Ngôn ngữ hình thức và ôtômat chương 3

Ngôn ng hình th c và ÔtômatFormal Language & Automata PGS.TS.

Ngôn ng hình th c và Ôtômat

(Formal Language & Automata)

PGS.TS Phan Huy Khánh

khanhph@vnn.vn

V n ph m (Grammar)

2/61

\ nh lí "b m" (Pumping Theorem)

3/61

u B ký t (Character Set)

u B t v ng (Vocabulary)

u Cúpháp (Semantic)

u Ng ngha (Semantic)

¬C n c vo cúpháp ca NNLT, ng i lp trình vit cht ch ng trng trình

gm các câu lnh đnh đ gi i quyt bài toán ca mình

¬ đ đt đt đ c m c đc đích đch đó, m i câu lnh vit ra không nh ng

đúng đng đn v mt cúpháp, màcòn ph i đi đúng đng đ n c v mt ng

ngha, hay ý ngha logic c a câu lnh, đ đ gii quyt bài toán

\Ngoài ra, ng i ta c ng th ng thêm y u t m t th n m là

4/61

u G m m t t p h p h u h n các ký t

đ c phép dùng trong ngôn ng , th ng làcác ký t ASCII

u Cóth hi u b ký t có vai trò nh b ng ch cái (Alphabet)

c a mt ngôn ng t nhiên

5/61

B t v ng

u Gm các t (Word) hay đ n v đ n vt v ng (Token) dùng đng đ t o

thành câu lnh và đ đ c phân loi tu theo vai trò c a chúng

trong ngôn ng

u Mi lo i t v ng li đi đ c chia ra thành các nhóm nh h n

tu theo ch c n ng s dng

\Víd :

- Tên, hay đ nh danh (Identifier) :

Read, Write, P, x, y

- H ng (Constants) : 2

- Toán t (Operators) : + , :=

- D u phân cách (Delimiters) :

Program, Var, :, (, ), Begin, End.

Program P;

Var ×, y : Integer;

Begin

Read(x);

y:=x+2;

Write(y)

End.

Các đ n v t v ng

Ch ng trình Pascal

6/61

u Quy đQuy đnh cách th c k t h p các ký t thành t , k t h p các

t thành câu l nh đnh đúng (Statement -Instruction), k t h p các câu l nh đnh đúng thành m t cht ch ng trng trình hoàn chnh

u Cóth hình dung cách k t h p này gi ng cách đch đ t câu trong

m t ngôn ng t nhiên

u đ đnh ngha cúpháp m t ngôn ng l p trình, ng i ta

th ng s d ng :

¬Hoc s đc s đ cúpháp (Syntax Diagram)

¬Hoc dng chun Backus-Naur(BNF−BackusNaur Normal Form), hay dng Backus-Naur m rng(EBNF−Extended BNF)

u Câu (Phrase/Sentence) g m cóhai thành ph n :

¬Ch t (subject)

¬ ng t (Verbe)

u Ch t cóth làHeho c She

u ng t cóth làsleephay eat

u T đ đócóth xây d ng đng đ c các câu :

¬He sleep

¬He eat

¬She sleep

¬She eat

8/61

Ví d s đ s đ cú pháp câu ti ng Anh

\Trong ting Anh, mt câu đ n git câu đ n gi n gm 3 thành phn :

u Ch t (Subject), chng h n “ v “You”

u ng t (Verb), chng h n “like”v “see”

u B ng (Complement), chng h n “him”v “her”

\Dùng s đng s đ cúpháp, ta có:

\T đ đócóth xây d ng các câu đc câu đúng :

“I see him”, “I like her”, v.v

see

her

9/61

u Mi quy t c cód ng : <V trá > ::= <V ph i >

u <V trái> th ng làm t ký hi u phi đi đ c đc đnh ngha rõ

u <V ph i> làm t dãy ký hiu, hoc đã đc đã đ c th a nh n,

hoc đã đc đã đ c đc đnh ngha tr c đc đó, tuân theo m t quy c

no đo đó

u Du ::= (ho c →,ho c = ) đ c “đ c đc đnh ngha là”

u N ucónhi u v ph i cùng đng đnh ngha m t v trái, ng i ta

s d ng d u | đ đ phân cách theo ngha lo i tr

u Dng BNF m r ng s d ng hai c p d u quy c :

