Lý thuyết về dao động điều hoà

Khi vật thực hiện được một dao động Ta gọi giai đoạn đĩ là một dao động tuần hồn hay một chu trình.. Trong 1 giây chuyển động thực hiện được f= 1 T dao động tuần hồn, f gọi là tần số củ

Hình 6.3 Con lắc lò xo a) Vật nặng ở vị trí cân bằng O, lò xo không dãn b) Vật nặng ở vị trí M, li độ x, vật chịu lực tác dụng của lực đàn hồi F = - kx của lò xo.

x

O x M

O

b) a)

BÀI GIẢNG 1: LÝ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA

A LÝ THUYẾT

I Dao động

Chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng gọi là dao động Dao động cĩ thể là tuần hồn, cĩ thể là khơng tuần hồn

Dao động tuần hồn: Chuyển động được lặp lại liên tiếp và mãi mãi gọi là dao động tuần hồn Khi vật thực hiện được một dao động Ta gọi giai đoạn đĩ là một dao động tuần hồn hay một chu trình

Thời gian thực hiện một dao động tuần hồn gọi là chu kì (kí hiệu là T) của dao động tuần hồn Đơn vị của chu kì là giây (s)

Trong 1 giây chuyển động thực hiện được f= 1

T dao động tuần hồn, f gọi là tần số của dao động

tuần hồn Đơn vị của tần số là 1

s, gọi là héc (kí hiệu Hz)

II Thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc lị xo

Xét chuyển động của vật nặng trong

con lắc lị xo nằm ngang (Hình 6.3)

Con lắc lị xo gồm một vật nặng gắn vào

đầu một lị xo cĩ khối lượng

khơng đáng kể, đầu kia củalị xo cố định

Trục x như hình vẽ, gốc O ứng với vị trí

cân bằng Toạ độ x của vật

tính từ vị trí cân bằng gọi là li độ

Lực F tác dụng lên vật nặng là lực đàn

hồi của lị xo, lực này luơn

hướng về O (trái dấu với li độ) và cĩ độ

lớn tỉ lệ thuận với li độ,

nên: F= -kx ; hệ số tỉ lệ k là độ cứng

của lị xo.Lực F luơn luơn hướng

về vị trí cân bằng nên được gọi là lực kéo về hay lực hồi phục

Gia tốc của vật nặng (khối lượng m) bằng đạo hàm hạng hai của li

độ theo thời gian x’’.Bỏ qua ma sát và áp dụng định luật II Niu- tơn,

ta có: mx'’= - kx hay là x’’= k

Đặt:2= k

phương trình (6.1) trở thành: x’’=2x= 0 (6.3)

Phương trình (6.1) hoặc (6.3) gọi là phương trình động lực học của dao động

III Nghiệm của phương trình động lực học: phương trình dao động điều hoà

Toán học cho biết nghiệm của phương trình (6.3) có dạng:

trong đó A và  là hai hằng số bất kì

Có thể thử lại điều đó bằng cách tính đạo hàm của x:

x'= -  Asin(t + )  (6.5)

x’’= -2Acos(t + )=- 2x (6.6)

Thay biểu thức (6.6) của x’’ vào phương trình (6.3), ta thấy rằng phương trình này được nghiệm đúng

Phương trình (6.4) cho sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian, gọi là phương trình dao động

Dao động mà phương trình có dạng (6.4), tức là vế phải là hàm côsin hay sin của thời gian nhân với một hằng số, gọi là dao động điều hoà

IV Các đại lượng đặc trưng

của dao động điều hoà

Với giá trị của A dương trong

(6.4):

a) A gọi là biên độ, đó là giá trị

cực đại của li độ x ứng với lúc

cos(t + )= 1 Biên độ luôn luôn 

dương

T

T T

x

t

T

- A A O

b) (t + ) gọi là pha của dao động tại thời điểm t, pha chính là đối số của hàm côsin và là một  góc Với một biên độ đã cho thì pha xác định li độ x của dao động

c)  là pha ban đầu, tức là pha t + vào thời điểm t= 0 

d)  gọi là tần số góc của dao động  là tốc độ biến đổi của góc pha, có đơn vị là rad/s hoặc độ/s Với một con lắc lò xo đã cho thì tần số góc  chỉ có một giá trị xác định cho bởi (6.2)

V Đồ thị (li độ) của dao động điều hoà

Xuất phát từ phương trình dao động (6.4), cho  = 0 để đơn giản Lập bảng biến thiên của li độ x theo thời gian t (xem Bảng 6.1) và vẽ đường biểu diễn x theo t (Hình 6.4) Từ đồ thị ta thấy rằng, dao động điều hoà là chuyển động tuần hoàn

