Chương 6 THIẾT kế lọc IIR

Lọc IIR thì hiệu quả hơn lọc FIR trong độ nhạy, đó là một lọc IIR với ít hệ số hơn có thể cho đáp ứng biên độ tần số bằng với một lọc FIR với nhiều hệ số hơn.. Nếu không yêu cầu nhân quả

Phương trình tín hiệu vào ra của lọc IIR nhân quả (2.21) lặp lại ở đây:

y(n) = 



N

1 k k

a y(n – k) + 



M

0 k k

b x (n – k) Với ak , bk là những hệ số lọc Theo lý thuyết, N, M có thể là vô hạn

Lọc IIR thì hiệu quả hơn lọc FIR trong độ nhạy, đó là một lọc IIR với ít hệ số hơn có thể cho đáp ứng biên độ tần số bằng với một lọc FIR với nhiều hệ số hơn Tuy nhiên lọc IIR có hai mặt nhược điểm

 Chúng có thể không ổn định nếu những hệ số của nó chọn không thích hợp

 Chúng có thể có pha không tuyến tính (phần 5.2) và vì vậy nó không phù hợp cho một số ứng dụng lọc

Xét pha tuyến tính ta nên biết rằng hàm truyền H(z) của lọc pha tuyến tính phải thỏa mãn sự liên hệ

H(z) =  z–N H(z–1) Với z-N

trình bày một sự trễ của N mẫu Sự liên hệ này ngụ ý rằng ở đây có một cực ảo bên ngoài đường tròn đơn vị với mỗi cực bên trong, ngược lại điều kiện để lọc là ổn định và nhân quả là tất cả

các cực của nó phải nằm bên trong đường tròn đơn vị (phần 4.4.2) Điều này có nghĩa rằng lọc

ổn định và nhân quả không thể có pha tuyến tính Nếu không yêu cầu nhân quả, lọc IIR có thể có pha

tuyến tính nhưng trong trường hợp này lọc FIR thì thuận lợi hơn

Trong khi thiết kê lọc FIR không có lợi cho bất kỳ phương pháp thiết kế tương tự, thì lọc IIR

là phù hợp từ mặt phẳng tương tự s đến mặt phẳng số z Vì vậy, phương pháp thiết kế IIR thì giống như nguyên mẫu tương tự chẳng hạn: Butterworth, Chebyshev, hoặc lọc elliptic Hai phương pháp thiết kế là xung bất biến và biến đổi đôi tuyến tính Bên cạnh đó, IIR có thể được thiết kế bằng phương pháp đặt cực không như lọc FIR (phần 4.8), hoặc cũng bằng phương pháp bình phương tối thiểu trong miền số.,

6.1 Một tóm tắt ngắn về lọc Butterworth, Chebyshev và Elliptic

Với mục đích của việc thiết kế lọc số, sau đây là một tóm tắt ngắn về kiến thức lọc tương tự thông thấp

là cần thiết Đầu tiên, ta nhìn lại những thông số khác nhau của lọc số (hình 5.9, 5.10, 5.28) Những thông số này được áp dụng vào lọc tương tự và được ký hiệu lại như p, c, s Đáp ứng biên độ có thể diễn tả ở dạng tuyến tính hoặc thang dB với |H a()|dB 20log10|H a()| Ví dụ đáp ứng được chuẩn hóa biên độ là 1 tương ứng với 0 dB, 1 / 2 ứng với -3 dB Ta gọi p là tần số cạnh dải qua, s là tần số cạnh dải dừng, c là tần số cắt (hoặc tần số -3 dB ) Độ gợn sóng dải qua p, và

độ gợn sóng dải dừng s được liên hệ với sự suy giảm dải qua và dải dừng ở thang dB như

1 )

p (s

1

a 2

1 ai

1

Hàm có N cực và không có không Với một lọc thông thấp có hai đối số lọc để thiết kế: Bậc N và tần

số cắt (hoặc -3 dB) c Bình phương biên độ hàm truyền là

 2N c

2 a

s/jΩ 1

1 (s)

