Toán rời rạc bài 4 functions

• Nhưng khái niệm hàm số có thể mở rộng: ứng với mỗi phần tử của tập này cho tương ứng một phần tử của tập kia.. • Cú thể khỏi quỏt tiếp ý tưởng nàyú thể khỏi quỏt tiếp ý tưởng này:: – H

University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering

COT 3100

Applications of Discrete Structures

Dr Michael P Frank

Slides for a Course Based on the Text

Discrete Mathematics & Its Applications

(5 th Edition)

by Kenneth H Rosen

Module #4:

H àm số - Functions

Rosen 5th ed., §1.8

~31 slides, ~1.5 lectures

On to section 1.8… Functions

• Trong giải tích ta đã làm quen với khái

niệm hàm thực f là tương ứng sao cho với mỗi x∈R xác định được một giá trị cụ thể nào đó y=f(x), với y∈R

• Nhưng khái niệm hàm số có thể mở rộng: ứng với mỗi phần tử của tập này cho tương ứng một phần tử của tập kia (Được biết như ánh xạ.)

Hàm số: Định nghĩa hỡnh thức

• Với hai tập bất kỳ A, B, ta nói hàm f từ

( hoặc ánh xạ ) A vào B (f:A→B) là một phép tương ứng đúng một phần tử f(x)∈B cho mỗi một phần tử x∈A.

• Cú thể khỏi quỏt tiếp ý tưởng nàyú thể khỏi quỏt tiếp ý tưởng này::

– Hàm bộ phận (khụng toàn cục) f xỏc định khụng

cú hoặc một phần tử của B cho mỗi phần tử

x∈A.

– Hàm n biến; hoặc quan hệ (ch 6).

Biểu diễn đồ thị Graphical Representations

• Functions can be represented graphically in several ways:

Các hàm chúng ta đã biết

• Mệnh đề có thể coi như hàm số từ “các tình

huống” vào các giá trị chân lý{T,F}

– Hệ logic được gọi là lý thuyết tình huống.

– p=“Trời đang mưa.”; s=trong tình huống ở đây,

hịen tại

– p(s)∈ {T,F}.

• Phép toán mệnh đề có thể coi như hàm của

cặp có thứ tự các giá trị chân lý vào giá trị chân lý: như

chân lý: như, , ∨((F,T)) = T

Nói thêm về hàm …

• Vị từ (predicate) có thể coi là hàm từ tập

các đối tượng vào mệnh đề (hoặc giá trị chân lý):

chân lý): P P :≡ “is 7 feet tall”;

P(Mike) = “Mike is 7 feet tall.” = False

• Xâu bit B có độ dài n có thể coi như hàm số

từ các số {1,…,n} (vị trí bit) vào các bit

{0,1}.

E.g., B=101  B(3)=1.

Nói tiếp về hàm

• Tập S trong tập vũ trụ U có thể xem như

hàm (đặc trưng của S) từ các phần tử của U

vào {T, F}, nói rằng mỗi phần tử của U có

Thủ thuật đơn giản

• Đôi khi ta viết Y X để chỉ tập F bao gồm mọi hàm có thể f:X→Y .

• Ký hiệu này đặc biệt phù hợp,ý hiệu này đặc biệt phù hợp, b bởi vì đối với

hai tập hữu hạn

hai tập hữu hạn X X, Y, ta có ó ||F| = |Y||X|

• Nếu ta sử dụng biểu diễn F≡0, T≡1,

2:≡{0,1}={F,T}, thì tập con T⊆S có thể xem là hàm từ S vào 2, vì vậy tập mũ của S

(tập mọi hàm như vậy) là 2S như đã ký hiệu

– a là tiền ảnh của b qua f.

• Nói chung, b có thể có nhiều hơn một tiền ảnh.

– Miền giá trị (Range) R⊆B của f là

R={b | ∃a f(a)=b }.

We also say

the signature

of f is A→B.