VI Chu kì và tần số của dao động điều hoà: T = 2

Tần số f của dao động điều hoà, theo định nghĩa, là: f= 1

T= 2



VII Vận tốc trong dao động điều hoà:

v=x’= -  Asin(t + ) = Acos   

 t + + 

như vậy là vận tốc cũng biến đổi điều hoà và có cùng chu kì với li độ Đồ thị vận tốc (đường đứt nét) đối chiếu với đồ thị li độ ( đường liền nét) được vẽ trên Hình 6.5

Chú ý rằng: Ở vị trí giới hạn x=  A thì vận tốc có giá trị bằng 0

Ở vị trí cân bằng x= 0 thì vận tốc v có độ lớn cực đại, bằng  A ( hoặc -  A)

VIII Gia tốc trong dao động điều hoà

Gia tốc a bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

a= v’= x’’=-2Acos(t + ) = - 2x (6.10) Gia tốc luôn luôn trái dấu với li độ và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.Người ta nói rằng, gia tốc ngược pha với li độ

Hình 6.7 Véctơ quay vào một thời điểm t bất kì.



M

x

O

IX Biểu diễn dao động điều hồ bằng vectơ quay

Để biểu diễn dao động điều hồ (6.4) người ta dùng

một vectơ OM

cĩ độ dài

là A (biên độ), quay đều quanh điểm O trong mặt

phẳng chứa trục Ox với tốc độ

gĩc là  Ở thời điểm ban đầu t= 0, gĩc giữa trục Ox

và OM

là  (pha ban đầu)

(Hình 6.6) Ở thời điểm t, gĩc giữa trục Ox và OM

sẽ

là t + (Hình 6.7), 

gĩc đĩ chính là pha của dao động.Độ dài đại số của hình chiếu vectơ quay OM

trên trục x sẽ là:chxOM

đĩ chính là biểu thức trong vế phải của (6.4) và là li độ x của dao động

Như vậy: Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vectơ quay OM

biểu diễn dao động điều hồ chính là li độ x của dao động

X Điều kiện ban

đầu: sự kích thích

dao động

Xét một vật dao

động, ví dụ vật nặng

trong con lắc lị xo

Trong bài trước, ta đã

tìm được phương

trình dao động của

vật, trong đĩ cĩ hai

hằng số A và  cĩ

giá trị xác định, tuỳ

theo cách kích thích

dao động

t

x, v, a

A

-A

ωA

-ωA

ω2A

-ω2A

T Đường biểu diễn x(t), v(t) và a(t) vẽ trong cùng một

hệ trục toạ độ, ứng với φ = 0

a(t)

v(t) x(t)

B BÀI TẬP

I Dạng 1 :Nhận biết phương trình dao động

1.Kiến thức cần nhớ

– Phương trình chuẩn : x  Acos(t + φ)

– Phương trình vận tốc : v – Asin(t + φ)

–Phương trình gia tốc : a – 2Acos(t + φ)

– Một số công thức lượng giác :

sinα  cos(α – π/2) ; – cosα  cos(α + π) ; cos2α 1 cos2

2

cosa + cosb  2cosa b

2

 cosa b 2



sin2α 1 cos2

2

T

 2πf 2.Phương pháp

a – Xác định A, φ, ………

– Đưa các phương trình về dạng chuẩn nhờ các công thức lượng giác

– So sánh với phương trình chuẩn để suy ra : A, φ, ………

b – Suy ra cách kích thích dao động :

– Thay t  0 vào các phương trình x A cos( t )

v A sin( t )

   





     



 0 0

x v







 Cách kích thích dao động

3.Phương trình đặc biệt

– x  a ± Acos(t + φ) với a  const 











– x a ± Acos2(t + φ) với a  const  Biên độ : A

2 ; ’  2 ; φ’  2φ

Tọa độ VTCB : x  A Tọa độ vị trí biên : x  a ± A

4 Bài tập mẫu

1 Phương trình dao động của một vật là: x = 6cos(4t + ) (cm), với x tính bằng cm, t tính bằng s Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25 s

Giải

Khi t = 0,25 s thì x = 6cos(4.0,25 + ) = 6cos = - 3 (cm);

v = - 6.4sin(4t + ) = - 6.4sin = 37,8 (cm/s); a = - 2x = - (4)2 3 = - 820,5 (cm/s2)

2 Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần số góc 6 rad/s Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật

Giải

Ta có: A =

2

L

= 2

20

= 10 (cm) = 0,1 (m); vmax = A = 0,6 m/s; amax = 2A = 3,6 m/s2

3 Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 40 cm Khi ở vị trí có li độ x = 10 cm vật có vận tốc 20 cm/s Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật

Giải

Ta có: A =

2

L

= = 20 (cm);  = = 2 rad/s; vmax = A = 2A = 40 cm/s;

amax = 2A = 800 cm/s2

4 Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì 0,314 s và biên độ 8 cm Tính vận tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí cân bằng và khi nó đi qua vị trí có li độ 5 cm

Giải

Ta có:  = = 20 (rad/s) Khi x = 0 thì v = ± A = ±160 cm/s

Khi x = 5 cm thì v = ±  = ± 125 cm/s

5 Một chất điểm dao động theo phương trình: x = 2,5cos10t (cm) Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị ? Lúc ấy li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng bao nhiêu?

Giải

6



6



6

7

3

6



6

7

3

3

2

40

2 2

x A

v



314 , 0

14 , 3 2 2



T



2 2

x

A 

3



Ta có: 10t =  t = (s)

Khi đó x = Acos = 1,25 (cm); v = - Asin = - 21,65 (cm/s);

a = - 2x = - 125 cm/s2

6 Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 5cos(4t + ) (cm) Vật đó đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào? Khi đó độ lớn của vận tốc bằng bao nhiêu?

Giải

Khi đi qua vị trí cân bằng thì x = 0  cos(4t + ) = 0 = cos(±

2

 ) Vì v > 0 nên 4t +  = -

2

 + 2k

 t = - 3

8 + 0,5k với k  Z Khi đó |v| = vmax = A = 62,8 cm/s

7 Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10t +

2

 ) (cm) Xác định độ lớn và chiều của các véc tơ vận tốc, gia tốc và lực kéo về tại thời điểm t = 0,75T Giải

Khi t = 0,75T = 0, 75.2

 = 0,15 s thì x = 20cos(10.0,15 + ) = 20cos2 = 20 cm;

v = - Asin2 = 0; a = - 2x = - 200 m/s2; F = - kx = - m2x = - 10 N; a và F đều có giá trị âm nên gia tốc và lực kéo về đều hướng ngược với chiều dương của trục tọa độ

8 Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2 cm và với chu kì 0,2 s Tính độ lớn của gia tốc của vật khi nó có vận tốc 10 10 cm/s

Giải

Ta có:  = 2

T



= 10 rad/s; A2 = x2 +

2 2

v

 =

   |a| =

  = 10 m/s2

9 Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10t +

2

 ) (cm) Xác định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0 Giải

Ta có: x = 5 = 20cos(10t +

2

 )  cos(10t +

2

 ) = 0,25 = cos(±0,42)

3



30



3



3



2



Vì v < 0 nên 10t +

2

 = 0,42 + 2k  t = - 0,008 + 0,2k; với k  Z Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là 0,192 s

10 Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 4cos(10t -

3

 ) (cm) Xác định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20 3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0

Giải

Ta có: v = x’ = - 40sin(10t -

3

 ) = 40cos(10t +

6

 ) = 20 3

 cos(10t +

6

 ) = 3

2 = cos(±6

 ) Vì v đang tăng nên: 10t +

6

 = -6

 + 2k

 t = - 1

30 + 0,2k Với k  Z Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t = 6

1

s

5 Bài tập vận dụng

Câu 1

Chọn phương trình biểu thị cho dao động điều hòa :

A x  A(t)cos(t + b)cm B x  Acos(t + φ(t)).cm

C x  Acos(t + φ) + b.(cm) D x  Acos(t + bt)cm

Trong đó A, , b là những hằng số.Các lượng A(t), φ(t) thay đổi theo thời gian

Giải:

So sánh với phương trình chuẩn và phương trình dạng đặc biệt ta có x  Acos(t + φ) + b.(cm) Chọn C

Câu 2

Phương trình dao độngcủavậtcó dạng : x  Asin(t) Pha ban đầu củadao độngbằng bao nhiêu ?

Giải:

Đưa phương pháp x về dạng chuẩn : x  Acos(t  π/2)suy ra φ  π/2

Chọn B

Câu 3

Phương trình dao độngcó dạng : x  Acost Gốc thời gian là lúc vật :

C đi qua VTCB theo chiều dương D đi qua VTCB theo chiều âm

Giải:

Thay t  0 vào x ta được : x +A

Chọn A

5.Vận dụng

Câu 1

Trong các phương trình sau phương trình nào không biểu thị cho dao động điều hòa ?

C x  2sin2(2πt + π/6)cm D x  3sin5πt + 3cos5πt (cm)

Câu2

Phương trình dao động của vật có dạng : x  Asin2(t + π/4)cm Chọn kết luận đúng ?

