Câu 4: Bài toán ứng dụng tích phân Giả sử doanh thu cận biên marginal revenue ở mỗi mức sản lượng Q được xác định dưới dạng hàm số: MR = 60 – 2Q – 2Q2 Hãy xác định hàm tổng doanh thu tot
Trang 1Mà tích phân +∞∫ +
1 2
1 x
dx
hội tụ vì:
hội tụ
Câu 1 : Tính giới hạn bội:
( )
0 lim
0 lim
0 lim
: Mà
0 : Có
lim )
2 2
3 3 0 0
2 2
3 3 0 0 0
0
2
3 2
3 2 2
3 2
2
3 2
2
3 3
2 2
3 3 0 0
= +
+
⇒
= +
+
⇒
= +
+
≤ +
≤ +
+ +
≤ +
+
≤
+ +
→
→
→
→
→
→
→
→
y x
y x
y x
y x y
x
y x y
y x
x y x
y y
x
x y
x
y x
y x
y x a
y x
y x y
x
y x
Câu 2 : Xét sự hội tụ, phân kì của tích phân suy rộng loại 1:
( , 0)
4
lim 1
lim 1
1
1 :
0
1 ) 1 ( : 0
0 ) 1 ( lim
0 , )
1
1 1
2 1
2
2
2
2 1
arctan
>
⇒
=
= +
= +
+
<
>
∀
>
∃
⇒
<
+
>
∀
>
∃
⇒
= +
>
∫
∫
∫
∫
∞ +
−
+∞
→ +∞
→
∞ +
+∞
→
+∞
−
β α
π
β α
β α
β α β α β
α
β α
dx e x
x
dx x
dx
x e
x có ta A x v cho sao A
e
x x có ta A x v cho sao A
e
x x
dx e x a
x
a a
a a
x x
x x
x
x
( )
lim
0 lim
0 lim
0 lim
0 : Mà
lim
lim lim
: Có
lim )
2 2 3
0 0
2 2
2 3
0 0 2
2
2 3
0 0 3
0 0
3 2
2 3 2
2
2 3
2 2
2 3
0 0 2
2
2 3 3
3
0 0 2
2 3
0 0
2 2 3 0
0
= +
⇒
= +
⇒
= +
⇒
=
=
≤ +
≤
+
=
+
= +
+
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
y x
x y xSin
y x
x y y
x
x y y
y x
x y y
x
x y
y x
x y y
x
x y x
y
x y Sin y
x
x y xSin
y x
x y xSin b
y x
y
x y
x y
x
y
x y
x y
x
y x
Mặt khác
Mặt khác:
(Vì sự nhân lên của hàm lũy thừa chậm hơn của hàm mũ)
Trang 2hội tụ
≤ +
= +
+
+ +
= +
−
∞
+
+∞ −
∫
∫
∫
1 )
1 ( ) 1
(
) 1
(
1
:
) 1 (
) 1 (
1 )
1
(
)
2 2 2
2
1
2
1
2
2 2 1
2
2
2
x x
x x
e x
Cosx x
Cosx
e
dx x
Có
dx x
Cosx e
x
dx x
Cosx
e
b
Câu 3 : Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 2:
a) =∫1
0 xα
dx
K
Với mọi t∈(0;1) ta có:
I(t) = ∫1
t xα
dx
=
=
−
≠
−
1 ln
1 )
1 ( 1
α
α α
α
khi t
khi t
Với α < 1 : K = → + = → +
0
0 ( ) lim
lim
t
1
1
; Với α > 1 : K = → + = → +
0
0 ( ) lim
lim
t
1
Với α = 1 : K = + = + − =+
→
→ ( ) lim( ln )
lim
0
t
Kết luận: Tích phân suy rộng =∫1
0 xα
dx
K : + hội tụ khi α < 1
+ phân kỳ khi α ≥ 1 b) I = ∫2 −
0 8 x3
dx
Xét :
) 2 4 )(
2 (
1 8
1
2
1
x
−
Ta có:
−
2
0
2
2 12 (2 )
1 2
dx x
dx
hội tụ vì
2
1
< 1
I hội tụ
Câu 4: Bài toán ứng dụng tích phân
Giả sử doanh thu cận biên (marginal revenue) ở mỗi mức sản lượng Q được xác định dưới dạng hàm số: MR = 60 – 2Q – 2Q2
Hãy xác định hàm tổng doanh thu (total revenue) va hàm cầu (command) đối với sản phẩm Lời giải:
Hàm tổng doanh thu TR là nguyên hàm của doanh thu cận biên MR :
3
2 60
) 2 2 60
Hiển nhiên doanh thu bán hàng khi Q = 0 là R = 0 Vậy0
Theo tiêu chuẩn dirichlet thì tích phân dx
x Cosx
e x
∫
+∞ −
+
1
2 2 2
) 1 (
hội tụ
Trang 3TR= 60Q – Q2 - 3
3
2
Q
Gọi p = p(Q) là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu Q = D(p) Ta có:
R = p(Q)Q
Từ đây suy ra:
P(Q) =
Q
R
=60 – Q –
3
2
Q2
Câu 5: Cho f(x,y) = xSiny (với x = S2 – t ; y = 2S + t )
Tìm df theo biến S,t tại S =π , t = 0
Bài làm:
• F(S,t) = (S2 – t)Sin(2S + t)
• df = [2S.Sin(2s + t) + 2(S2 – t)Cos(2S + t)]dS + [-Sin(2S + t) + (S2 – t)Cos(2S + t)]dt
• df(π,0) = [2π.Sin(2π) + 2π2.Cos(2π)]dS + [-Sin2π + π2.Cos(2π)]dt
= 2π2dS + π2dt