Ω/Ω 1

1 H

Điều này đúng cho trường hợp của lọc Chebyshev

và elliptic sẽ được nói đến sau Lọc Butterworth có độ phẳng lớn nhất vì đáp ứng biên độ của nó bằng không tại tần số(   0 ) Vì lọc Butterworth không có độ gợn sóng, đối số và được xem là

pai = c ej(2i + N - 1)/2N , i = 1, 2, 3, …, 2N (6.6a)

Hình 6.1: Đáp ứng biên độ được chuẩn hóa của lọc Butterworth thông thấp

filters

3 Chú ý rằng độ lớn của tất cả các cực là c và gốc pha là

pa2 = c ej(2x2 + 5 - 1)/2x5 = c ej4/5

= c  144OCực thứ 10 được tách ra bằng 360O

/10 = 36O (Hình 6.2) Để lọc ổn định ta chọn M cực nằm trong nửa mặt phẳng bên trái, như ví dụ trên là pa1 đến pa5 Chú ý rằng những cực gồm thực (pa1) hoặc xuất hiện như đôi liên hiệp phức (pa1 và pa5; pa2 và pa4)

Vì vậy, lọc Butterworth với bậc N có N cực trên mặt phẳng bên trái được cho bởi

p ai = c e j(2i + M - 1)/2M i = 1, 2, … N (6.7)

Ví dụ, những cực của lọc bậc ba là

pa1 = c ej2/3 = (–0,5 + j0,866)c pa2 = c ej = –1c

pa3 = c ej4/3 = (–0,5 - j0,866)c

Vì vậy, với tần số cắt c 1rad/shàm truyền là

1866

,0j5,0s1s866,0j5,0s

s

 Từ bình phương đáp ứng biên độ (6.5) ta có thể tìm bậc lọc N để những đặc tính được gặp nhau Tạ cạnh dải qua ta có

Hình 6.2: Cực của |H a(s)|2với N = 5 Cực của lọc Butterworth ổn định

với bậc N = 5 có 5 trong nửa mặt phẳng

4

2

2 ( 1 ) )

/ ( 1

1

p N

c p

12

2 s 2

p

Ω Ω δ 1 )

δ (1 1 2

1

log

11]/

[logN

p c

2

2 1 ] [

) 1 (

Với những cực được chọn nằm ở nửa bên phải mặt phẳng lọc Butterworth sẽ ổn định Hàm truyền của lọc thông thấp bậc N với tần số cắt là

Hàm truyền lọc Butterworth có thể được thiết kế sử dụng (6.6) và (6.11a) Một cách khác ta sử dụng bẳng những hệ số được tính trước như sau Chú ý là hàm truyền của lọc thông thấp bậc N

Hình 6.3: Bình phương đáp ứng biên độ của lọc Butterworth

p

0

2

s



) 3 ( 5

2)1( (0 p )

|H a 

c

5

Những hệ số của đa tức mẫu với lọc bậc 5 được cho trong bảng 6.1

Bảng 6.1: Những hệ số mẫu của lọc Butterworth thông thấp được chuẩn hóa

Ví dụ, lọc thông thấp bậc 3 với tần số cắt (nghĩa là , Fc = 10Hz) hàm truyền là

6.1.2 Lọc Chebyshev

Đáp ứng biên độ của lọc Chebyshev (cũng gọi là lọc Cauer) có một độ chuyển tiếp hẹp so với

Butterworth có cùng bậc lọc, và nó gợn sóng (độ gợn sóng giống nhau từ đỉnh này sang đỉnh khac) trong cùng dải qua hoặc dải dừng (Chebyshev loại 2)

Bình phương của hàm truyền và đáp ứng biên độ tần số của Chebyshev-1 bậc N là

     *

c N c N 2

2 a

s/jΩ C s/jΩ C 1

1 (s)

a

Ω/Ω C 1

1 )

Ω ( H





Với CN(x), x/c, là đa thức Chebyshev-1 của loại đầu tiên của bậc N, c là tần số cắt  đối

số độ gợn sóng Hàm truyền của lọc Chebyshev bậc N cũng có N cực, nhưng không nằm trên đường trong mặt phẳng s như trong trường hợp của Butterworth nhưng nằm trên ellipse, Biểu thức của đa thức Chebyshev-1 có bậc không và cao hơn là

