Bài giảng toán cao cấp 1 chương 1 hoàng văn thắng

2.Phép biểu diễn tuyến tínhĐịnh nghĩa: Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ , , … , nếu vectơ X là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này... Một số kết quả về sự

§3 Các mối liên hệ tuyến tính trong

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

1 Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập

§3 Các mối liên hệ tuyến tính trong

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn

Định nghĩa: Mỗi tổng (1) được gọi là một

tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ ( ∗) Các

số , , , gọi là các hệ số của tổ

hợp tuyến tính đó

Nhận xét:

+ Từ một hệ véc tơ cho trước có thể lập

được vô số các tổ hợp tuyến tính.

+ Tổng hai tổ hợp tuyến tính bất kỳ của

Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ n chiều , , … ,

2.Phép biểu diễn tuyến tính

Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ , , … ,

nếu vectơ X là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này.

Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến

tính qua hệ vectơ , , … , nếu tồn

tại bộ m số , , , sao cho:

Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y,

tức là: tồn tại số sao cho: = thì ta

Ví dụ 1: Cho các vectơ

= , −

= , = ,

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ

vectơ , hay không?

Trả lời: Có

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ

vectơ , , hay không?

Nhận xét: Vectơ 0 luôn biểu diễn tuyến tínhqua mọi hệ vectơ cùng chiều:

Khi nào thì X biểu diễn tuyến tính được qua

Đây thực chất là hệ phương trình tuyến tính m ẩn số: , , … , với ma trận mở

Thường giải hệ này bằng phương pháp Gauss:

+ Nếu hệ vô nghiệm thì X không biểu diễn tuyến tính được qua , , … ,

+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì X biểu diễn tuyến tính duy nhất qua

, , … ,

+ Nếu hệ có vô số nghiệm thì X biểu diễn tuyến tính được qua , , … ,

Thay số ta được

Ví dụ 2: Cho hệ véc tơ

Với giá trị nào của k thì véc tơ

X = (1, – 3, – 4, k) biểu diễn tuyến tính đượcqua hệ véc tơ đã cho ?

1 2 3

“X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ đãcho ⇔ hệ phương trình với các ẩn , ,

có nghiệm”

Lập ma trận mở rộng của hệ và biến đổikhử ẩn trên ma trận mở rộng ta có:

Sự phụ thuộc tuyến tính–độc lập tuyến tính

Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính

Định nghĩa: Ta nói rằng hệ vectơ

, , … , phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ

khi tồn tại m số thực , ,…, trong đó

có ít nhất một số khác 0, sao cho:

 

Ngược lại, nếu đẳng thức (∗) chỉ thỏa

mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0:

thì ta nói hệ vectơ , , … , độc lập

tuyến tính.

Như vậy, một hệ véc tơ cho trước chỉ có

hai khả năng: ĐLTT hoặc PTTT

Xem xét hệ thức (∗) dưới dạng biểu diễn

vectơ 0 qua hệ véc tơ: , , … ,

Bài toán: “Kiểm tra xem hệ véc tơ cho

Các bước giải bài toán này

Thay số ta được

Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình

Thay số ta được

Ví dụ 2: Kiểm tra xem hệ véc tơ sau là

Thay số ta được:

III Một số kết quả về sự PTTT - ĐLTT

Định lý 1: Một hệ vectơ có từ hai vectơ trở

lên phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhấtmột vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính quacác vectơ còn lại

Hệ quả 1: Một hệ chỉ gồm 2 vectơ sẽ phụ

thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỷ lệ

Định lý 2: Nếu một hệ vectơ có một hệ con

(một bộ phận) phụ thuộc tuyến tính thì hệvectơ đó phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 1: Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến

tính thì mọi hệ con của nó cũng độc lậptuyến tính

Hệ quả 2: Nếu trong một hệ vectơ có hai

vectơ nào đó tỷ lệ thì hệ vectơ đó phụ thuộc

tuyến tính

Định lý 3: Cho 2 hệ vectơ n chiều

, , … , ( ) , , … , ( )

Nếu r > s và mọi vectơ của hệ (x) biểu diễntuyến tính qua các vectơ của hệ (y) thì hệvectơ (x) phụ thuộc tuyến tính

Nói cách khác, Một hệ véc tơ sẽ PTTT

nếu tất cả các véc tơ của hệ đó đều

biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ

của hệ khác có số véc tơ ít hơn

Hệ quả 1: Nếu hệ vectơ (x) độc lập tuyến tính và mọi vectơ của hệ (x) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ (y) thì ≤ (số véc tơ của (x) không lớn hơn

số véc tơ của hệ (y))

Hệ quả 2: Nếu cả hai hệ vectơ (x) và (y) cùng độc lập tuyến tính đồng thời mỗi vectơ của hệ này đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ kia và ngược lại thì hai hệ vectơ đó có số vectơ bằng nhau.

