Chương 5 THIẾT kế lọc FIRL

Lọc số vượt trội hơn so với lọc tương tự trong nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu: âm thanh, hình ảnh, video, nén dữ liệu, sinh học….Điểm thuận lợi chính của lọc số là: - Chúng có thể được th

THIẾT KẾ LỌC FIR

Lọc là hệ thống điển hình và thường đựợc sử dụng nhất trong hệ thống rời rạc thời gian Lọc thay đổi đặc tính biên độ-tần số, hoặc pha-tần số của tín hiệu ra theo cách mà ta muốn Một ứng dụng điển hình của lọc là tách tín hiệu mong muốn ra khổi nền nhiễu Lọc số là những thuật toán tính toán được tiến hành bằng phần cứng hoặc phần mềm, ngược lại lọc tương tự là tổng trung bình của tín hiệu vào tại một vài thời điểm

Lọc số vượt trội hơn so với lọc tương tự trong nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu: âm thanh, hình ảnh, video, nén dữ liệu, sinh học….Điểm thuận lợi chính của lọc số là:

- Chúng có thể được thiết kế để có đáp ứng pha tuyến tính

- Chúng có thể được thiết kế sử dụng sự cải tiến của kỹ thuật VLSI

- Chúng có thể dễ dàng lập trình và lập trình lại với những chức năng khác nhau

- Chúng ít nhạy với sự thay đổi môi trường (nhiễu, nhiệt độ, nguồn công suât)

Tuy nhiên lọc số cũng có một số điểm bất lợi như chúng có thể bị ảnh hưởng từ hiệu ứng chiều dài từ vô hữu hạn (xem chương 7)

Lọc số được phân loại như đáp ứng xung hữu hạn (FIR), nó cũng là lọc không đệ qui, và đáp ứng xung vô hạn (IIR), lọc đệ qui Chương này ta thảo luận về lọc FIR và sự thiết kế chúng Nội dung chính của chương này là lọc lựa chọn tần số lý tưởng, lọc FIR pha tuyến tính, và ba phương pháp của thiết kế lọc: cửa sổ, tối ưu, và lấy mẫu tần số

k n x k h n

Với h(k) là những hệ số, hay đáp ứng xung của lọc (công thức (2.19)), x(n – k) là tín hiệu vào x(n) bị

trễ k mẫu Với lọc FIR nhân quả công thức trở thành

M k=0y(n)= h(k)x(n-k)

= h(0)x(n) + h(1)x(n-1) + h(2) ( x n  2) + + h(M)x(n-M)

Trong hình thức này bậc lọc là M, chiều dài lọc (tổng số hệ số lọc ) là M1 Một số tác giả sử dụng

N thay vì M, và viết ngưỡng trên như N1 để chiều dài lọc là N (cách viết này thấy trong matlab)

(

n

n je n h

Biết đáp ứng tần số H (  ) ta lấy biến đổi ngược DTFT để có đáp ứng xung h (n ) Để phân tích, thiết

kế và tiến hành hệ thống, hàm truyền (hàm hệ thống) thì quan trọng hơn Nó là biến đổi z của đáp ứng xung (công thưc 4.4)

M M

n

n

z M h z

h h z n h z



  ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) )

Để tìm cực không của lọc FIR, ta diễn tả H(z) thành những thành phần mũ dương của z bằng

cách nhân tử và mẫu với zM

, kết quả là

M

M M

z

M h z M h z

h z h z

5.1.1 Ưu điểm và khuyết điểm của lọc FIR

F

Lọc FIR có một số ưu điểm hơn lọc IIR, hai điểm nổi bật nhất là:

- Lọc FIR có để được thiết kế để có pha tuyến tính (phần 5.2) để dạng sóng của tín hiệu vào được giữ lại, như được yêu cầu trong nhiều lĩnh vực ứng dụng: xử lý ảnh, y khoa…

- Lọc FIR thì ổn định Hàm truyền của chúng không phải là hàm hữu tỉ và vì vậy chỉ có không Sự đảm bảo ổn định làm lọc FIR rất hữu ích trong lọc thích nghi

Ngược lại, lọc FIR cũng có một số nhược điểm như:

- Lọc FIR yêu cầu nhiều hệ số để đạt tới cùng chất lượng của đáp ứng tần số, vì vậy đòi hỏi nhiều thời gian tính toán và cất dữ lớn

- Lọc FIR không giống lọc tương tự, vì vậy ta không thiết kế nó bằng những kỹ thuật tương tự

5.1.2 Lọai của lọc lựa chọn tần số lý tưởng

Dựa vào đặc điểm tần số(hoặc đáp ứng tần số) lọc được phân lọai thành: thông thấp, thông cao, dải qua, dải chặn (hình 5.1) Lọc lý tưởng có biên độ băng thông là hằng số, biên độ dải chặn bằng không,

và sự truyền gián đoạn (thời gian truyền bằng với không) Chú ý rằng sự phân loại không dựa trên đặc điểm pha Để chi tiết, lọc có thể được phân loại như trơn, băng hẹp, notch, comb, dải qua, pha cực tiểu…

Ta nên nhớ rằng phổ, tần số và pha của hệ thống và tín hiệu rời rạc thời gian có chu kỳ 2 với chu kỳ trung tâm thường lấy    ,   hoặc  0 , 2  

-Phần tiếp theo, nó thích hợp để đề cập hai lọc mà có thể tham khảo đến một vài lần, vi phân số

và định nghĩa hàm Hilbert, tương ứng như sau



)(

2



 , 0

Kết quả chỉ trong hình 5.2

5.1.3 Sự quan hệ giữa những lọc lý tưởng căn bản

Từ hình 5.1 chú thích hLP(n )và HLP(  ) đặc trưng thời gian và tần số của lọc thông thấp lý tưởng Sau đó, sự quan hệ trong đáp ứng tần số với giả sử cùng những tần số cắt là:

Hình.5.2: Đáp ứng tần số của vi phân số và biến đổi Hilbert

Với ulà tần số cắt trên, vàllà tần số cắt dưới Bằng cách lấy biến đổi ngược DTFT ta có sự liên hệ giữa đáp ứng xung như sau:

5.1.4 Biến đổi lọc thông thấp thành những lọc khác

Trong phần trước ta đề cập sự quan hệ chung giữa các lọc Trong phần này ta thảo luận sự biến đổi của một lọc thông thấp, đáp ứng xung của nó được biết, sau đó bằng cách sử dụng thuộc tính dich tần số của DTFT (phần 3.5) ta có thể chuyển lọc thông thấp thành những lọc khác có cùng đặc tính chính

Đáp ứng tần số của lọc thông cao có được từ thông thấp bằng cách dịch về quá khứ bởi radians, i.e thay  bằng   :

) ( )

h n = -1 h n πn h n (5.11c) Bên trên, (1)n là cos n , ta có thể viết đáp ứng xung trong cả hai hình thức

Nếu phương trình tín hiệu trình bày một lọc thông thấp, (công thức 2.21) là

ky n k b x n k a

n y

1

) ( )

( )

k k k

k

k n x b k

n y a n

y

1

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )

Ví dụ lọc thông thấp có phương trình tín hiệu

) ( 5 0 ) 1 ( 8 0 )

Thì tương ứng lọc thông cao có phương trình

) ( 5 0 ) 1 ( 8 0 )

miền thời gian tương ứng với nhân chập trong miền tần số Ta cũng biết rằng DTFT của cos0n là hai mẫu đơn vị tại 0

Ví dụ hình 3.29 vẽ đáp ứng biên độ của một lọc thông thấp với đáp ứng xung là 21 mẫu (từ

n h

,0

1010

,21

112

1)

n

h BP

,0

1010

,cos21

1)(  3   

Từ kết quả này ta có đáp ứng biên độ như hình 5.3

1.0 0.5

0.5

1.0

5.2 Lọc pha tuyến tính

Khả năng để có một đáp ứng pha tuyến tính đảm bảo là một ưu điểm quan trọng của lọc FIR hơn lọc IIR Phần này trình bày điều quan trọng trước khi ta đi vào thiết kế lọc FIR trong phần nhỏ sau Ta chú thích H() đáp ứng biên độ và  (  ) or  H (  )đáp ứng pha của lọc

