lý thuyết đại cương về dao động điều hòa

Phương trình dao động điều hòa Bài toán: Khảo sát chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang.. Chu kì, tần số và tần số góc của dao động điều hòa Chu kì T là khoảng thời gian

4 NÊN VÀ KHÔNG NÊN KHI Ở TRONG PHONG THI

<1> KHÔNG NÊN giải bài toán trắc nghiệp bằng phương pháp tự luận

<2> NÊN xem xét kĩ các phương án A, B, C, D và nhìn bài toán từ đơn giản đến

phức tạp

<3> KHÔNG NÊN dùng bút quá nhiều

<4> NÊN dùng máy tính Fx 570Ms hoặc các máy tính tương tự một cách “sành

điệu”

CHƯƠNG II DAO ĐỘNG CƠ 2

I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 2

1 Phương trình dao động điều hòa 2

2 Chu kì, tần số và tần số góc của dao động điều hòa 2

3 Dao động điều hòa 3

4 Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa 3

5 Vật ở VTCB và vị trí biên 4

6 Hệ thức độc lập 4

7 Chiều dài quỹ đạo 2 2 d d CD A A 4

8 Các công thức toán học cần nhớ 4

8.2 Hệ thức các cung đặc biệt 4

8.3 Công thức cộng 4

8.4 Công thức nhân 4

8.5 Công thức hạ bậc 5

8.6 Công thức biến đổi tổng thành tích 5

II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 5

Dạng 1 Xác định các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa 5

A PHƯƠNG PHÁP 5

B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 5

Dạng 2 Viết phương trình dao động điều hòa của vật 7

A PHƯƠNG PHÁP 7

B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 9

Dạng 3 Sự phân bố thời gian trong dao động điều hòa 10

A PHƯƠNG PHÁP 10

3.1 Chuyển động tròn đều của chất điểm M trên đường tròn bán kính r = A 10

3.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa của chất điểm và hình chiếu của chất điểm chuyển động tròn đều 10

3.3 Tính khoảng thời gian ngắn nhất (nhỏ nhất) vật dao động đi từ li độ x1 đến li độ x2 11

3.4 Xét các khoảng thời gian đặc biệt 11

3.5 Tính khoảng thời gian dài nhất (lớn nhất) trong một chu kì 12

3.6 Con lắc lò xo treo thẳng đứng 13

3.7 Tính khoảng thời gian lò xo dãn và nén trong một chu kì 14

B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 14

Dạng 4 Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) 18

A PHƯƠNG PHÁP 18

B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 20

Dạng 5 Tính số lần (tần suất) vật đi qua vị trí M có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) từ thời điểm t1 đến t2 24

A PHƯƠNG PHÁP 24

B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 25

Dạng 6 Quãng đường vật đi được 27

A PHƯƠNG PHÁP : 27

B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 29

Dạng 7 Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình trên đoạn đường s 33

PHƯƠNG PHÁP : 33

CHƯƠNG II DAO ĐỘNG CƠ CHỦ ĐỀ 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM * Dao động cơ, dao động tuần hòan + Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh 1 VTCB + Dao động tuần hòan là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kì, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ 1 Phương trình dao động điều hòa Bài toán: Khảo sát chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang Con lắc lò xo gồm một vật nặng gắn vào đầu một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia lò xo cố định Kéo vật nặng một đoạn rồi thả, xét vật cách VTCB một khoảng x Viết phương trình dao động Giải + Trục Ox như hình vẽ + Gốc O ứng với VTCB (VTCB) Tại đó lò xo không bị biến dạng + Li độ x là khoảng cách |x| tính từ vị trí vật đang xét đến VTCB (x > 0 hoặc x < 0) + Fđh: là lực đàn hồi của lò xo; Fđh = k|x| + Theo Định luật II Newton, ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ mà ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ chiếu lên trục Ox: - Fđh = ma  - kx = mx"  x" = 0 đặt phương trình trở thành : x" + ω2

x = 0 (Phương trình động lực học của dao động hay còn gọi là Phương trình vi phân)

Có nghiệm : ( ) gọi là Phương trình dao động

Trong đó:

A là biên độ dao động; đơn vị m hoặc cm; đó là li độ cực đại của vật (A xmax); A > 0

( t )

   : pha của dao động tại thời điểm t (rad) Ф và φ (đọc là phi)

 là pha ban đầu của dao động (rad)