A.Vậtdao động với biên độ A/2 B.Vậtdao động với biên độ A

C.Vậtdao động với biên độ 2A D.Vậtdao động với pha ban đầu π/4 Câu3

Phương trình dao động của vật có dạng : x  asin5πt + acos5πt (cm) biên độ dao độngcủavật là :

Câu 4

Phương trình dao độngcó dạng : x  Acos(t + π/3) Gốc thời gian là lúc vật có :

A li độ x  A/2, chuyển động theo chiều dương

B li độ x  A/2, chuyển động theo chiều âm

C li độ x A/2, chuyển động theo chiều dương

D li độ x A/2, chuyển động theo chiều âm

Câu 5

Dưới tác dụng của một lực có dạng : F  0,8cos(5t  π/2)N

Vậtcókhối lượng m  400g, dao động điều hòa Biên độ dao độngcủavật là :

II Dạng 2: Dựa vào phương trình chuyển động tìm các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa

+ Phương trình dao động: x = Acos(t + ); trong đó A,  và  là những hằng số

1.Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà

+ Li độ dao động x là tọa độ của vật tính từ vị trí cân bằng

+ Biên độ A là giá trị cực đại của li độ x

+ Pha của dao động là : t + , cho phép ta xác định li độ x tại thời điểm t bất kì

+ Pha ban đầu  là pha của dao động tại thời điểm ban đầu (t = 0); đơn vị (rad)

+ Tần số góc  là tốc độ biến đổi góc pha; đơn vị rad/s

+ Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần; đơn vị giây (s)

T = 2

 = N

t

t: thời gian vật dao động (s) ; T: chu kì (s) ; N: số dao động toàn phần mà vật thực hiện được trong thời gian t

+ Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây; đơn vị héc (Hz)

+ Liên hệ giữa , T và f:  = = 2f

Các đại lượng biên độ A và pha ban đầu  phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu làm cho hệ dao động, còn tần số góc  (chu kì T, tần số f) chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của hệ dao động

2 Bài tập vận dụng

Câu 1

Cho các phương trình dao động điều hoà như sau :

A.x = 5cos(- 10t +

4

 ), (cm) B cm

T

 2

 t

x6cos 4

C (cm) D x=10sin(5πt) (cm)

Xác định biên độ, tần số góc, pha ban đầu,chu kỳ, tần số, của các dao động điều hoà đó?

Câu 2

Cho các phương trình dao động sau:

C x3 = -2 cos ( cm ) D x4 = 5 cos( ) ( mm )

Xác định biên độ, tần số góc, pha ban đầu,chu kỳ, tần số, của các dao động điều hoà đó?

Câu 3

Phương trình dao động của một vật là:

a) Xác định biên độ, tần số góc, chu kì và tần số của dao động

b) Xác định pha của dao động tại thời điểm t = 0,25s, từ đó suy ra li độ x tại thời điểm ấy

Câu 4

Một vật dao động điều hòa thực hiện được 400 dao đông toàn phần trong thời gian 4 phút Tìm chu

kỳ, tần số và tần số góc của vật

Câu 5

Phương trình dao động có dạng ( cm)

a) Xác định biên độ, tần số, chu kỳ của dao động

b) Tính li độ của dao động khi pha dao động bằng 300, 600

3 Bài luyện tập

Câu 1:

Một vật thực hiện dđđh xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình x = 2cos 4

2

t 





  cm Chu

kì dao động của vật là

5.sin( )

x  t

5 6

t 





2



x cos t

A 2 (s) B 1/2 (s) C 2 (s) D 0,5 (s)

Câu 2:

Vật dao động điều hoà có phương trình: 4 ( )

3

x cos t 



  (cm/s) Li độ và chiều chuyển động lúc ban đầu của vật là

A 2 cm, theo chiều âm B 2 3 cm, theo chiều dương

C 0 cm, theo chiều âm D 2 cm, theo chiều dương

Câu 3:

Biết rằng li độ x = Acos(ωt + φ) của dao động điều hòa bằng A vào thời điểm ban đầu t = 0 Pha ban đầu φ có giá trị bằng

Câu 4:

Li độ x = Acos(ωt + φ) của dao động điều hòa bằng 0 khi pha dao động bằng

Câu 5:

Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 10cos(

2



- 2t) (cm) Nhận định nào không đúng ?

A Gốc thời gian lúc vật ở li độ x = 10 cm B Biên độ A = 10 cm

-2

 rad

Câu 6:

Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = -Acos(ωt + π/2) Gốc thời gian được chọn là lúc

A vật đi qua VTCB theo chiều âm

B vật đi qua VTCB theo chiều dương

C vật ở vị trí biên dương

D vật ở vị trí biên âm