5.2.1 Trễ pha

Nó được biết rằng trong miền thời gian tín hiệu ngõ ra được cho bởi nhân chập thời gian

) ( ) ( ) ( ) ( )

) ( )

( )

Với sự quan hệ pha bên trên, pha  H (  ) có nghĩa của một sự dịch pha (trễ hoặc tới trước) Vì điều này dịch pha phụ thuộc vào tần số, những thành phần tần số khác nhau của tín hiệu vào có thể có chịu những sự dịch pha khác nhau khi tín hiệu đi xuyên qua lọc, kết quả là một dạng sóng ngõ ra bị méo

dạng Hình dạng méo này được gọi là sự méo dạng pha

Xét một sinusoid tương tự có chu kỳ T0 s, và tần số gốc 0 rad/sec, ( 0  2 /  T0) Vì vậy chu kỳ tương ứng với pha thay đổi với 2 rad, trễ pha 0 sẽ tương ứng với một thời gian trễp (0 /2)T0 sec Vì vậy một trễ pha có thể giải thích như một trễ thời gian Trễ pha của một lọc được định nghĩa như thuộc tính âm của pha  (  ) được chia bởi tần số tương ứng :

( )( )

p

Φ ω

τ ω =

Chú ý rằng dù gọi là trễ pha nhưng p() thật sự là trễ thời gian Một lọc được nói đến có pha tuyến

tính khi đáp ứng tần số pha tỉ lệ với trừ của tần số

Φ ω = H ω = -αω ( )  ( ) (5.15a) Điều này có nghĩa

Trường hợp sau được xem như pha tuyến tính

Φ ω = -αω+β ( ) (5.17)

thức 5.15a , và được gọi là pha tuyến tính tổng quát Với   0 ta có pha tuyến tính, với những giá trị khác của  như  2 ta có pha tuyến tính tổng quát, nhưng trường hợp    có thể xem như pha tuyến tính (phần 5.2.3)

Xét ví dụ một lọc có ham truyền 2

)(z z

H Nhớ rằng điều này có nghĩa lọc trễ tín hiệu vào )

Phổ biên độ và pha tương ứng là,

1)( 

5.2.3 Những loại của lọc pha tuyến tính

Vì lọc FIR nhân quả được miêu tả bởi (5.2), phụ thuộc bậc lọc M là chẵn hoặc lẻ, và đáp ứng xung )

(n

h đối xứng hay phi đối xứng, ta chia thành 4 loại khác nhau với những đặc tính khác nhau Hình

5.5 miêu tả bốn loại này

 

h n = h M - n

(5.20)

Đáp ứng trên có giá trị từ 0 n Mnhưng vì đối xứng, dải thật sự là 0 n M / 2

4 trường hợp của đáp ứng xung trong hình 3.31 tất cả đều thuộc loại FIR_1 Đầu tiên xét ví dụ đơn giản với M=4 Chú ý rằng h (0)  h (4), h (1)  h (3), và h (2) là chính nó, ta viết công thức cho đáp ứng tần số như

Trong trường hợp này,  trong công thức (5.17) is  Đây là pha tuyến tính tổng quát Nó thấy rằng

ở đây sẽ có pha méo dạng (dạng sóng tín hiệu ra bị méo dạng) May mắn biên độ của G (  ) và của )

( 

H có thể âm chỉ trong dải chặn nơi biên độ thì hoàn toàn nhỏ (so với biên độ trong thông qua) vì vậy hiệu ứng của méo dạng có thể chấp nhận Tất cả lọc chọn tần số cơ bản (hình 5.1) có thể là FIR lọai 1 khi M chẵn (Hình 3.31)

Bậc lọc M lẻ, đáp ứng xung bất đối xứng (Hình.5.4d) như trong (5.24) nhưng dải thật sự là

0   n ( M  1) / 2 như trong FIR-2

Với loại 3 và 4, cả hai bất đối xứng, đáp ứng tần số luôn luôn bằng không tại tần số0, vì vậy chúng không thể được sử dụng như lọc thông thấp Ngược lại, sự cộng của chúng dịch pha /2

làm chúng hữu ích trong thiết kế của vi phân và biến đổi Hilberl (hình 5.2) Loại 1 và 2 thì linh hoạt hơn