{ } : v phi cómt chui t 0 đ n nhiu m c lit kê < >*

[ ] : v phi có0 hoc có1 m c lit kê (option)

10/61

\D ng BNF các câu ti ng Anh đ n ging Anh đ n gi n nh sau :

<Câu> ::= <Ch t > < ng t > < B ng >

<Ch t > ::= “ | “You”

< ng t > ::= “like”| “see”

<B ng > ::= “him”| “her”

<tên> = <ch > { <ch > | <s> }

Hoc đc đnh ngha đa đ quy :

<tên> = <ch > | <tên> <ch > | <tên> <s >

<ch > = ‘A’| | ‘Z’| ‘a’| | ‘z’

<s > = ‘0’| | ‘9’

11/61

S đ

\T đ đócóth xây d ng các tên đc tên đúng trong Pascal nh sau :

u Delta, x1, x2, Read, v.v

u Trái li, các chu i ký t 1A, β, π, b nkính, v.v

đ u không ph i làtên

Tên

Ch

S

Ch

Ch

S

12/61

Ví d m t NNLT đ n gi t NNLT đ n gi n

\V n ph m c a mt NNLT đ n git NNLT đ n gi n d ng EBNF nh sau :

<program> ::= program<statement>* end

<statement> ::= <assignment> | <loop>

<assignment> ::= <identifier> := <expression> ;

<loop> := while<expression> do<statement>+ done

<expression> ::= <value>

| <value> + <value> | <value> <= <value>

<value> ::= <identifier> | <number>

<identifier> ::= <letter>

| <identifier><letter> | <identifier><digit>

<letter> ::= ‘A’| | ‘Z’| ‘a’| | ‘z’

<digit> ::= ‘0’| | ‘9’

<number> ::= <digit> | <number><digit>

Mt câu, t c làmt cht ch ng trng trình đ n ginh đ n gi n, ch ng hn :

program n := 1 ; whilen <= 10 do n := n + 1 ; done end

đ c s n sinh t v n phm đã cho nhm đã cho nh áp d ng cúpháp v n ph m nh sau :

<program> program <statement>* end

program<statement> <statement> end

program<assignment> <loop> end

program<identifier> := <expression> ;

while<expression> do <statement>+ done end

programn := <value> ;

while<value> <= <value> <value> <= <value> do<statement> doneend

programn := <number> ;

while<identifier> <= <number> do <assignment> done end

program n := 1 ; while n <= 10 do <identifier> := <expression> ; done end

program n := 1 ; while n <= 10 do n := <value> + <value> ; done end

program n := 1 ;

whilen <= 10 do n := <identifier> + <number> ; n := <identifier> + <number> ; done end

program n := 1 ; while n <= 10 do n := n + 1 ; done end

14/61

\Ta đã lTa đã làm quen v i hai phi hai ph ng phng pháp :

uS d ng v n phm đm đ lp trình (t o ra câu c a ngôn ng )

v m t trình biên dch đch đ phân tích cúpháp, biên dch thành trình kh thi

uS d ng ôtômát đt đ phân tích m t câu c a ngôn ng

v th a nhn câu khi quátrình đonh đoán nh n làthành công

\Hai phHai ph ng phng pháp này b sung cho nhau và thông th ng,

uC s t t ng ng ng gi a mô t sn sinh vàmô t phân tích, ngha là óth bin đn đ i m t mô t phân tích (mt ôtômát h u hn) thành m t mô t sn sinh và ng c li

uLý thuyt NN hình th c ch a mô t đ đy đy đ cc NN t nhiên (ting Anh, ting Pháp, ting Vit ) nh ng mô t v phân tích

