Chương 2 ước LƯỢNG các THAM số THỐNG kê

1 Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng... 1 Ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%... 7 Ví dụ:

Trang 1

Chương 2

ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ

Trang 2

2

Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

CÁC NỘI DUNG CHÍNH 2.1 Khái niệm về ước lượng

2.2 Ước lượng trung bình ( 1 mẫu, 2 mẫu )

2.3 Ước lượng tỷ lệ ( 1 mẫu, 2 mẫu )

2.4 Ước lượng phương sai ( 1 mẫu, 2 mẫu )

Trang 3

3

2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ

* Trường hợp 1: Trên 1 mẫu

Trang 4

4

2.2 Ước lượng trung bình

Trang 5

5

¡  Ví dụ: Điểm trung bình môn toán của 100 thí sinh dự thi vào ĐHKT là 5 với độ

lệch chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh) s = 2,5

1) Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95% 2) Với độ chính xác 0,25 điểm Hãy xác định độ (khoảng) tin cậy

¡  Ví dụ: Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch

chuẩn 100 giờ

1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là

1000 giờ Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95%

2) Với độ chính xác là 15 giờ Hãy xác định độ tin cậy

3) Với độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng

¡  Ví dụ: Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực theo quy luật

chuẩn Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột mì là 48kg,

và phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2 = (0,5kg)2

1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng

Trang 6

6

¡  Ví dụ: Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra

ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu

1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp

2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%

3) Với sai số cho phép = 3%, hãy xác định độ tin cậy

¡  Ví dụ: Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành sọt mỗi sọt 100 trái Kiểm

tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn

1) Ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95% 2) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,5% thì

độ tin cậy đạt được là bao nhiêu?

3) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt?

4) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99,7% thì độ chính xác đạt được là bao nhiêu?

2.2 Ước lượng Tỷ lệ

Trang 7

7

Ví dụ: Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng, ta

thu được bảng số liệu sau:

1) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy 95%?

2) Những thửa ruộng có năng suất từ 48tạ/ha trở lên là những thửa có năng suất cao Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng với độ tin cậy 97%

Trang 8

8

¡  a) Hai mẫu độc lập

Hai mẫu độc lập là hai mẫu được chọn ra từ hai tổng thể theo cách sao cho một quan sát khi được chọn vào mẫu này không làm ảnh hưởng đến xác suất một quan sát khác được chọn vào mẫu kia

¡  b) Mẫu phối hợp từng cặp (Hai mẫu không độc lập)

Mẫu phối hợp từng cặp là mẫu được chọn theo cách một quan sát trên mẫu này

có sự tương xứng với một quan sát trên mẫu thứ hai nhằm mục đích kiểm soat những tác nhân ngoại cảnh Mẫu này còn có tên gọi là mẫu không độc lập hay ngắn gọn là mẫu cặp

Trang 9

9

Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ

* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu lớn hoặc tổng thể có phân phối chuẩn

Trang 10

10

* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập

Trang 11

11

Ví dụ Một công ty nghiên cứu thị trường được thuê thực hiện một cuộc khảo sát của một chuỗi cửa hàng thực phẩm lớn để ước lượng sự khác biệt trong thời gian trung bình mỗi lần ghé cửa hàng của khách hàng nam và khách hàng nữ Các nghiên cứu trước đó cho biết độ lệch chuẩn là 11 phút đối với khách nam và 16 phút đối với khách nữ Công ty đã chọn mẫu ngẫu nhiên 100 khách nam và 100 khách nữ vào những thời điểm khác nhau ở các cửa hàng khác nhau trong chuỗi cửa hàng này để khảo sát Kết quả là thời gian trung bình của khách nam tại cửa hàng là 34,5 phút còn thời gian trung bình của khách nữ là 42,4 phút Hãy cho biết sự khác biệt giữa thời gian lưu lại trung bình của khách hàng nam, nữ là bao nhiêu? Từ đó rút ra nhận xét gì? Khoảng tin cậy 95%

* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu lớn

Trang 12

12

Ví dụ Một hoạt động lắp ráp tại một nhà máy chế tạo đòi hỏi xấp xỉ một giai đoạn huấn luyện 1 tháng cho 1 nhân viên mới để có thể đạt được hiệu suất tối đa Một phương pháp huấn luyện mới được đề xuất và một sự kiểm tra được tiến hành nhằm so sánh phương pháp mới này với quy trình tiêu chuẩn Hai nhóm gồm 9 nhân viên mới được huấn luyện trong 1 thời gian gồm 3 tuần, một nhóm

sử dụng phương pháp mới và nhóm kia theo quy trình huấn luyện tiêu chuẩn Độ dài tính bằng phút đòi hỏi cho mỗi nhân viên để lắp ráp một thiết bị được ghi nhận vào lúc cuối thời kỳ ba tuần này Giả sử phương sai ( độ biến thiên) trong thời gian này giữa 2 nhóm là bằng nhau

Quy trình tiêu chuẩn: 32, 37, 35, 28, 41, 44, 35, 31, 34

Quy trình mới: 35, 31, 29, 25, 34, 40, 27, 32, 31

Hỏi có sự khác biệt giữa hai quy trình huấn luyện không? Với độ tin cậy 95%

* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu nhỏ

Trang 13

13

¡  Ví dụ: Một nhà phân tích tài chính của một công ty môi giới chứng khoán muốn phân tích có hay không có sự khác biệt giữa lợi tức của các cổ phiếu được liệt kê trong danh sách cổ phiểu của chỉ số NYSE và NASDAQ Anh ta tổng hợp được bảng số liệu sau cho các cổ phiếu anh ta chọn vào mẫu nghiên cứu

NYSE NASDAQ

Số cổ phiếu quan sát 21 25

Lợi tức trung bình mẫu 3,27 2,53

Độ lệch tiêu chuẩn của lợi tức 1,3 1,16

Giả định là phương sai về lợi tức của hai tổng thể khác nhau, anh ta có thấy sự khác biệt trong lợi tức cổ phiếu trung bình giữa NYSE và NASDAQ hay không ?

* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu nhỏ

Trang 14

14

¡  Ví dụ 13: Một công ty quảng cáo đang muốn kiểm tra mức độ thu hút của một chương trình quảng cáo có như nhau hay không đối với 2 khúc thị trường khách hàng nam giới và nữ giới trước khi phát nó rộng rãi trên TV Hiển nhiên không có cách nào để đo lường thái độ của toàn bộ tổng thể khách hàng nam giới và nữ giới mà họ phải nghiên cứu mẫu bằng cách phát đoạn quảng cáo này cho 2 mẫu ngẫu nhiên 425 khách nam và 370 khách nữ, trong mẫu khách nam có 240 người nói thích mẫu quảng cáo này còn mẫu khách nữ có 196 người ưa thích Hãy cho biết có sự khác biệt về tỷ lệ ưa thích giữa khách nam

và nữ không? Khoảng tin cậy 96%

2.2 Ước lượng Tỷ lệ - Trên 2 mẫu

Trang 15

15

Bước 1: Tính

Bước 2: Tra bảng Student tìm giá trị

Bước 3: Tính

* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu phụ thuộc (mẫu cặp)

STT Giá trị quan sát

trước (xi)

Giá trị quan sát sau (yi)

Độ sai lệch d = xi -yi

1

2

…

n

X1

X2 …

Xn

Y1

Y2

…

Yn

D1 = X1 - Y1

D2 = X2 – Y2 …

Dn = Xn - Yn

D =

Di

i =1

n

∑

n =

Xi − Yi

( )

i =1

n

∑

n ;sd =

Di − d

i =1

n

∑

n−1 =

Di2 − nd

i =1

n

∑

n−1

tα/2

n −1 (γ = 1− α)

ε = tα/2n −1* sd

n

Trang 16

16

dụng một biện pháp( kế họach, …) là

Ví dụ Công ty điện lực thực hiện các biện pháp khuyến khích tiết kiệm điện Lượng điện tiêu thụ ghi nhận ở 12 hộ gia đình trước và sau khi có biện pháp khuyến khích tiết kiệm điện như sau:

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng

lượng điện tiêu thụ trung bình của

hộ gia đình trước và sau khi thực

hiện biện pháp khuyến khích tiết kiệm điện

* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu phụ thuộc (mẫu cặp)

µd = µX − µY ∈ d ± ε( )

Trang 17

17

Bài toán: Ta cần nghiên cứu phương sai của ĐLNN X trên tòan bộ

tổng thể Căn cứ trên một mẫu định lượng Hãy đưa ra một khỏang ước lượng

với độ tin cậy

Trường hợp 1: Khi chưa biết

Bước 1 Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh

Bước 2 Tra bảng “chi bình phương” tìm 2 giá trị

Bước 3 Kết luận

Trường hợp 2: Khi đã biết

Bước 1 Tra bảng “chi bình phương” tìm 2 giá trị

Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 2.3 Ước lượng Phương sai

Trường hợp 1: Trên 1 mẫu

σ2 = Var(X)

σ2 ∈ (n −1)s2

χn2−1,α/2 ;(n−1)s2

χn2−1,1−α/2

⎛

⎝

⎠

EX = µ

s2 = 1

n−1 i=1k ( )xi − x

χn −1,α/2

(n−1)s2

χn2−1;α/2 < σ2 < (n−1)s2

χn2−1;1−α/2

EX = µ

χn, α/2

2 ; χn,12 −α/2

1

χα/2 ; n2 (xi − µ)2 * ni

i =1

n

∑ < σ2 < 1

χ12−α/2 ; n (xi − µ)2 * ni

i =1 n

∑

Trang 18

18

Ví dụ Giả sử mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là đại lượng

ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với kì vọng là 20g Quan sát 25 sản phẩm, ta có số liệu sau:

Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng phương sai của tổng thể

Ví dụ Cân kiểm tra 15 gói mì, ta được số liệu sau đây :

Biết khối lượng này tuân theo luật phân phối chuẩn Hãy tìm khoảng ước lượng của phương sai tổng thể với độ tin cậy 95%

Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 2.3 Ước lượng Phương sai

Khối lượng nguyên liệu hao phí (gam) 19,5 20,0 20,5

Khối lượng (gam) 84 84,5 85

Trang 19

19

Bài toán:Giả sử có hai mẫu ngẫu nhiên độc lập với cỡ mẫu lần lượt là và

có phân phối chuẩn lần lượt là Ta cần so sánh

sự khác biệt của 2 phương sai này dựa trên phương sai mẫu hiệu chỉnh

Bước 1 Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh của 2 mẫu:

Bước 2 Tra bảng phân phối Fisher tìm 2 giá trị:

Ví dụ: Độ biến thiên trong khối ượng các tạp chất có trong một mẻ hoá chất

được sử dụng cho một quy trình cụ thể tuỳ thuộc vào độ dài thời gian mà quy trình đó hoạt động Một nhà sản xuất sử dụng hai dây chuyền sản xuất 1 và 2, đã tạo ra một sự điều chỉnh nhẹ đối với quy trình 2, qua đó hy vọng giảm bớt sự biến thiên cũng như khối lượng trung bình các tạp chất trong hoá chất đó Các mẫu gồm đại lượng từ hải mẻ hoá chất tạo ra các số trung bình

và phương sai như sau:

Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 2.3 Ước lượng Phương sai ( so sánh sự khác biệt )

Xi ~ N(µ1,σ12);Yj ~ N(µ2,σ22) n1,n2

s1

2;s22

s1

2;s22

Fα/2

n1,n2

( ); F

1 −α/2

n1,n2

σ22

σ12 ∈ s2

2

s12 * Fα/2

n1,n2

( );s2

2

s12 * F1−α/2

n1,n2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n1 = 25; n2 = 25

x1 = 3.2; s12 = 1.04; x2 = 3.0; s12 = 0.51;

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	685,72 KB