Để căn bản hơn, ta xét hàm truyền thay vì đáp ứng tần số Với lọc pha tuyến tính, như thảo luận trước, đáp ứng xung có thể đối xứng hoặc phi đối xứng,i.e h ( n )   h ( M  n ) mà được biến đổi thành

n n

z n M h z

n h z

H

) (

) ( )

(

Một sự thay đổi biến sẽ dẫn đến

  -M  -1

Từ đây ta có sự quan sát khác nhau về vị trí không, ví dụ với lọc bất đối xứng, cả M chẵn và lẻ, ở đây

có không tại z=1; vì vậy trường hợp M chẵn ở đây được cộng không tại z=-1 (làm lọc thích hợp với lọc thông qua)

Khi tổng H ( )  và H z ( )từ n0đến N1(như chú thích bởi nhiều tác giả khác), thay vì 0

n đến M như ta sử dụng ở đây, sau đó trong tất cả công thức trước bao gồm M ta nên thay N-1 bằng M (hoặc N bằng M-1)

độ và pha của lọc Chú ý rằng đáp ứng biên độ không tốt (vì sự cắt cụt) và tần số cắt không phải /2như mong đợi

Thay n bằng n M  2 trong (5.31a) ta có đáp ứng xung nhân quả

N ( M 2 )

2N (M)

N

(b) Nhân quả

0.5 0.318

h(n)

0 1 2 3 4 n

(a) Hai bên

h(n)

Hình.5.6: Ví dụ 5.2.1 (đáp ứng xung của lọc thông thấp lý tưởng

với c   / 2và M = 4)

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0

| ) (

| H 

M j



Đáp ứng tần số của lọc được thiết kế cho bởi

10 10 10 1

(0) 2 ( ) cos

j n n

Ta có thể bắt đầu với lọc nhân quả và sử dụng (5.22) cho đáp ứng xung

Trường hợp   50 n 50được xử lý như trên, kết quả chỉ như trong hình 5.7d và e Đáp ứng tần số thì gần với đáp ứng tần số của lọc lý tưởng, nhưng sự gợn sóng vẫn còn thấy rõ

5.3 PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ

Thiết kế của một lọc FIR bắt đầu với đặc tính kỹ thuật của nó trong cả miền thời gian rời rạc hoặc DTFT miền tần số Trong miền thời gian, mục đích thiết là đáp ứng xung Trong miền tần số, sự yêu cầu gồn nhiều đối số khác nhau của đáp ứng biên độ Hình 5.9 là trường hợp của lọc thông thấp Những đối số quan trọng là tần số dải cạnh p và s, băng thông [0,p], băng truyền

Hình 5.10 minh họa đặc tính của lọc thông qua Ở đây có hai tần số cạnh, thấp và cao Nâng dải thông l và hạ dải thông  u thường được giả sử bằng nhau

(a) Đặc tính của lọc

(b) Chọn một loại lọc pha tuyến tính thích hợp (phần 5.2.3)

(c) Chọn phương pháp thiết kế như cửa sổ, tối ưu, lấy mẫu tần số…

(d) Tính hệ số lọc (đáp ứng xung)

(e) Tìm cấu trúc thích hợp (chương 7)

(f) Phân tích hiệu ứng chiều dài từ hữu hạn (chương 7)

(g) Tiến hành lọc bằng phần cứng hoặc mềm (chương 7).