đy đy đ cc NNLT và đ đ c áp d ng r ng rãi trong Tin hc

15/61

\Các quy t c đc đ s n sinh câu trên m t b ng ch Σ đã cho còn đã cho còn

uM i quy t c ch ra m t dãy các ký hi u (Symbols)

cóth đ đ c thay th b i m t dãy các ký hi u khác

uNh ng ký hi u cóth đ đ c thay th b i m t dãy

các ký hi u khác đgl cc đgl các ký hi u s n sinh, hay ch a k t thúc

uXu t phát t m t ký t đ đ c bi t, g i làký t đ đ u(Start Symbol),

r i p d ng l n l t các quy t c c a v n ph m

uKhi không còn cóth thay th các ký hi u b i các quy tc c a

v n ph m, ta nhn đn đ c câu chg m nh ng ký hi u c a Σ đã đã

cho, còn đgl n đgl các ký hi u k t thúc

16/61

\M t v n ph m làm t b b n G = (N, Σ, R, S) trong đrong đó:

u N làt p h p h u hn các ký t không k t thúc (Non-Terminal Symbols), hay còn g i làcác bi n, ch xut hi n trong quá trình sn sinh vàkhông xu t hi n trong các câu đã đc câu đã đ c v n

ph m sinh ra

u ∑làtp h p h u h n các ký t k t thúc, hay ký t cu i (Terminal Symbols), ∑≠N,hay N ∩∑= ∅

u Ng i ta đi ta đnh ngha b ng ch V = N ∪∑

u R ⊆(V+×V*) làt p h u hn các quy t c (Rules), hay còn g i

làcác s n xu t (Productions), chính làcác quy t c vit l i v a

n i trên, th ng cód ng (α, β), hay α→β

u S ∈N làký t đ đ u (Start Symbol)

17/61

u Ph n t bên trái (α∈V+) c a s n xut

đ c thay th b i ph n t bên ph i (β∈V*)

u Áp d ng s n xu t đt đ u tiên làS →α

uSau đSau đótìm trong αcác ph n câu u∈V+ cóch a bi n X ∈ N

đ áp d ng tu ý các s n xut u→v

u Th c hi n m t cách đch đ quy cho đ quy cho đ n khi nhn đn đ c câu w

ch ch a các ký hi u a ∈Σ, hay nói cách khác, w ∈Σ*

18/61

\Sau đây lSau đây làm t s quy c khi mô t v n ph m G :

u Các bi n A, B, C , X, Y ∈N = V −∑

u Các ký t thu c ∑ đ đ c bi u di n b i , b, c

u Các quy t c, hay s n xu t (α, β) ∈ R, đ c vit d ng :

α→β hay α→Gβ

n u mu n ch đ đnh đnh đólàs n xut thu c v n ph m G khi làm vi c cùng lúc v i nhi u v n ph m khác nhau

u Ký t đ đ u luôn luôn bi u din b i S

u Các câu r ng đng đ c bi u din b i ε

u N = { S, A, B }

u ∑= { a, b}, S làký t đ đ u

u R = { S →A, S →B, B →bB, B →ε, A →aA, A →ε }

u cho g n, khi mô t m t v n phm, ng i ta th ng nhóm

các quy tc cócùng ký t bên trái v i nhau :

S →A | B B →bB | ε A →aA | ε

u Thay vìli t kê h t các thành ph n c a v n ph m G,

ng i ta ch li t kê các quy t c R c a v n ph m màthôi

u Chng h n v n ph m G trên ch c n li t kê các quy t c :

G { S →A | B ; B →bB | ε; A →aA | ε}

20/61

S

A Áp d ng S →A

aA − A →aA aaA − A →aA aaaA − A →aA aaaaA − A →aA aaaa − A →ε

S

A

ε

21/61

u∈V+, v∈V* đgl c đgl các d ng câu

(derives v from u in one step) đ đ c bi u di n b i :

u u = xu’y u g m 3 ph n x, u’v y, x vày cóth r ng

u v = xv’y v g m 3 phn x, v’v y

u u’→v’ làm t sx c a G

22/61

u∈V+, v∈V* đgl c đgl các d ng câu

\Câu v đCâu v đ c s n sinh t u b ng nhi u b c suy d ntrong G

u ⇒*

Gv n u:

u ∃k ≥0 và 0 vk∈V+sao cho :