CO (x) = 1 C1 (x) = x C2 (x) = 2x2 – 1 C3 (x) = 4x3 – 3x C4 (x) = 8x4 – 8x2 + 1 C5 (x) = 16x5 – 20x3 + 5x



(6.14) là công thức đệ qui của đa thức

Hình 6.4 vẽ đáp ứng biên độ bình phương chuẩn hóa của lọc Chebyshev-1 của bậc lẻ Như ta thấy, nó gợn sóng trong dải qua và đều trong dải dừng Tại tần số bằng 0 (0) biên độ chuẩn hóa

là 1 Với lọc Chebyshev-1 có bậc chẵn giá trị này là 1 /( 1  2) Số độ gợn sóng bằng nhau với bậc

6

của lọc Độ gợn sóng xuất hiện giữa mức cao 1 và mức thấp 1/(12) Khoảng cách giữa hai mức là bình phương dải thông độ gợn sóng đỉnh đến đỉnh 2

)1( p Từ (6.13), tại cạnh dải qua đáp ứng là 2

2

) / ( 1

1

p c

p N

2

) / ( 1

1

s c p N

Khi ta dẫn ra hai biểu thức trên tần số cắt ckhông hủy như trong trường hợp của lọc Butterworth

Để dễ dàng, thường lấy cnhư p Với sự thay thế này (6.15a) đưa sự kết nối giữa đối số độ gợn sóng  và độ gợn sóng dải qua p:

1 ) 1 (

)1(

cosh1

1 1

2

p s

Với  và N tìm thấy ta có thể xử lý thiết kế và vẽ đáp ứng tần số

Hàm truyền của lọc Chebyshev-1 chỉ có cực nằm bên trái của một ellipse có tâm tại gốc, trục chính dọc theo trục ảo j, và trục ảo dọc theo trục thực  Kích thức của ellipse phụ thuộc đối số độ gợn sóng Độ gợn sóng càng nhỏ độ chuyển tiếp càng rộng Với độ gợn sóng zero, lọc Chebyshev trở thành lọc Butterworth

Lọc Chebyshev loại 2 (Chebyshev-2) hàm truyền có cả cực và không Đáp ứng biên độ bắt đầu tại 1 và giảm đều trong dải qua, và gợn sóng trong dải dừng Bình phươg đáp ứng biên độ được cho bởi biểu thức

Hình 6.4: Chebyshev loại 1 có bậc lẻ (trong trường hợp này N = 5) Với bậc chẵn, đáp ứng bắt đầu tại mức thấp 1/(1 2) nhưng sau một vài dao động, sẽ đạt đến mức cao 1 trước khi rơi nhanh

2

s



Butterworth filter

2

a( )

Chebyshev filter

(rad/s)

R c

2 2

1

1)

7

) Ω Ω ( C 1

) Ω Ω ( C

| (Ω H

|

s 2 N 2 c 2 N 2 2 a

1 )

(

Với những đối số độ gợn sóng  có cùng nghĩa như trong trường hợp Chebyshev, và UN(x )là hàm

Jacobian elliptic function có bậc N

Thiết kế của lọc elliptic thì phức tạp hơn lọc Chebyshev

6.1.4 Lọc Bessel

Nó đáng giá để đề cập một ít về lọc Bessel Hàm truyền của nó chỉ có cực như trong trường hợp của Butterworth và Chebyshev loại 1:

(s) B

1 (s) H

M

Với BM(s) là đa thức Bessel có bậc M Lọc Bessel có độ chuyển tiếp dài hơn lọc Butterworth, nhưng ngược lại có đáp ứng pha tuyến tính trong dải qua Tuy nhiên đặc tính pha thích hợp này sẽ bị hủy trong sự biến đổi đôi tuyến tính (phần 6.3) Bởi lý do này, lọc Besel không sử dụng cho thiết kế lọc số

p

Hình 6.5: Bình phương đáp ứng biên độ của lọc thông thấp Chebyshev-2

02

2 2

2)1( p

2

|)(

|H a 

1

8

6.2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG XUNG BẤT BIẾN

Lọc tương tự có một lịch sử phát triển và sử dụng khá lâu đời (hơn 50 năm) Đặc biệt, phương pháp lý thuyết và thiết kế của lọc tương tự được xây dựng khá tốt, điều này sẽ khai thác để thiết kế xấp xỉ của lọc IIR số Ta xét phương pháp bất biến xung