5.3.1 Cửa sổ cố định

Đáp ứng xung của lọc lý tưởng là vô hạn Ta không thể tính đáp ứng tần số tương ứng, đặc biệt, tiến hành lọc bằng phần cứng hoặc phần mềm Vì vậy ta phải cắt cụt đáp ứng xung tại hai đầu cuối và giữ lại phần trung tâm Thậm chí ta cắt cụt đáp ứng xung đủ nhỏ, ngoại trừ cắt quá nhỏ sẽ gây ra một số hiệu ứng không mong muốn Phương pháp cửa sổ sẽ cắt chúng

Trong miền thời gian, cửa sổ có nghĩa ta nhân đáp ứng xung vô hạnh (n) với một cửa sổ d

hữu hạn (hoặc hàm cửa sổ) w(n) để lấy sự cắt cụt Kết quả đáp ứng xung h (n ) của lọc được thiết kế

Nhân trong miền thời gian tương ứng với nhân chập trong miền tần số như biểu thức (3.51)

Vì vậy đáp ứng tần số của lọc được thiết kế (tương ứng với đáp ứng xung cửa sổ h (n )) là

VớiW (  )là biến đổi Fourier (DTFT) của cửa sổw (n )

Trong phương pháp thiết kế cửa sổ, đầu tiên ta tính đáp ứng xung lọc được thiết kế h n d( ) từ đáp ứng tần số mong muốn H d( ) , và sau đó áp một cửa sổ thích hợp Vì vậy phương pháp nên được

gọi là phương pháp Fourier – window, hơn là phương pháp cửa sổ

Cửa sổ chữ nhật

Thật sự, sự cắt cụt đột ngột được đề cập ở trên là một cửa sổ đơn giản nhất được gọi là cửa sổ chữ nhật, định nghĩa như (Hình 5.11)

otherwise ,

0

0 , 1 )

(5.34) Biến đổi Fourier là

n j

e

e e

e n w

(

) 1 ( 0

0 ,

1

0 ,

2 / sin 2 / ) 1 ( sin 2

M M j

Điều này giống như (3.54) khi thayM bằng 2N Cũng như thế, thay vì diễn tả như trên ta có thể thay thế sử dụng tổng của cosin ((3.46), (3.53)) W (  ) bao gồm thừa số pha chỉ dịch thời gian Đáp ứng biên độ và pha tương ứng là,

-40

0 -20

Với là 0 hoặc  như đề cập ở trước Vì vậy cửa sổ có pha tuyến tính Hình.3.27 minh họa sự khác nhau của độ lớn W() (Nhớ thay 2N bằng M ) Nó là lớn nhất và bằng với M 1 tại 0 Những điểm xuyên không là nhân của 2  /( M  1 ) Hình 5.12 là đáp ứng biên độ dB của cửa sổ chữ nhật với M = 20 và 30 Đáp ứng bao gồm một dốc chính và nhiều dốc nghiêng Khi M lấy lớn hơn dốc chính nhỏ hơn và ở đó nhiều dốc nghiêng, đồng thời hẹp hơn và độ lớn của dốc nghiêng đầu tiên duy trùy giống nhau tại -13.5dB Khi M  , W (  ) trở thành mẫu đơn vị  (  )

Hình 5.13: Sự hoạt động của cửa sổ chữ nhật trong miền thời gian (bên trái) và trong miền tần số (bên phải)

  dH

1

1

Hình.5.12: Đáp ứng biên độ trong dB của cửa sổ chữ nhật với M = 20 và 50 Cắt cụt 320 mẫu

Hình 5.13 chỉ hiệu ứng cắt cụt bằng một cửa sổ trong miền thời gian (nhân) và trong miền tần

số (nhân chập) Dao động W() khi nhân chập với đáp ứng lý tưởng H d() sẽ có kết quả trong đáp ứng H (  ) có một chuyển không rộng và độ gợn sóng trong cả thông qua và dải chặn

Hình 5.14 chỉ đáp ứng biên độ của thiêt kế lọc thông thấp sử dụng cửa sổ chữ nhật với M = 10

( 

W là mẫu đơn vị  (  ) Khi ta mô phỏng H (  )bằng máy tính sử dụng phần mềm matlab, hoặc khác, với M là hàng trăm ta sẽ thấy sự chuyển không rộng và độ gợn sóng giảm vì hiện tượng Gibbs (phần 3.1.4) Một cửa sổ dài vô hạn thì không khả thi, vì vậy lý tưởng là lấy một cửa sổ hữu hạn sẽ tốt hơn chữ nhật

Thật sự trong ví dụ 5.2.1 và 5.2.2 sự cắt cụt của đáp ứng xung của lọc lý tưởng nghĩa là đã sử dụng cửa sổ chữ nhật