u u = v0

u v = vk

u vi⇒Gvi+1v i ∀i, 0 <i ≤k

\C th vi t đt đ y đy đ khi k nh :

u ⇒*

Gv n u u = v0⇒Gv1⇒Gv2⇒G ⇒Gvk = v

23/61

suy d n t ký t đ đ u S cho đu S cho đ n khi nhn đn đ c câu g m các

G w

Gw }

\Víd :

u V n phm G { S →A | B ; B →bB | ε; A →aA | ε}

sinh ra ngôn ng L(G) = a*∪b*

g m các câu hoc ch a toàn ch a, ho c ch a toàn ch b

24/61

uLo i 0 V n ph m t do

¬ Không gi i hn v sn xut (s n xut có ng b t k)

uLo i 1 V n ph m c m ng c nh

(Context Sensitive Grammar)

¬ Các sn xut có ng α→β,|α| ≤|β| vàS →ε

uLo i 2 V n ph m phi ng c nh (Context Free Grammar)

¬ Các sn xut có ng A →β, A ∈N, không có n ch gìv β

uLo i 3 V n ph m chính qui (Regular Grammar)

¬ Sn xut có ng : A →wB | w, , A vàB ∈N, w ∈Σ*

u Cóv trâ αlăm t ký t A ∈N

u Cóv ph i βg m câc ký t k t thúc w ∈Σ*,

ti p theo sau, hay đ hay đ t tr c, ho c không có, m t ký t B∈N

đgl v n ph

đgl v n ph m tuy n tính ph i (Right Linear Grammars)

26/61

VP3⊂VP2⊂VP1⊂VP0

u Quan h bao hăm trín lăth c s : i>j n u VPi⊂VPj

u V i i>j thìm t v n ph m lo i i

c ng lă v n ph m loi j

u S bao hăm gi a VP2v VP1 không đ không đ c tht rõ răng :

¬VP2cóth ch a câc s n xut dng A →ε

¬Do vy, đi đi u kin |α| ≤|β| ca câc VP1không tha mên

¬V i mi lo i sn xut khâc, đi đi u ki n năy li tha mên

27/61

Σ*

VP0

VP1

VP2

VP3

28/61

Tính t nh t ng đ ng gi ng đ ng gi a v n ph m vă ôtômat

\Bng tóm tt v tính tnh t ng đ ng ging đ ng gi a v n phm vẵtômat

c a câc l p v n ph m theo Chomsky :

{anbn| n ≥ 1}

Ôtômat

đ y xu ng

A → α Phi ng c nh 2

{0(10)n| n ≥ 0}

Ôtômat h u h n

A → bB | w Chính quy

3

{anbncn| n ≥ 1}

Mây Turing v i

b ng h u h n

α → β,

|α| ≤ |β|

C m ng c nh 1

Ngôn ng t nhiín Mây Turing

Không có

h n ch gì

T do 0

Ví d Ôtômat

D ng s n xu t

V n ph m

Lo i

29/61

\ Câc VP3 đgl v n ph đgl v n ph m chính quy lăkhông ph i ng u nhiín

\ Ta có đ đnh lý sau đđy nh lý sau đđy :

u M t ngôn ng lăchính qui n u

ngôn ng đ đó đ đ c sn sinh b i m t v n phm chính qui

Ng i ta vi t :

u L(G) = L(α) = L(M) = L

V i G lăVP3, α lăm t BTCQ văM lăm t ôhh

L lăm t ngôn ng chính qui

30/61

u L NNCQ nín đ đ c th a nh n b i m t ôhh không đ n đt ôhh không đ n đnh M,

L = L(M), trong đtrong đó:

M = (Q, Σ, Δ, q0, A)

u S d ng M đng M đ xđy d ng m t VPCQ G = (VG, ΣG, SG, RG) sao cho L(G) = L

u Câc ph n t c a G đa G đ c đc đnh ngha theo M nh sau :

¬ΣG= Σ(câc ký t cu i c a v n ph m G lăbng ch c a M)

¬NG= Q (ký t không k t thúc ca G lătr ng thâi c a M)