Định lý 4: Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hơn số chiều đều phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 1: CMR nếu hệ véc tơ n chiều

, , … , ĐLTT và véc tơ ∈

không biểu diễn tuyến tính qua hệ véc

tơ , , … , thì hệ véc tơ mới

, , … , , cũng ĐLTT.

Ví dụ 2: CMR nếu hệ véc tơ n chiều

, , … , ĐLTT và hệ véc tơ mới

, , … , , PTTT, thì véc tơ X biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua

, , … , .

………41………

§4 CƠ SỞ CỦA KGVT

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

1 Định nghĩa cơ sở của

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

II Cơ sở của không gian con

1 Khái niệm cơ sở của không gian con

2 Tìm một cơ sở của không gian con

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

1 Định nghĩa cơ sở của KGVT

Định nghĩa: Cơ sở của R là một hệ véc tơcủa nó thỏa mãn hai điều kiện:

+ Số véc tơ bằng số chiều (= n)

+ Độc lập tuyến tính

Nhận xét: Trong mọi hệ véc tơ từ n+1 vectơ trở lên đều phụ thuộc tuyến tính.

⟹ Trong không gian vectơ cơ sở của

nó là một hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại (có số vectơ lớn nhất).

Ví dụ 1: Cho hệ véc tơ n chiều

, , … , CMR nếu tồn tại một véc

tơ ∈ biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua , , … , thì hệ véc tơ

, , … , là một cơ sở của

Ví dụ 2: Trong cho hệ véc tơ:

Ví dụ 3: Trong không gian hệ vectơ

sau có là cơ sở của nó hay không?

Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác nên hệ véc tơ , , ĐLTT.

Do đó, hệ véc tơ , , là một cơ sở

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

Trước tiên ta có kết quả sau:

Định lý: Trong không gian vectơ cho trước một cơ sở , , … , Khi đó, mọi vectơ X ∈ bất kỳ đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó.

Tức là, tồn tại duy nhất bộ n số có thứ tự:

( , , … , )

∗ Xét hệ gồm n + 1 véc tơ:

, , … , ; Theo Định lý 4 § 3 Chương 1: Hệ véc tơ này PTTT.

-+ Từ định nghĩa về sự PTTT suy ra: tồn tại

n + 1 số thực: , , … , ; trong đó có ítnhất một số khác 0, sao cho:

Chứng minh (Chứng minh định lý gồm hai phần):

Từ đây, ta chứng minh được ≠ 0.

Thật vậy, giả sử có hai sự biểu diễn:

Tức là ta có:

Từ đây, suy ra hai biểu diễn (1) và (2) là trùngnhau ∎

⟺ = + + ⋯ +

Bài toán: “Hãy tìm tọa độ của véc tơ X trong cơ sở cho trước , , … , ”

Nhận xét: Đây thực chất là bài toán biểu

diễn véc tơ X qua hệ véc tơ , , … , chotrước (đã học rồi) (Chỉ có điều bài toán nàyluôn có nghiệm duy nhất)

Ví dụ: Tìm tọa độ của véc tơ = ( , − , )

∘ Đây là hệ PT tuyến tính có ma trận mởrộng là:

Thay số ta được:

∘ Viết lại hệ rồi giải:

II Cơ sở của không gian con:

Định nghĩa: Cơ sở của không gian con

là một hệ vectơ , , … , của nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

+ , , … , Độc lập tuyến tính

+ Mọi vec tơ ∈ đều biểu diễn tuyến tính qua , , … , .

Ví dụ: Trong không gian xét tập hợp cácvéc tơ 3 chiều:

a) CMR: L là một không gian con của

b) Hãy tìm một cơ sở của

Giải.

a) Ai có thể giải được?

b) Để tìm một cơ sở của L ta xuất phát từđiều kiện thứ 2 của định nghĩa:

Lấy một véc tơ bất kỳ của L:

Nhận xét 1: Một không gian con có nhiều

cơ sở khác nhau, tuy nhiên số véc tơ trong mỗi cơ sở đều bằng nhau.

