + + 1 2 2 3 3 4 4 999 999 + 1000 1000 ; Đặt 1000 3000

3000

1000 10 100000 0000

B= = = 1 44 2 4 43 gồm có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)

Đặt C = 1000 1000 + 2 + 1000 3 + + 1000 999 + 1000 1000 = 10 3 + 10 6 + + 10 2997 + 10 3000=100100100 1000

gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2) Vì B < A < C và B, C đều có 3001 chữ số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100

Bài toán 3:

A

+ + + + Chứng minh rằng 0,15< <A 0, 25.

A

( ) (2 )2

( ) (2 )2

B n= + +n + +n = n + n+ (1)

• Với n≥ 1 từ (1) ta có: B< 3n2 + 9n+ = 6 3(n2 + 3n+ = 2) 3(n+ 1) (n+ 2) Từ đó :

( ) ( )

3 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 3

Với C= 2.3 3.41 + 1 + + (n 1) (1n 2) + + 24.25 25.261 + 1 = − + − + +1 1 1 12 3 3 4 25 261 − 1 = −12 26 131 = 6

Suy ra 1 6. 2 0,15

3 13 13

A> = > .

• Với n≥ 1 từ (1) ta có: B> 2n2 + 6n+ = 4 2(n2 + 3n+ = 2) 2(n+ 1) (n+ 2) Từ đó :

( ) ( )

2 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 2

Với C= 2.3 3.41 + 1 + + (n 1) (1n 2) + + 24.25 25.261 + 1 = − + − + +1 1 1 12 3 3 4 25 261 − 1 = −12 26 131 = 6

Suy ra 1 6. 3 0, 25

2 13 13

A< = < Vậy 0,15 < <A 0, 25

Bài toán 4: Tính A

B biết :

2.32 3.33 30 1979.2009

A

n n

+ ; B= 2.1980 3.19811 + 1 + + n n( 11978) + + 31.20091

Giải:

Với các số nguyên dương n và k ta có 1n n k1 n n k(n k ) n n k( n ) n n k( k )

+

Với k = 30 ta có :

2.32 3.33 1979.2009 2 32 3 33 1979 2009

2 3 1979 32 33 2009 2 3 31 1980 1981 2009

Với k = 1978 ta có : 1978 1978 1978 1978 1 1 1 1 1 1

2.1980 3.1981 31.2009 2 1980 3 1981 31 2009

2 3 31 1980 1981 2009

Từ (1) và (2) suy ra 30 1978 1978 989

30 15

A

B

Bài toán 5 : Tính tổng sau: ( ) (2 )2 ( )2

1 2 2 3 2008 2009

n

Giải:

Với n≥ 1 thì

n

4 4 9 2008 2009 2009

1 2 2 3 2008 2009

n

Bài toán 6 : Tính các tổng sau:

1.2 2.3 1 98.99

Giải:

Ta có:3A= 1.2.3 2.3.3 3 + + + n n( + + + 1) 3.98.99 1.2 3 0 = ( − +) 2.3 4 1( − + +) 98.99 100 97( − ).

1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2.3 2.3.4 97.98.99 98.99.100 970200 323400

3

A

1.99 2 99 1 3 99 2 98 99 97 99 99 98

1.99 2.99 3.99 99.99 1.2 2.3 3.4 98.99

99 1 2 3 99 99 99 1 99.99.50 323400 166650

2

Từ bài toán (*) suy ra 3 98.99.100 98.99.100

3

Nếu A= 1.2 2.3 3.4 + + + +n n( + 1) Tính giá trị của B = 3A với B = 3A thì B = (n-1)n(n+1) với

n = 100

(1.2 2.3 3.4 1 ).3 (0.1 1.2 2.3 3.4 ( 1) ).3

1 0 2 3 2 4 5 4 6 97 96 98 99 98 100 3

(1.1.2 3.3.2 5.5.2 7.7.2 99.99.2 3 2.3 1) ( 2 3 2 5 2 7 2 99 2)

6 1 3 99

2 2 2 99.100.101

1 3 99 166650.

6

1 3 2 1

6

Công thức tính tổng các bình phương n số tự nhiên 2 2 2 2 ( 1 2) ( 1)

1 2 3

6

Bài toán 7: Tính B

A biết:

1.2 2.3 1 2008.2009

A

n n

( ) ( )

1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 2008.2009.2010

B

n n n

Ta có n n( 1 1) = −1n n11

+ + và n n( 12) (n 2) = n n( 1 1) (− n 1) (1n 2)

1.2 2.3 1 2008.2009 2009 2009

A

n n

+

( ) ( )

1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 2008.2009.2010 1.2 2009.2010 2009.2010

B

n n n

1 2019044 1009522

.

2 2009.2010 2009.2010

B

Do đó 1009522 :2008 1009522.2009 5047611

2009.2010 2009 2008.2009.2010 2018040

B

2018040

= Bài toán 8 :Goi A là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1001 và B là tích các số

nguyên liên tiếp từ 1002 đến 2002 Hỏi A + B chia hết cho 2003 không?