¬SG= q0(ký t đ đ u ca G lătrng thâi đi đu ca M)

¬RG= { A →wB cho ∀(A, w, B) ∈Δv A →εcho ∀A ∈F }

u L(M) = (a+b)*b

hay mi câu b t k k t thúc b i m t con b

u Víd các câu sau ∈L(M) :

¬b

¬abbab

¬aaabbb = a3b3

G { S →a | bA ;

A →bA | aS ;

A →ε } do A làtrng thái cu i duy nh t

b

S

a

b

32/61

G {S →b | aA ;A →aB | bS ; B →aB | bC ;

C →b | aA | ε }

33/61

34/61

đ n đnh đonh đoán nh n L :

u Gi s G = (VG, ΣG, SG, RG) làVP3sn sinh ra ngôn ng L

u Xây d ng NFA M=(Q, Σ, Δ, q0, F) th a nh n L(G) nh sau :

¬Q = N ∪{ h} (trng thái c a M làký hiu không kt thúc ca G

cng thêm m t trng thái m i h )

¬Σ= ΣG

¬q0= SG

¬F = { h } (M chi cómt trng thái cu i duy nht làh )

¬Δ= {(A, w, B ) v i ∀A →wB ∈RGv (A, w, h ) v i ∀A →w ∈RG}

u Nh vy L(G) làngôn ng đ đ c M th a nh n vàlàNNCQ

35/61

{ S →a | bS | abb }

abb

A S

a, b

abb

A S

a

b

Chú ý A là tr ng thái cu i m i thêm vào Chúý A làtr ng thái cu i m i thêm vào

36/61

{ S →a | bS | a | b }

a, b

A S

a, b

Chú ý A là tr ng thái cu i m i thêm vào Chúý A làtr ng thái cu i m i thêm vào

\Cho các VP3Gi nh sau:

G1{ S →b | aT | ε ; T →aT | bU | ε ; U →aT | ε }

G2{ S →aA | aB | b; A →b; B →bB | a }

38/61

\Cho NNCQ L, ta đã xa đã xét b n công c khác nhau

đ bi u di n, hay ch đ đnh L :

u Bi u th c chính quy α: L = L(α)

u Ôtômat h u h n đ n đn đ n đnh M : L = L(M)

u Ôtômat h u h n không đ n đn không đ n đnh M : L = L(M)

u V n ph m chính quy G L = L(G)

\Sau đâySau đây, ta ti p t c xét các tính ch t c a NNCQ

39/61

\Ta cótính cht sau đây t sau đây :

Các ngôn ng đ đ c t o thành b i

u Phép h p c a hai NNCQ L1∪L2

u Phép ghép ti p c a hai NNCQ L1.L2

u Phép nghch đch đ o m t NNCQ L1R

u Phép l y phn bùm t NNCQ L1 = Σ– 1

u Phép giao c a hai NNCQ L1∩L2

đ u làcác NNCQ

40/61

\Gi s α1v α2làc c BTCQ ch đ đnh L1, L2 tt ng ng ng :

u L1 = L(α1)

u L2= L(α2)

\Khi đKhi đó, bi u th c chính quy :

u α1∪α2

ch đ đnh ngôn ng : L(α1∪α2) = L1∪L2

c ng làNNCQ

41/61

α1α2

ch đ đnh ngôn ng :

L(α1α2) = L1.L2

c ng làNNCQ

42/61

Khi đ

Khi đóngôn ng L1R= { w | wR∈L1} làNNCQ

ôhh M’=(Q’, ∑’, Δ’, q0’, F’) th a nh n L1R nh sau :

u Q’= Q ∪{q0’} (q0’ àtr ng thái đđ u m i đi đ c thêm vào)

u ∑’= ∑

u F’= { q0} (tr ng thái đđ u tr thành tr ng thái cu i duy nh t)

u Δ’= { (q, wR, p) | (p, w, q) ∈Δ} ∪{ (q0’, ε, q) | q ∈F }

¬Các chuy n tip c a Δ’là ác chuy n tip c a M

nh ng theo cách ng c li

¬Thêm chuyn tip m i t tr ng thái đi đu

vo m i trng thái cui c a M

\Xây d ng M’=(Q’, ∑’, Δ’, q0’, F’) th a nh n L1R nh sau :