6.2.1 Chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z

Với hệ thống tuyến tính và tín hiệu tương tự, biến đổi Laplace là một công cụ toán học rất hiệu quả cho thiết kế và phân tích Hàm tuyền Ha(s) của hệ thống tuyến tính và bất biến thời gian (LTI hoặc LSI) có cùng hình thức như hàm truyền H(z) của hệ thống DSP (4.28)

Ha(s) =

D(s)

N(s) =

)

p)(sp)(sp(s

)

z)(sz)(sz(sG

3 2

1

3 2

k 1 k k

dx

x(t) d β dt

y(t) d

k k

0 k

k ks α 1

s β

(6.24)

Tuy nhiên ở đây có một vài sự khác nhau quan trọng (hình 6.7)

- Trong biến đổi Laplace, đáp ứng tần số H a() có được bằng cách thay s  j  vào hàm truyền Ha(s), i.e Ha(s) dọc theo trục ảo j  là đáp ứng tần số H a(), ngược lại trong biến đổi

z đáp ứng tần số H (  )là hàm truyền H(z) dọc theo vòng tròn đơn vị

- Tần số tương tự  (đơn vị radian/s) khác nhau dọc theo một đường thẳng với những giá trị

từ 0 đến , ngược lại tần số số (đơn vị radian/sample) khác nhau xung quanh đường tròn với những giá trị từ 0 đến 2 (hoặc từ to) và tuần hoàn;

- Để lọc tương tự ổn định (và nhân quả), những cực của Ha(s) phải nằm trong nửa mặt phẳng bên trái cảu mặt phẳng s, ngược lại lọc số ổn định và nhân quả, những cực phải nằm bên trong đường tròn đơn vị

Hình 6.6: Lọc Elliptic với bậc lẻ (Trong trường hợp này N = 5) Với bậc chẵn bắt đầu

tại mức thấp 1 /( 1  2)nhưng kết thúc tại mức 1 trước khi rơi nhanh

1

1)

(2k – 1)/T , với k nguyên, và cũng chuyển cùng khoảng   Điều này là kết quả của lấy mẫu tín hiệu Dải2/Tcủa nửa mặt phẳng bên trái s được chuyển vào bên trong đường tròn đơn vị, kết quả những dải giống nhau thì cũng được chuyển vào bên trong

z-plane s-plane

0





10

Nhìn vào hình.6.9 Từ đáp ứng biên độ tần số được yêu cầu | H (  ) |trong khoảng 0 , ta xét đáp ứng biên độ tần số của một lọc tương tự H a() có cùng hình dạng (nhưng mở rộng đến ) Kế đến, từ H a() ta tìm đáp ứng xung tương tự ha(t), ví dụ bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược của Ha(s) Sau đó ta lấy mẫu ha(t) để có đáp ứng xung h(n) của lọc IIR được thiết kế

Lấy mẫu phải thỏa định lý lấy mẫu (phần 1.3.2) nhưng vấn đề là đáp ứng tần số tương tự tồn tại đến vô cực và vì vậy, ta không thể thỏa định lý lấy mẫu, và xuất hiện biệt danh, kết quả làm tăng một phần tần

số cao của lọc số Vì lý do này, phương pháp bất biến xung chỉ phù hợp với lọc thông thấp

Một điểm khác là tìm biến đổi Laplace ngược thì không thuận tiện Vì vậy ta phải phát triển một phương pháp thiết kế, ta có thể đi từ hàm truyền tương tự Ha(s) trực tiếp đến hà truyền lọc số H(z) Bắt đầu từ hàm truyền tương tự Ha(s) công thức (6.3) và giả sử nó là một hàm tỉ số phù hợp, tất

cả các cực là thực và đơn để nó có thể khai triển thành những phân số thành phần với hình thức

Ha(s) =

1 a

1

p s

G

2

p s

G

 + … a i

ips

T1

h(n)