Miền giá trị và đối miền Range versus Codomain

• Miền giỏ trị của hàm cú thể khụng là toàn

bộ codomain

• Codomain là tập mà hàm đang xột sẽ ỏnh xạ mọi giỏ trị của domain vào đú

• Miền giỏ trị là một tập cỏc giỏ trị trong

codomain mà thực tế hàm ỏnh xạ mọi phần của domain vào đú

Range vs Codomain - Example

• Giả sử tôi nói với các bạn rằng: “f là hàm

ánh xạ mọi sinh viên trong lớp vào tập các điểm {A,B,C,D,E}.”

• Bạn cho biết codomain của f là: , miền giá trị của f là

• Giả sử mọi điểm đều là A và B.

• Khi đó miền giá trị của f là _,

nhưng codomain là

{A,B,C,D,E}unknown!

{A,B}

still {A,B,C,D,E}!

Phép toán (general definition)

• Phép toán n-ngôi trên tập S là hàm bất kỳ từ tập các bộ có thứ tự gồm n phần tử của S

Xây dựng phép toán cho hàm số

• Nếu • (“dot”) là bất kỳ phép toán nào trên

B, thì ta có thể mở rộng • thành phép toán trên các hàm số từ A nào đó vào B

trên các hàm số từ A nào đó vào B f f:A→B

• Ch ẳng hạn: Cho ph ẳng hạn: Cho phép toán 2 ngôi bất kỳ ép toán 2 ngôi bất kỳ

VÝ dô phÐp to¸n hµm sè Function Operator Example

Function Composition Operator

• Đối với các hàm số g:A→B và f:B→C, có một phép toán đặc biệt gọi là hợp hàm (compose “○”).

Ảnh của tập hợp qua hàm số

• Cho f:A→B, và S⊆A,

• Ảnh của S qua f là tập gồm tất cả các ảnh (qua f) của các phần tử trong S

f(S) :≡ {f(s) | s∈S}

:≡ {b | ∃ s∈S: f(s)=b}.

• Lưu ý rằng miền giá trị là ảnh (qua f) của domain của f!

Hàm số 1-1 One-to-One Functions

• A function is one-to-one (1-1), hoặc đơn ánh, iff

mọi phần tử của miền giá trị chỉ có một nghịch ảnh

– Một cách hình thức: cho f:A→B,

“x đơn ánh” : ≡ ( ¬∃x,y: x≠y ∧ f(x) =f(y)).

• Chỉ có một phần tử của domain được ánh xạ vào

một phần tử cho trước của miền giá trị.

– Miền (domain) & miền giá trị (range) có cùng lực

lượng Có thể nói gì về đối miền (codomain)?

• Dễ nhớ: Mỗi phần tử của domain được ánh xạ vào

phần tử riêng biệt của miền giá trị.

– So sánh “mỗi liều vaxin được tiêm cho một bệnh nhân

khác nhau.”

BiÓu diÔn 1-1 One-to-One Illustration

• Đồ thị hai phần biểu diễn hàm là (hoặc không là) one-to-one:

Cỏc điều kiện đủ cho ỏnh xạ 1-1

• Với hàm f trên các tập số, ta nói:

– f là đơn điệu tăng chặt khi và chỉ khi

x>y → f(x)>f(y) đối với mọi x,y trong miền;

– f là đơn điệu giảm chặt khi và chỉ khi x

<y → f(x) < f(y) đối với mọi x,y trong miền;

• Nếu f là tăng chặt hay giảm chặt thì f là

ánh xạ 1 - 1 VD VD . x3

–Ngược lại là không nhất thiết phải đúng.

Hàm toàn ánh – Onto (Surjective) Functions

• Hàm f:A→B là hàm lên hay toàn ánh iff miền xác định của nó bằng codomain của

Illustration of Onto (ỏnh xạ lờn)

• Hàm nào là ánh xạ lên đối miền của chúng:

Onto (but not 1-1)

Song ánh - Bijections

• Hàm f được gọi là song ánh hay đảo được, iff nó vừa là 1-1 vừa là toàn ánh

• Đối với song ánh f:A→B, tồn tại ánh xạ

ngược với f, được viết là f − 1:B→A, mà là hàm duy nhất sao cho

– (với I A là ánh xạ đồng nhất trên A)

A I f

The Identity Function

• Với mọi miền A, hàm đồng nhất I:A→A

(hoặc viết dạng, I A , 1, 1A) là ánh xạ duy nhất sao cho ∀a∈A: I(a)=a.

