ĐỀ TÀIPHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn : Sinh viên thực hiện :... BÀI THẢO LUẬN NHÓM 11Môn Toán cao cấp Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Nội dung b
Trang 1ĐỀ TÀI
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ
CÁC ỨNG DỤNG
Giảng viên hướng dẫn : Sinh viên thực hiện :
Trang 2
BÀI THẢO LUẬN NHÓM 11
Môn Toán cao cấp
Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Nội dung bài hảo luận gồm có các nội dung chính như sau:
A/ Sai phân và PT sai phân
1 Lưới thời gian và sai phân
2 Phương trình sai phân B/ Ứng dụng của PTSP
1 Ứng dụng trong tìm công thức tổng quát của dãy số
2 Ứng dụng của PTSP trong tính tổng của một dãy số
3.Ứng dụng của PTSP trong kinh tế
4 Một số ứng dụng khác của sai phân
Trang 3Nội dung chi tiết:
11.1.1 Lưới thời gian và sai phân
a) Lưới và bước lưới
Cho điểm t0 trên trục thực và khoảng cách h>0 Tập các điểm trên trục thực:
I := {t0 = nh : n Z }
là một tập rời rạc, gồm các điểm cách điều nhau một khoảng cách là h, bắt đầu từ
h0
Ta gọi I là một lưới thời gian với bước lưới là h
b) Sai phân
GIả sử y(t) là một hàm trên lưới I; t I Khi đó :
Y(t) := y(t+h) – y(t)
gọi là sai phân cấp một của hàm y(.) tại điểm t
2 y(t) := (y(t)) := [y(t+2h)-y(t+h)] - [y(t+h) – y(t)]
:= y(t+2h) – 2y(t+h) + y(t)
gọi là sai phân cấp hai Tương tự ta có
k
y(t) := ( 1
k y(t)) :=
k i
o i
i
) 1 ( Ci
ky(t+ih) gọi là sai phân cấp k
Ý nghĩa:
-Giả sử y(t) là một hàm khả vi trên R Khi h>0 là một khoảng thời gian
đủ nhỏ thì ta có xấp xỷ:
Y(t+h) – y(t) y’(t)h
Như vậy với hàm số khả vi khi bước lưới là bé thì sai phân có thể coi là xấp
xỷ tích của đạo hàm và độ dài bước lưới
-Giả sử y(n) là một hàm trên lưới Z ta cũng dùng ký hiệu
y(.) : Z R : n y(n) hoặc
y(.) : Z R : n yn
giá trị của hàm y(.) tại bước nZ được ký hiệu là y(n) hoặc yn
như vậy, trên lưới Z theo các định nghĩa ở trên, ta có :
y(n) =y(n+1) – y(n)
Trang 4Ví dụ 4:
Tìm tất cả các hàm số f(x) sao cho:
a) f x( ) 2 '( )f x x R
b) f x( ) 2 '( )f x x( x R)
c) ( ) 2 '( )f x f x e x( x R)
d) f x( ) 2 '( ) f x cosx( x R)
e) f x( ) 2 '( ) f x x23 (x x R)
Giải:
a) Ta đã biết nếu hàm số g(x) có g x'( ) 0 x ( ; )a b thì g x( ) C x ( ; )a b - C là hằng số Giả thiết f x( ) 2 '( ) f x 0 x R Ta lại có
1 (e f x ax ( ))' ae f x ax ( ) e f x ax '( ) ae ax( ( )f x f x'( ))
a
Chọn a = 1
2
suy ra giả thiết trở thành
(e x f x( ))' 0 x R e x f x( ) C f x( ) Ce x(C là hằng số bất kỳ )
b)Ta áp dụng sai phân:
Tìm một hàm g(x) = ax+b sao cho g(x) - 2 g'(x) = x( x R) Dễ dàng tìm được g(x) = x+2 Khi đó theo giả thiết ta có
( ) ( ) 2 '( ) '( )
f x g x f x g x x R Theo câu a) ta có
c) Tương tự câu b) ta cũng tìm một hàm số ( )g x ae xsao cho ( ) 2 '( ) x
g x g x e x R
Dễ thấy ( )g x e x cũng như câu b) ta có f x( ) Ce12x e x Thử lại thoả mãn d) Ta tìm hàm số g(x) = acosx + bsinx sao cho g x( ) 2 '( ) g x cosx( x)
Giải ra ta có ( ) 1 2
Khi đó giả thiết trở thành f x( ) g x( ) 2( '( )f x g x'( )) x R Theo kết quả câu a) ta có
f x g x Ce f x Ce cosx sinx x R
Trang 5Thử lại thoả mãn.
e) Ta phải tìm hai hàm số:
g(x) = ax2 bx c sao cho g(x) - 2g'(x) = x2( x R)
h(x) = d.3x sao cho ( ) 2 '( ) 3 (h x h x x x R)
Giải ra ta được g x( )x2 4x8; ( ) 3
1 2ln 3
x
h x
Khi đó giả thiết trở thành:
( ) ( ) ( ) 2 '( ) '( ) '( )
f x g x h x f x g x h x x R Theo câu a) ta có:
1 2
f x g x h x Ce x R hay 12 2 3
1 2ln 3
x x
f x Ce x x x R
Thử lại thoả mãn
Trên đây là bài thảo luận môn toán cao cấp của nhóm 11, mặc dù các thành viên trong nhóm đã hết sức cố gắng trong nghiên cứu thu thập tài liệu nhưng trong quá trình làm bài thảo luận không thể tránh khỏi những sai sót, vậy mong cô nhận xét có ý kiến để bài thảo luận của nhóm hoàn thiện hơn Chúng
em xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo:
[1] Giáo trình Toán Cao Cấp – Trường ĐH Thương Mại
[2] Toán cao cấp cho các nhà kinh tế -NXB ĐH Kinh tế Quốc dân
[3] Bài tập Toán cao cấp – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục
[4] Ngân hàng câu hỏi toán cao cấp – ĐHCN TP Hồ Chí Minh
Cùng một số website tham khảo