0 (c)

Hình 6.9: Đáp ứng xung và tần số của lọc tương tự tương ứng với lọc số tại hai chu kỳ

lấy mẫu khác nhau T1 và T2

11

hi(n) = hai(nT) = GiepainT; n  0 (6.30)

0 , n < 0 Đây là hàm truyền được biến đổi z

Hi(z) = p nT n

0 n

z G

G

a 1 

2ze1

G

a 2 

ize1

và lọc số bậc một tương ứng Từ hàm truyền ta có thể dẫn ra phương trình tín hiệu

1

p s

G



2

2 a

ps

G



3

3 a

p s

G



1 T p 1

ze1

G1



1 T p

ze1

ze1

Với  là hằng số thời gian (Với mạch RC ,  RC) Với  1s,

(a) Vẽ đáp ứng xung và tần số của lọc tương tự được cho

(b) Thiết kế lọc số tương ứng với chu kỳ T = 0.5s

(c) Lặp lại câu hỏi (b) với T = 0.05s

Giải

(a) Với  1s, hàm truyền là

Ha(z) =

s 1

)(

Ha  =

21

(b) Với chu kỳ lấy mẫu T = 0.5s, cực của lọc số tương ứng được cho bởi

T

pa

e = e–1x0,5 = 0.6065 Dẫn đến hàm truyền

1

z0.60651

cos 0.6065 (1

0.855





Đáp ứng chuẩn hóa được vẽ trong hình 6.12c Tần số cắt tương tự c 1rad/stương tự với tần số

số c T 10.50.5rad/sample Tại đáp ứng tần số này có giá trị 1 / 2như mong muốn

(c) Với chu kỳ lấy mẫu T0.05s ta có,

T

e = e–1 x 0.05 = 0.9512 H(z) = p T 1

ze1

1

a 

z0.95121

0.7246 )

14 Kết quả chỉ trong hình 6.12d Bây giờ tần số cắt tương tự c 1rad/stương ứng với số

sample rad

Với một tần số cắt tương tự cao hơn, kết quả trên sẽ áp dung nếu khoảng lấy mẫu được

tỉ lệ xuống thích hợp Ví dụ với tần số cắt tương tự 1000 rad/s, ta sẽ sử dụng khoảng lấy mẫu103 0 05  5 105s

Ví dụ 6.2.2

Lọc Butterworth tương tự bậc ba với tần số cắt c  10 rad / s có ba cực tại

pa1 = 10  180O = –10 pa2 = 10  120O = –5 + j8.66 pa3 = 10  240O = –5 – j8.66 (a) Thiết kế lọc IIR với chu kỳ lấy mẫu T = 0.05s

5 10)(s (s

P1 = ep1T = e–10(0.05) = e–0.5 = 0.6065 P2 = ep 2T = e(–5 + j8.66)(0.05) = e–0.25 ej0.433 = 0.778824.8OP3 = ep 3T = e(–5 – j8.66)(0.05) = e–0.25 e–j0.433 = 0.7788–24.8O

15

Hàm truyền của lọc là

H(z) =

0.6065 z

0.01

O24.8 0.7788 z

210 0.00577

z

0 1 0.00577

1.464 z

2.020 z

0.0006365 z

0.0008701

2



Hình 6.13b vẽ cực-không Hình 6.14b cho đáp ứng biên độ | H (  ) |

(b) Khoảng lấy mẫu bây giờ T = 0.1s, i.e tốc độ lấy mẫu bằng nửa giá trị trước, biệt danh xuất hiện Cực z là

1

z = ep 1T = e–10(0.1) = 0.36790Oz2 = ep 2T = e(–5 + j8.66)(0,1) = 0.606049.6Oz3 = ep 2T = e(–5 – j8.66)(0,1) = 0.6060–49.6O Hàm truyền là

H(z) =

36790

z

0.01

06 9 6060 0.

z

210 0.00577

z

0 1 0.00577

z6561.0z153.1z

12480.00z12410.002

16

Đáp ứng biên độ được vẽ trong hình 6.14c Vì vậy biệt danh có đáp ứng giảm dần và băng thông gấp đôi