• Một số hàm đồng nhất mà ta đã biết:

Cộng + với 0, nhân với 1, hội ∧ với T, tuyển ∨

với F, hợp ∪ với rỗng ∅ , giao ∩ với U.

• Lưu ý rằng hàm đồng nhất luôn là ánh xạ một - một và toàn ánh (song ánh)

• The identity function:

Biểu diễn hàm đồng nhất Identity Function Illustrations

–Hàm khi đó được vẽ như một đường cong (tập các

điểm), với chỉ một y cho mỗi x

← The function’s graph.

Nói thêm về biểu diễn Aside About Representations

• Có thể biểu diễn kiểu bất kỳ của một cấu trúc rời

rạc (propositions, bit-strings, numbers, sets,

ordered pairs, functions) theo từ ngữ của một một cấu trúc khác (hoặc kết hợp một số khác).

• Có thể không có cấu trúc nào trong số trên là cơ

bản hơn các cấu trúc khác

bản hơn các cấu trúc khác (t (tức là được dùng để

biểu diễn các cấu trúc khác

biểu diễn các cấu trúc khác) Tuy nhi ) Tuy nhiên, xâu, logic

và tập hợp (

và tập hợp ( strings, logic, and sets) th strings, logic, and sets) thường được

dùng làm cơ sở cho mọi thứ còn lại

dùng làm cơ sở cho mọi thứ còn lại Nh ư trình bày

A Couple of Key Functions

• Trong toán rời rạc, ta thường sử dụng hai

hàm sau trên số thực:

– Hàm nền (floor function)  ·  :R→Z, trong đó x

(“nền của x”) là số nguyên lớn nhất mà nhỏ hơn

x I.e., x :≡ max({i∈Z|i≤x}).

– Hàm trần (ceiling function)  ·  :R→Z, trong đó

x (“trần của x”) là số nguyên nhỏ nhất mà lớn hơn x Tức là x :≡ min({i∈Z|i≥x})

Biểu diễn hàm nền và trần Visualizing Floor & Ceiling

• C¸c sè thùc “r¬i xuèng sµn cña chóng” hoÆc

.

.

.

Plots with floor/ceiling

(a, 0) đối với mọi giá trị của a mà a≥0 và

a<1, nhưng không phải đối với a=1

bao gồm điểm biên phải (a,1)

• Khi vẽ điểm biên ta dùng vòng tròn mở nếu điểm biên không thuộc đồ thị và vòng tròn đặc, nếu

điểm biên nằm trên đồ thị

VÝ dô: VÏ víi sµn vµ trÇn Plots with floor/ceiling: Example

• Plot of graph of function f(x) = x/3:

Review of §1.8 (Functions)

• Function variables f, g, h, …

• Notations: f:A→B, f(a), f(A).

• Terms: image, preimage, domain, codomain,

range, one-to-one, onto, strictly (in/de)creasing, bijective, inverse, composition.

• Function unary operator f − 1 ,

binary operators + , − , etc., and ○.

• The R→Z functions x and x

• Quê quán: Sinh viên -> tỉnh

• Liên hệ: Sinh viên -> số điện thọai

• Bạn thân: Sinh viên -> Sinh viên

• Danh tính: Sinh viên -> mã sinh viên

• Đăng ký: Sinh viên -> học phần

• Bảng điểm thi môn: Sinh viên -> điểm thi môn

• Bảng điểm sinh viên: môn học -> điểm

• Tạm trú: Sinh viên -> địa chỉ nhà

• Phân phòng học: Lớp -> phòng học

• Phân phụ trách môn: Môn học -> Thày giáo

• Phân giảng: Học phần -> Thày giáo