Hãy chứng minh kết quả này ?

Định nghĩa: Số véc tơ trong mỗi cơ sở của KGC L được gọi là số chiều của L.

Ký hiệu là: dim L

+ Nếu cho trước một cơ sở của KGC L là

, , … , thì mọi véc tơ X của L đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó:

………28………

§5 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ Các nội dung chính:

I Khái niệm cơ sở và hạng của một hệ

vectơ.

II Các định lý cơ bản về hạng.

III Các phép biến đổi không làm thay đổi

hạng.

1 Phép biến đổi thêm - bớt vectơ

2 Các phép biến đổi sơ cấp

§5 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ

I Khái niệm cơ sở và hạng của một hệ

vectơ.

Định nghĩa: Cho hệ véc tơ: , , … , (∗)

Cơ sở của hệ véc tơ (∗) là một hệ con của nóthoả mãn hai điều kiện:

+ Độc lập tuyến tính

+ Mọi véc tơ của hệ (∗) biểu diễn tuyến tính

+ Một hệ véc tơ cho trước có nhiều cơ sởkhác nhau, tuy nhiên số véc tơ trong mỗi cơ

sở đều bằng nhau

Định nghĩa: Số véc tơ trong mỗi cơ sở của

một hệ véc tơ được gọi là hạng của hệ véc tơ

đó Ký hiệu là:

( , , … , ) hay ( , , … , )

Ví dụ: Trong ví dụ trước, hệ véc tơ:

II Các định lý cơ bản về hạng

Định lý 1: Hạng của một hệ véc tơ bằng

r khi và chỉ khi trong hệ véc tơ đó tồn tại một hệ con gồm r véc tơ ĐLTT và mọi hệ con có số véc tơ lớn hơn r (nếu có) đều PTTT.

Nói cách khác, hạng của một hệ véc tơ

chính là số véc tơ ĐLTT cực đại trong

hệ véc tơ đó.

rank X , X , … , X = r

⟺ ∘ Tồn tại hệ con gồm r véc tơ ĐLTT

∘ Mọi hệ con có số véc tơ > r đều PTTT

Chứng minh định lý trên ?

(xem giáo trình trang 97)

Hệ quả 1: Một hệ véc tơ PTTT khi và chỉ khi hạng của hệ véc tơ đó nhỏ hơn số véc tơ của hệ đó.

Nói cách khác, một hệ véc tơ ĐLTT khi và

chỉ khi hạng của hệ véc tơ đó đúng bằng

số véc tơ của nó.

Hệ quả 2: Nếu hạng của hệ véc tơ bằng

r thì mọi hệ con gồm r véc tơ ĐLTT của

hệ véc tơ đó đều là cơ sở của nó.

Định lý 2: Cho hai hệ véc tơ n chiều:

, , … , (1), , … , (2)

Nếu mọi véc tơ của hệ (1) đều biểu diễn tuyếntính qua các véc tơ của hệ (2) thì hạng của hệ

(1) không lớn hơn hạng của hệ (2).

Hãy chứng minh định lý này?

Sách giáo trình trang 98

III Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng.

1) Phép thêm bớt:

Cho hai hệ véc tơ:

, , … , (1), , … , ; (2)(1) ê à é ơ " "(2) (2) ớ đ é ơ " "(1)

Định lý: Cho hai hệ véc tơ:

, , … , (1)

, , … , ; (2)

, , … , = ( , , … , ; )

Như vậy, hạng của một hệ véc tơ không

thay đổi khi ta thêm vào hoặc bớt đi một véc tơ biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại.

2) Các phép biến đổi sơ cấp

Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối

với một hệ véc tơ được gọi là các phépbiến đổi sơ cấp:

(i) Đổi chỗ hai véc tơ của hệ.

(ii) Nhân một véc tơ của hệ với một số k ≠ 0.

(iii) Cộng vào một véc tơ của hệ tích của mộtvéc tơ khác trong cùng hệ đó với một số bấtkỳ

Định lý 2: Các phép biến đổi sơ cấp không

làm thay đổi hạng của hệ véc tơ chứngHãy

minh

Ví dụ: Cho X, Y là hai véc tơ n chiều