Cửa sổ khác

Độ lớn dốc nghiên có thể giảm một cách đáng kể bằng cách sử dụng một sự cắt cụt mềm hơn, bằng cách hẹp chữ nhật một cách trơn đến không tại cải hai đầu cuối Không may, ta sẽ thấy, sự giảm trong

độ lớn của dốc nghiêng H (  )thì liên quan bởi độ rộng không mong muốn của dốc chính Nhiều cửa

sổ trơn đã được đề nghị và sử dụng Nó có thể hình dung rằng ứng dụng đầu tiên sẽ là cửa sổ tam giác, hay cửa sổ Bartlett, mô tả trong hình 5.16

(b) M = 18

  dH

1

-  /2

Hình.5.14: Đáp ứng biên độ H (  ) của thiết kế lọc thông thấp có tần số cắt cụtc   / 2 sử dụng cửa sổ chữ nhật với M = 10 và M = 18 so sánh với đáp ứng lọc lý tưởng H d()

Từ hình ta có thể viết hàm cửa sổ ( bảng 5.1) Được so sánh với một cửa sổ chữ nhật với cùng chiều dài, cửa sổ Bartlet có độ rộng múi chính lớn gấp hai lần nhưng múi bên đầu tiên độ rộng cũng lớn hơn hai lần (bảng 5.2) Bảng 5.1 liệt kê những cửa sổ cố định thông thường Hình.5.17 vẽ hàm của

chúng Hình 5.18 vẽ biên độ dB với M = 20 và hình.5.19 với M = 50

Múi bên của cửa sổ tam giác vẫn cao vì vuốt thon vẫn còn thô Với vuốt thon trơn hơn, cosinusoid thì thích hợp trong hàm cửa sổ Sự quan sát này dẫn đến ba cửa sổ được biết: Hanning (hoặc von Hann), Hamming, và Blackman, tất cả định nghĩa trong khoảng 0nM, khác bằng

không (bảng 5.1) Ta có thể kiểm tra rằng cửa sổ là đối xứng, được chuẩn hóa (giá trị đỉnh của 1 tại

2

/

M

n ) và không ở hai phần cuối ngoại trừ chữ nhật và Hamming (0.08 thay vì 0) Bên cạnh

ở đây cũng có nhiều cửa sổ cố định khác được sử dụng

M/2

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

Bảng 5.1: 5 cửa sổ cố định thông thường được định nghĩa trong khoảng 0 n M

(những cửa sổ có thể được phát sinh sử dụng M file: hann, hamming and blackman in Matlab)

Chú ý rằng tất cả những cửa sổ được đề cập từ chữ nhật đến Blackman, là những hàm đơn giản và dễ tính toán, và đáp ứng tần số của chúng tập trung xung quanh 0(Múi chính) như mong

muốn Cũng chú ý rằng tất cả cửa sổ được đề cập là đối xứng ở khoảng giữa nM/2, điều này khi kết nối với đáp ứng lọc đối xứng hoặc bất đối xứng sẽ làm thiết kế lọc tương ứng có pha tuyến tính hoặc pha tuyến tính tổng quát

Hình Fig.5.17: Những cửa sổ thông thường được vẽ như hàm của n thời

gian liên tục (nhưng thật sự những cửa sổ là hàm rời rạc n mẫu)

Tam giác (Barlett):

20

,

2)

M

n n

M n M M



2,

w( )0.50.5cos2 , 0  (5.38d)

M

n n

w ( )  0 54  0 46 cos 2  , 0   (5.38e)

M

n M

n n

w( )0.420.5cos2 0.08cos4 , 0 

(5.38f)

w(n)

Hình.5.18: dB đáp ứng tần số của cửa sổ cố định với M = 20 (a) Bartlett,

(b) Hanning, (c) Hamming, (d) Blackman

(a)

(b)

(c)

(d)

Hình.5.19: dB dáp ứng tần số cảu những cửa sổ khác với M = 50 (a) Bartlett,

b) Hanning, (c) Hamming, (d) Blackman

(a)

(b)

(c)

(d)