Từ hàm truyền ta có thể có phương trình tín hiệu bằng cách sử dụng cùng phương pháp như

ví dụ trước, hoặc bằng cách viết hàm truyền như hàm của z-1

và so sánh với biểu thức tổng quát (4.13a) để lấy những hệ số lọc

6.2.3 Trường hợp cực phức và cực kép

Như ta giả sử hàm truyền H(s) được khai triển thành những thành phần có cực thực đơn Cũng như vậy ta có thể giải quyết trường hợp cực phức và cực kép Bảng 6.2 liệt kê sự biến đổi cho những trường hợp này Thật sự ta có thể tính trực tiếp bằng cách khai triển H(s) thay vì sử dụng bảng

Bảng 6.2: Biến đổi xung bất biến

17

Ví dụ 6.2.3

Cho hàm truyền tương tự

Tìm hàm truyền số H(z) với khoảng lấy mẫu T = 0.5s

0.1 s

Hàm truyền Ha(s) có không tại s = 0.1 và đôi cực liên hiệp phức tại s = –0.1 j3 Để tìm hàm truyền số

ta khai triển Ha(s) như

Ha(s) =

3) j (0.1 s

0.5 3)

j (0.1 s

0.5 z

e e 1

18

1 T

0.1

z e z T) 3 (cos e

2 1

z T) 3 (cos e

6.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐÔI TUYẾN TÍNH

Phương pháp thiết kế đáp ứng xung bất biến là một ý tưởng tốt nhưng không hiệu quả vì vấn đề biệt danh Trong phần này ta sẽ xét phương pháp biến đổi đôi tuyến tính mà trục tần số ảo j của mặt phẳng s được chuyển vào đường tròn đơn vị trong mặt phẳng z, và nửa mặt phẳng trái của s được chuyển vào bên trong đường tròn đơn vị (hình 6.7 và hình 6.17) Quan trọng hơn, vì tất cả phương pháp thiết kế tương tự dẫn đến lọc tương tự ổn định, chẳng hạn một sự biến đổi sẽ có kết quả lọc số

b (s)

Ha



Phương trình tương ứng là

Với y’(t) được viết từ vi phân dy(t)/dt y(t) thay bằng tích phân của y’(t) với điều kiện đầu:

aT

Lấy công thức xử lý biến đổi z:

X(z))z(12

bTY(z)z)2

aT(1Y(z))2

aT

Vì vậy hàm biến đổi của lọc số là

1 1z 2) aT/

(1 2 aT/

1

) z 2)(1 (bT/

z1T2

bH(z)

1 z T

2 z 1

z 1 T

sT 2 z

z 1 z 1 T 2

) ( )

2

2 C a

s2s(s)H

ωω

1 C

2 1

1 2

2 C

z1

z1T

22z

1

z1T

2

ωω

6000π π



20

Nhân tử và mẫu của H (z ) vớiT2và sau đó dùng một số thao tác biến đổi ta có

2 1

z0,424118z

1,1682611

z0,063964z

0,1279290,063964

Từ điều này, hàm truyền tương tự có thể tìm thấy là

1000200s

20ss

1(s)

1

z1 T

2200z

1

z1 T

220z

1

z1 T2

1H(z)

1 1 2

1 1 3

1

3 2 1 -6

1.819z 5.783z

6.177z 2.221

) z 3z 3z (1 10

2.603 z

2.781 - 1

z 0.4502 z

1.350 z

1.350 0.4502

0,1s

50 2

z14Hàm truyền cho hai không tại z = -1 và 0.95, hai cực tạiz = 0.987ej/2 Vì vậy ta có lọc bậc hai với tần số cộng hưởng tại 0 /2như mong muốn 

6.3.2 Chuyển đổi từ tần số tương tự  sang tần số số 

Thay z = rej vào công thức (6.37):

s =

1 re

1 re T

2j

1rT

2

2 2

1 r T

22

rsin2T

 =





cos1

sin T

2

Hoặc

 =

2

ω tan T

2

or

2

ω tan 2

-10

Digital

Analog Digital

Hình 6.16: Sự chuyển đổi tần số tương tự  sang tần số số 