Chú ý q0’ là tr ng thái đ u m i thêm vào

Chúý q0’ àtr ng thái đi đ u m i thêm vào

bba

q1

q1

q0

q0

L1R = (ba)*abba*

ε

q1

q0’

q0’

a ba

q0

q0 abb

44/61

\B c a L1, ký hi u L1= ∑*-L1, c ng làNNCQ

\T ôhh đ n đ ôhh đ n đ nhM = (Q, ∑, δ, q0, F) th a nh n L1, xây d ng ôhh M’=(Q’, ∑’,δ’, q0’, F’) th a nh n L1 nh sau :

uQ’= Q

u∑’= ∑

uδ’= δ

uF’= Q -F Hoán v vai trò c a các tr ng thái đđ t đt đ c và không đ không đ t đt đ c

cho các ôthh không đ n đc ôthh không đ n đnh

45/61

\Xây d ng M’=(Q’, ∑’, Δ’, q0’, F’) th a nh n L1 nh sau :

Chú ý q0’ là tr ng thái đ u m i thêm vào

Chúý q0’ àtr ng thái đi đ u m i thêm vào

a

q1

q1

q0

q0

a, b

L1R = (ba)*abba*

ε

q1

q0’

q0’

a ba

q0

q0 abb

a

b qq1 1

q0

q0

b

a

46/61

Cách 1: Dùng phép bi n đn đ i L1∩L2= L1∪ L2 Cách 2: Xây d ng ôhh đđ M ng ôhh đđ M = (Q, ∑, δ, q0, F)

th a nh n L1∩L2xu t phát t hai ôhh đđ hai ôhh đđ :

¬M1= (Q1, ∑, δ1, q01, F1) th a nhn L1

¬M2= (Q2, ∑, δ2, q02, F2) th a nhn L2

¬Q = Q1×Q2M i tr ng thái c a M làm t c p tr ng thái

¬δ((q1, q2), a)=(p1, p2) n uδ1(q1, a)=p1, δ2(q2, a)=p2, ∀a∈Σ

¬q0= (q01 q02)

¬F = F1×F2

47/61

\Cho M1v M2sao cho L1=L(M1)=b*aab, L2=L(M2)=b*ab*

L(M) = b*aab ∩ b*ab*= b*a L(M) = b*aab ∩b*ab*= b*a

a

B

A

b

a

E

D

b

ab

C

b

a

B,E A,D

b

48/61

\Ta có n m bài toán c b n sau đây n sau đây :

Bài toán 1:X c đc đnh xem cóph i w∈L hay không ?

Bài toán 2:X c đc đnh xem cóph i L làr ng hay không ?

Bài toán 3:X c đc đnh xem cóph i L =∑*?

Bài toán 4:X c đc đnh xem cóph i L1⊆L2?

Bài toán 5: Xác đc đnh xem cóph i L1= L2?

\Bài toán 1 còn đgl còn đgl “bài toán thành viên”

u Xây d ng m t ôtômat đ n đt ôtômat đ n đnh xut phát t s mô t c a L

u Cho ôtômat th c hi n vic đoc đoán nhn câu w đã chon câu w đã cho

50/61

u Xây d ng m t ôhh (đ n đnh ho c không đ n đc không đ n đnh) M

th a nh n L

u Ngôn ng L ≠∅n u, trong s đtrong s đ biu di n ôtômat M,

t n t i m t đt đ ng đi ging đi gi a tr ng thái đđ u

v m t tr ng thái k t thúc nào đo đó

51/61

u Xây d ng m t ôhh M th a nhn ngôn ng b c a L

L(M) = L = ∑*-L

u Ki m tra M không th a nh n m t câu nào L(M) = ∅

b ng cách ki m tra n u L = ∅? (Bài toán 2)

52/61

\Bài toán 4 gi i đi đ c b ng cách ki m tra L1∩L2= ∅? (Bài toán 2)