Giải:

Ta có: A= 1.2.3.4 1001 và B= 1002.1003.1004 2002

Ta viết B dưới dạng: B=(2003 1001 2003 1000 2003 1 − ) ( − ) ( − ) Khai triển B có một tổngngoài

số hạng − 1001.1000 2.1 Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003 Nên

2003 1001.1000 2.1 2003

B= n− = n A− với n là số tự nhiên Do đó: A B+ = 2003n là một số chia hết cho 2003

Cách giải khác:

Ta có các cặp số nguyên sau có cùng số dư khi chia cho 2003 ;

(1002; 1001 ; 1003;1000 ; 2002;1 − ) ( ) ( ) Do đó B= 1002.1003 2002 và − = −A 1001.1000 2.1 có cùng

số dư khi chia cho 2003 Nên A B B+ = − −( )A chia hết cho 2003

Nếu a và a a1 ; ; ; 2 a nlà các số nguyên và n là số tự nhiên lẻ thì

1 2 n 1 2 n

a a a + −a a a a− a a− Ma

Dạng II :Phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số (lớp 8)

Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

(x y y z) (1 ) (+ z x x y) (1 ) (+ y z z x) (1 )

− − − − − − với x≠y ;y≠z ;z≠ x Từ kết quả trên ta có thể suy ra hằng đẳng thức: (x y x z) (1 ) (= z y x z) (1 ) (+ x y y z) (1 )

− − − − − − (*) trong đó x ; y; z đôi một khác nhau

Thực chất ở đây ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ

có hai số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:

Bài toán 1:

Cho a b b c c a≠ ; ≠ ; ≠ chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.

a b a c b c b a c a c b

Áp dụng hằng đẳng thức (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a b a c b c c a a c b a c a c b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

a b a c a b a c b c c a b c c a a b a c b c c a

1

a b b c a b b c

a c c a a c a c

Bài toán 2 : Cho a b b c c a≠ ; ≠ ; ≠ Rút gọn biểu thức

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

x b x c x c x a x a x b

B

a b a c b c b a c a c b

Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược

(x b x c) ( ) ( (x c x a) ( ) ( ) ) ( (x a x b) ( ) ( ) )

B

a b a c b c b a c a c b

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

x b x c x c x a x c x a x a x b

a b a c b c c a a c b a c a c b

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

x b x c x c x a x c x a x a x b

a b a c b c c a a c a b a c c b

x b x c x c x a x c x a x b x a x c a b x a b c

1

x c x a x c x a

a c a c a c

Bài toán 3: Cho a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

(a b a c x a) ( a ) ( ) (+ b a b c x b) ( b ) ( ) (+ c a c b c x) ( c ) ( ) (= x a x b x c) ( x ) ( )

Biến đổi vế trái, ta được: (a b a c x a) ( a ) ( ) (+ b a b c x b) ( b ) ( ) (+ c a c b c x) ( c ) ( )

(a b a c x a) ( a ) ( ) (b a a c x b) ( b ) ( ) (c a b c x b) ( b ) ( ) (c a c b c x) ( c ) ( )

a b a c x a x b c a b c x b x c

( ) (1 ) (. ( ) ( ) ) ( ) (1 ).( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

bx cx

a b a c x a x b c a b c x b x c a c x a x b c a x b x c

−

−

x a c

a c x b x a x c a c x b x c x a x b x c x a

−

trái bằng vế phải Đẳng thức được chứng minh

Bài toán 4: Cho a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh:

(a b a c b c) ( ) (b c b a c a) ( ) (c a c b a b) ( ) a b b c c a2 2 2

Giải: Ta có (a b a c b c) ( ) (a b a c b a) ( ) (a b a c a c) ( ) c a a b1 1

Tương tự ta có: (b c b a c a) ( ) b c a b1 1

(c b c a a b) ( ) b c c a1 1

Từ (1) ;(2) và (3) ta có

(a b a c b c) ( ) (b c b a c a) ( ) (c a c b a b) ( ) c a a b b c a b b c c a1 1 1 1 1 1

a b b c c a

Bài toán 5: Rút gọn biểu thức:

a b a c b c b a c a c b

+ + + + + + với a≠ −b; b≠ −c; c≠ −a

Giải:

a bc a ab bc ab a a b b c a a b

a b a c a b a c a b a c a c a b

Tương tự: ( ) ( )

2

b a b c a b b c

2

c a b c c b c a

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có

0

a b a c b c b a c a c b a c a b a b b c c b c a

Bài toán 6: Cho ba phân thức

1

a b ab

−

b c bc

−

c a ca

− + Chứng minh rằng tổng ba phân thức bằng tích của chúng

Giải:

Ta có :

b c b a a c

bc bc bc

a b b c c a a b b a a c c a

(a b) 1 1 1 1 (c a) 1 1 1 1 (a b(1) (1 ) (bc1 1 )ab) (c a(1) (1 ) (bc1 1 )ac)

(1 ) (1 ) (1( ) ( ) (1 ) ) ( (1 ) ( ) ) 1 1 (1( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) )

b a b c a c c a b a a b c a b c a b c a b c

Bài toán 7 : Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải là số nguyên

a b b c c a+ +

Giải:

a b b c c a a b c a b c a b c a b c

+ +

M

Vậy 1 < M <2 Do đó M không thể là số nguyên dương

Bài toán 8 : Đơn giản biểu thức

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

A

a a b a c b b a b c c c b c a

Giải: MTC là : abc a b b c a c( − ) ( − ) ( − ) Nên

( ) ( 2 ) ( 1004) ( ( ) ( ) ( 2) ( ) ( 1004) ) ( ( ) ( ) ( 2) ( ) ( 1004) )

A

abc a b b c a c abc a b b c a c abc a b b c a c

( ) ( ) ( )

2008b c 2008ac 2008a b 2008bc 2008a c 2008ab

abc a b b c a c

=

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

2008 c a c b a b a c b a b c 2008 a b b c a c 2008

abc a b b c a c abc a b b c a c abc

Bài toán 9 : Tính giá trị của biểu thức:

(2003 2 2013 31 2004 1 2003 2008 4) ( )

2004 2005 2006 2007 2008

=

Giải: Đặt a = 2004 Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( )

2

P

=

( ) ( ) ( ) ( )

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( 11) ( 22) ( 33) ( 44) 1