: tần số góc (rad/s),  > 0

* Phương trình vi phân của chuyển động có dạng: 2

x  x

* Nghiệm tổng quát của phương trình trên là : x A1sin tA2cos t (trong đó A1 và A2

là các hằng số)

* Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có thể viết cách khác dưới dạng “Phương trình dao động điều hòa” có dạng : xAcos( t )

2 Chu kì, tần số và tần số góc của dao động điều hòa

Chu kì T là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao

động toàn phần; đơn vị là giây (s)

2



 Tần số ƒ là số dao động toàn phần thực hiện được trong

một giây

1 2

f T





  ; đơn vị là Héc (Hz) hoặc s-1

3 Dao động điều hòa

+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin hay sin của thời gian nhân với một hằng số

4 Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa

4.1 Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian :

v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t +  +

2

)

0

v (vật chuyển động theo chiều dương)

0

v (vật chuyển động theo chiều âm)

Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn

2



so với với li độ

+ Ở vị trí biên (vị trí giới hạn) x =  A thì vận tốc có giá trị bằng v = 0

+ Ở VTCB x = 0 thì vận tốc có độ lớn cực đại, |vMax| = A

Độ dời = độ biến thiên tọa độ

= tọa độ lúc cuối – tọa độ lúc đầu

x1, x2 là tọa độ của chất điểm tại các thời điểm t1 và t2 tương ứng

∆t = t2 – t1 : khoảng thời gian thực hiện độ dời

∆t: khoảng thời gian đi

♦ Lưu ý: Trong trường hợp chất điểm chỉ chuyển động theo một chiều trên trục tọa độ Ox và ta chọn chiều đó làm chiều dương (+) của trục tọa độ thì độ dời trùng với quãng đường đi được

và vận tốc trung bình bằng tốc độ trung bình

4.2 Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian :

a = v' = x" = - 2Acos(t + ) = - 2

x Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm pha

2



so với vận tốc)

+ Vecto gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về VTCB và tỉ lệ với độ lớn của li độ

- Ở vị trí biên x =  A gia tốc có độ lớn cực đại : |aMax|= 2

Khi biết li độ x và biên độ A thì v  A2x2

7 Chiều dài quỹ đạo 2

Định lí sin :

2 sin

R C

a Hai cung đối nhau: sin( )   sin cos( )  cos

b Hai cung phụ nhau

2sin(

cos   

c Hai cung bù nhau

) sin(

d Hai cung hơn kém nhau π

a b

a ) cos cos sin sin

8.4 Công thức nhân

a a

8.5 Công thức hạ bậc

2

2cos1sin2a  a

2

2cos1cos2a  a

8.6 Công thức biến đổi tổng thành tích

2cos.2cos2cos

8.8 Biểu thức chứa căn và giá trị tuyệt đối

A, B là biểu thức đại số hoặc là những hàm số

II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 Xác định các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa

Ví dụ 1.2 Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần số góc 6 rad/s Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật

(Trích Đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2011)

Nhận diện dạng bài toán

Bài toán cho biết biên độ A, chu kì dao động T và li độ x, yêu cầu tìm tốc độ v Vậy chúng ta phải nghĩ ngay đến công thức biểu diễn mối liên hệ giữa A, x, v (hệ thức độc lập) :

Ví dụ 1.6 Lực kéo về tác dụng lên một chất điểm dao động điều hòa có độ lớn

A tỉ lệ với độ lớn của li độ và luôn hướng về VTCB

B tỉ lệ với bình phương biên độ

C không đổi nhưng hướng thay đổi

Hướng dẫn giải

Công thức tính lực kéo về là F = - kx, độ lớn lực kéo về tỉ lệ với độ lớn của li độ |x|; dấu (-) cho ta biết lực kéo về luôn ngược hướng với li độ và hướng về VTCB

Chọn đáp án A

Ví dụ 1.7 Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox Khi chất điểm đi qua VTCB thì tốc

độ của nó là 20 cm/s Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là √ Biên độ dao động của chất điểm là

(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011)

Nhận diện dạng bài toán

Đề cho biết chất điểm đi qua VTCB, khi đó x = 0 và tốc độ của chất điểm là cực đại |νMax| khi

đó ta có : |νMax| = A hay suy ra v Max

A PHƯƠNG PHÁP

Chọn hệ quy chiếu:

+ Trục Ox có chiều dương được chọn theo yêu cầu của đề hoặc tùy ý

+ gốc toạ độ (O) tại VTCB

+ gốc thời gian (t = 0) tùy theo bài toán

Phương trình dao động có dạng: x = Acos(t + )





k m

(nếu buông nhẹ, khi đó v = 0 => A = |x|)

F

k

+ đề cho chiều dài lớn nhất và nhỏ nhất của lò xo:

+ đề cho năng lượng của dao động W thì A 2W

k



3 Xác định pha ban đầu  ( )

* Các góc pha ban đầu thường gặp là 0; ; ; ; ; ; 2 ; 3 ; 5

+ Vật đi theo chiều dương thì v > 0  sinφ < 0 => φ < 0

+ Vật đi theo chiều âm thì v < 0  sin > 0 => φ > 0

TH1 : Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua VTCB

Lưu ý : Tốc độ tại VTCB |ν0| ≡ |νMax|

TH2 : Chọn gốc thời gian lúc kéo vật (nén vật) cách VTCB một khoảng x0 rồi buông nhẹ vật + nếu buông nhẹ, khi đó v = 0

Khi t = 0:

0 0

Lưu ý:

+ khi thả nhẹ (buông nhẹ) vật v = 0, A = x0

+ Khi vật đi theo chiều dương thì v > 0 (khi vật đi theo chiều âm thì v < 0)

+ Trước khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của Áp dụng đường tròn lượng giác

B BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Ví dụ 2.1 (Bài 1) ( SGK) Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4 cm và chu kì T = 2 s

a Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương

b Tính li độ của vật tại thời điểm t = 5,5 s

Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương

Hướng dẫn giải

* Đề cho pha của dao động ở một thời điểm t là Ф = (ωt + φ) =

3

 Thay vào biểu thức của li

Ví dụ 2.3 (ĐH2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox Trong thời gian 31,4 s

chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí

có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40 3 cm/s Lấy π = 3,14 Phương trình dao động của chất điểm là

(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011)

Nhận diện dạng bài toán

Đây là dạng bài tập cơ bản về viết phương trình dao động Cần lưu ý những điểm sau :

+ Đề cho biết số dao động toàn phần (N) và khoảng thời gian Δt để từ đó suy ra chu kì T

+ Chất điểm chuyển động theo chiều âm với tốc độ là 40 3 cm/s có nghĩa là :

23

A PHƯƠNG PHÁP

3.1 Chuyển động tròn đều của chất điểm M trên đường tròn bán kính r = A

Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính r = A Tốc độ góc của chất điểm là ω (rad/s) không đổi, d 0

dt



   Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm đang ở vị trí M0 và bán kính OM0 hợp với trục Ox một góc φ

Sau khoảng thời gian t chất điểm ở vị trí M1 và bán kính OM1 hợp với trục Ox một góc

Ф = ωt + φ (ωt là góc quét của bán kính OM)

3.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa của vật và hình chiếu của chất điểm chuyển động

tròn đều

* Phương trình dao động điều hòa của vật có dạng xA cos( t  )

+ Ở thời điểm t = 0 : xA cos

+ Ở thời điểm t : xA cos( t  )

* Hình chiếu của chuyển động tròn đều:

+ Ở thời điểm t = 0 : hình chiếu của điểm M0

xuống trục ngang Ox là P0, có độ dài đại số là

+ Ở thời điểm t : hình chiếu của điểm M1 xuống trục ngang Ox là P1, có độ dài đại số là

* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công

cụ rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của

nó Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán

3.3 Tính khoảng thời gian ngắn nhất (nhỏ nhất) vật dao động đi từ li độ x1 đến li độ x2

Cách 1 : Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

+ Khi vật dao động điều hòa đi từ li độ x1 đến li độ x2 thì tương ứng với chất điểm chuyển động tròn đều từ M1 đến M2 (chú ý x1 và x2 là hình chiếu vuông góc của M1 và M2 lên trục Ox)

+ Thời gian ngắn nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 bằng thời gian chất điểm chuyển động tròn đều từ M1 đến M2

+ Vật chuyển động càng gần VTCB thì tốc độ càng lớn nên mất khoảng thời gian nhỏ

A



Lưu ý :