53/61

\Bài toán 5 gi i đi đ c b ng cách ki m tra các đic đi u ki n :

u L1⊆L2 (Bài toán 4)

u L2⊆L1 (Bài toán 4)

54/61

1 Mi ngôn ng h u h n (cóh u h n câu) đ đ u làchính quy

Vìngôn ng có u hn câu L = {w1, , wk}

L s đ đ c ch đ đnh b i BTCQ L = L(w1∪ ∪wk)

do đ

do đóL làchính quy

2 Mt ngôn ng không chính quy ph i ch a vô h n câu

T tính cht “L có u hn câu”→“L chính quy”suy ra :

¬ “L không chính quy”→“L ch a vôhn câu”

¬ Tuy nhiên “L chính quy”→“L có u hn câu” không đ không đúng

Chng hn, ∑* làNNCQ cóvô h n câu

3 Mt ngôn ng vô h n câu s ch a s câu không b ch n trên

4 Mi NNCQ đi NNCQ đ c th a nh n b i m t ôtômat h u hn ch g m

m t s c đ đnh trng thái

5 nh lý “b m”

u d i m t câu b t k thu c ngôn ng s không cóc n trên

uGi s Card(∑)=m, N làc n trên c a m i đi đ d i câu thu c L :

∀w ∈L, |w| ≤N < ∞

uKhi đKhi đóta cóth li t kê các câu :

1 câu có đ đ dài 0 (g m câu ε)

+m câu có đ đ dài 1 (g m n câu, m i câu làmt ký t ca ∑)

+m2 câu có đ đ dài 2 (g m các câu t o thành t 2 ký t ca ∑)

+mN câu có đ đ dài N

= không ph i vô hn (mâu thun !)

1

M

1

MN + 1−

56/61

u Gi s w = xuy v i u ≠ε thìkhi M th c hi n đon đoán nh n w,

M ph i v t qua m t tr ng thái qkít ra hai l n :

¬M đi tM đi t q0 đn qk đ đo đoán nh n x

¬M đi tM đi t qk đn qk đ đo đoán nh n u

¬M đi tM đi t qk đn qj ∈Qđ đo đoán nhn y

u T đ đó, m i câu cód ng xu*y c ng đng đ c th a nhn b i M

57/61

u ∃x, u, y ∈∑*, v i u ≠εsao cho xu*y ∈L, ∀n ≥0

Ng i ta phát tri n đn đnh lý “b m” nh sau :

u Cho w ∈L sao cho |w|≥m

uKhi đKhi đó∃x, u, y sao cho xuy = w, v i u ≠εv |xu|≤m

u ∀n, xuny ∈L

58/61

\Ta s v n d ng đng đnh lí "b m“theo cách ph đ đnh nh sau :

“L không tho mãn LB”→“L không ph i làNNCQ”

uC n ch ra r ng L không tho mãn LB, ngha làkhông th ∃x, ∃u, ∃y, u≠ε, sao cho xuky ∈anbn, ∀k

uGi s t n t i x, u, y nh v y và ét các tr ng h p c a u :

¬u∈a* : xuky∉anbn, vìkhi lp u theo LB, s ch a s ≠s ch b

¬u∈b* : cng không th đ đ c vi cách lp lun nh trên

¬u∈(a∪b)*−(a*∪b*) = (aa*b(a∪b)*)∪(bb*a(a∪b)*)

gm m t s con a r i m t s con b tu ý

cng không th xy ra,

vìcóláo nháo các con a ri các con b trong uk(k>1)

uV y anbn không ph i làNNCQ

59/61

u LK={ anbn| n ≤K < ∞} cón h u h n hay b ch n trên

u Mi câu cód ng anbn∈LK đ đ c nhn bi t b i m t ôhh

u Không ∃ôhh th a nh n m i câu anbn,

làphép h p vô h n các ngôn ng LK

u Vn đn đ đ đ t ra làc n b sung kh n ng cho l p các ôhh

đ chúng cóth th a nhn ngôn ng anbn

60/61

(ch a m i câu có đ đ d i n2làm t s bình phnh ph ng đng đúng)