+ Chất điểm luôn chuyển động theo chiều ngược với chiều kim đồng hồ

+ Vật chuyển động theo chiều dương : hai điểm M1 và M2 nằm ở dưới

+ Vật chuyển động theo chiều âm : hai điểm M1 và M2 nằm ở trên

M 1

M 2

x + +A -A

ωt +

  mất khoảng thời gian T

8 3.4.4 Khi vật đi từ x A 2

T 6

A 2

A 2 2 T

8

T 8

T 6

T 12

A 3 2

T 4 T

2

Biên dương

Biên

âm

Lưu ý:

+ Phân bố khoảng thời gian ở biên âm tương tự

3.5 Tính khoảng thời gian dài nhất (lớn nhất) trong

một chu kì

+ Khi vật dao động điều hòa đi từ li độ x1 đến li độ x2 thì

tương ứng với chất điểm chuyển động tròn đều từ N1 đến

N2

+ Thời gian dài nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 bằng

thời gian chất điểm chuyển động tròn đều từ N1 đến N2

x 1 O

x 1 O

x 1 O

ωt

x 2

Hai vị trí li độ cùng phía (so với VTCB O)

Hai vị trí li độ cùng phía (so với VTCB O)

Hai vị trí li độ khác phía (so với VTCB O)

x 2

Lúc đó, biên độ là giá trị cực đại (νMax, aMax, FMax…QMax, IMax….)

Cách 2 : Tính theo độ lớn hiệu hai góc lệch pha

2 2

coscos

x A x A

Bài toán: Khảo sát chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo treo thẳng đứng Con lắc lò

xo gồm một vật nặng gắn vào đầu một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia lò xo cố định Kéo vật nặng một đoạn rồi thả, xét vật cách VTCB một khoảng x Viết phương trình dao động

Giải

Phương trình dao động có dạng xAcos( t )

Theo định luật II Newton, ta có : khi vật cân bằng F0 P ma, tại VTCB a = 0 nên F0 P 0chiếu lên trục Ox        F0 P 0 F0 P k mg

Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB

+ Chiều dài lò xo tại VTCB: ℓ CB = ℓ 0 + ℓ (ℓ 0 là chiều dài tự nhiên)

+ Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): ℓ Min = ℓ 0 + ℓ – A

+ Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): ℓ Max = ℓ 0 + ℓ + A

3.7 Tính khoảng thời gian lò xo dãn và nén trong một chu kì

a Tính khoảng thời gian lò xo nén trong một chu kì

Khi A >ℓ (Ox có chiều dương hướng xuống)

- Trong một chu kì, thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí

Ví dụ 3.1 (Bài 1) Xét một vật dao động điều hòa theo

phương trình x Acos( t ) Tính khoảng thời gian

Nhận diện dạng bài toán

Đề cho vị trí li độ là những điểm đặc biệt, vậy ta có nhiều cách giải; trong đó sử dụng Trục phân bố khoảng thời gian là nhanh nhất

Ví dụ 3.3 (Bài 6) Một con lắc lò xo dao động trên quỹ đạo có độ dài 16 cm, chu kì bằng 0,2 s

a Trong một chu kì, tính khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x = - 4 cm đến vị trí có li độ x = 2 cm

b Trong một chu kì, tính khoảng thời gian dài nhất vật đi từ vị trí có li độ x = - 4 cm đến vị trí có li độ x = 2 cm

x 1 = 1 O

x 2 = -2

ωt

Δt

Ví dụ 3.4 (ĐH2010): Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong khoảng thời gian

ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí

+ Tốc độ trung bình

3 9 2 2 3

Ví dụ 3.5 Bài 6 (ĐH2010): Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm

Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là

100

- 100

Δt

Giá trị độ lớn gia tốc cực đại aMax  2A

Gọi khoảng thời gian vật nhỏ tăng gia tốc từ a = 0 đến a = 100 cm/s2 là Δt

Theo hình ta có 4 t T t T

     Vậy, vị trí gia tốc đạt giá trị ±100 cm/s2 nằm tại trung

điểm từ a = 0 đến aMax Hay a 100 cm / s2 aMax aMax 200 cm / s 2

2

2 Max

Ví dụ 3.6 : Xác định khoảng thời gian theo lực

(Bài 3) (ĐH2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng Kích thích cho con lắc dao động điều

hòa theo phương thẳng đứng Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm