Toán rời rạc - Bài mở đầu - Tổng quan pdf

Đối nghịch với liên tục nghịch với liên tục rời rạc :liên tục :: kỹ thuật số:tương tự • “Cấu trúc” Cấu trúc” – C – C ác đối tượng được xây dựng từ các đối tượng đơn giản hơn nhờ các

University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering

COT 3100

Applications of Discrete Structures

Dr Michael P Frank

Slides for a Course Based on the Text

Discrete Mathematics & Its Applications

(5th Edition)

by Kenneth H Rosen

Slides are online at http://www.cise.ufl.edu/~mpf/cot3100lecs

Module #0:

Course Overview

A few general slides about the subject

matter of this course.

14 slides, ½ lecture

Toán học trên thực tế là gì?

• Đây không phải chỉ về các số! Đây không phải chỉ về các số !

• To án học thực tế nhiều hơn thế: án học thực tế nhiều hơn thế :

• Nh ưng, nh ưng , nh ững khái niệm này có thể là về các con

số

số, k , k ý hiệu, ý hiệu , đối tượng, h đối tượng , h ình ảnh, ình ảnh , âm thanh hay bất

cứ cái gì khác

cứ cái gì khác! !

Toán học, nói tổng quát, là nghiên cứu về mọi chân lý đúng tuyệt đối về mọi khái niệm được

định nghĩa một cách đúng đắn.

Physics from Mathematics

• Starting from simple structures of logic &

set theory,

– Mathematics builds up structures that include

all the complexity of our physical universe…

• Except for a few “loose ends.”

• One theory of philosophy:

– Perhaps our universe is nothing other than just a

complex mathematical structure!

• It’s just one that happens to include us!

From Max Tegmark, ‘98

Vậy môn học này dạy về cái gì?

C ấu trúc “rời rạc” là cái gì?

• “ Discrete ” - r ” - r ời rạc g ồm các phần riêng biệt ( ồm các phần riêng biệt ( Đối

nghịch với liên tục

nghịch với liên tục) )

rời rạc :liên tục :: kỹ thuật số:tương tự

• “Cấu trúc” Cấu trúc” – C – C ác đối tượng được xây dựng từ các

đối tượng đơn giản hơn nhờ các mẫu xác định

đối tượng đơn giản hơn nhờ các mẫu xác định .

• “Toán rời rạc” Toán rời rạc” – nghi – nghi ên cứu về các cấu trúc và đối

tượng toán học rời rạc

tượng toán học rời rạc .

Chúng ta sẽ học

• Mệnh đề - Propositions

• Vị từ - Predicatesừ - Predicates

• Chứng minh - ứng minh - ProofsProofs

• Tập hợp - ập hợp - SetsSets

• Hàm số - àm số - FunctionsFunctions

• Tốc độ tăng - ốc độ tăng - Orders of Orders of

Growth

• Thuật toán - ật toán - AlgorithmsAlgorithms

• Số nguyên - ố nguyên - IntegersIntegers

• Lấy tổng - ấy tổng - SummationsSummations

• Dãy - ãy - SequencesSequences

• Xâu - âu - StringsStrings

• Hoán vị - án vị - PermutationsPermutations

• Tổ hợp - ổ hợp - CombinationsCombinations

• Quan hệ - ệ - RelationsRelations

• Đồ thị - GraphsĐồ thị - Graphs

• Cây - ây - TreesTrees

• Mạch logic - ạch logic - Logic Logic

Circuits

• Ôtômat - AutomataÔtômat - Automata

M ối quan hệ giữa các cấu trúc

• “→ “ → ” :≝ “Can be defined in terms of”

Sets

Sequences

n-tuples

Matrices Natural

numbers

Integers

Relations Functions

Graphs Real numbers

Complex

numbers

Strings Propositions

Proofs Trees

Operators

Programs

Infinite

Groups

Bits

Not all possibilities are shown here.

Một số ký hiệu mà ta sẽ học

 

) ( deg ]

[ )

| ( )

, ,

; (

] [ )

(

) (mod mod

lcm gcd, /|

max min,

, ,

) ( :

|

|

)}

(

| { ,

, }

, , { )

(

) (

1

] [ T

0

1 1

1 1

v a

R F

E p n

n n C

r

n a

a a

m b

a b

a O

a a

x g

f x

f B

A f

A A

B A

S T

S

S x x

P x a

a x

P x

x P x q

p q

p q

p q

p p

R m

n ij

b k

n

i

i S

n

i i n

+

∗

=

∈

−

=

⋅

≡ Θ

Ω

→

∪

⊆

∅

∉

∴

∃

∀

⇔

→

⊕

∧

¬

∏

∑











A B

A A

R N Z

Ο

α α

Tại sao phải học Toán rời rạc?

số là:

số là: Thao tác rời rạc của các cấu trúc rời rạc Thao tác rời rạc của các cấu trúc rời rạc

trong bộ nhớ .

thức khác của Khoa học máy tính

thức khác của Khoa học máy tính .

trong Toán học, Khoa học, Công nghệ, Kinh tế, Sinh học,

Sinh học, … …

lý

lý! !

Ứng dụng của Toán rời rạc trong

Khoa học máy tính

• C ấu trúc dữ liệu và

giải thuật

• Ch ương trình dịch ương trình dịch

Computer networks

Operating systems

Computer architecture

liệu

• M ã hoá-Cryptography ã hoá- Cryptography

• L ập trình chỉnh lỗi

Error correction codes

• C ơ chế trò chơi, thuật

toán mô phỏng và đồ họa

họa… …

• Mọi lĩnh vực !

Course Outline (as per Rosen)

1.

1. Logic (§1.1-4)

2.

2 Proof methods (§1.5)

3.

3 Set theory (§1.6-7)

4.

4 Functions (§1.8)

5.

5 Algorithms (§2.1)

6 Orders of Growth (§2.2)

7.

7. Complexity (§2.3)

8.

8. Number theory (§2.4-5)

9.

9. Number theory apps (§2.6)

10.

10. Matrices (§2.7)

11.

11 Proof strategy (§3.1)

12.

12 Sequences (§3.2)

13 Summations (§3.2)

14 Countability (§3.2)

15 Inductive Proofs (§3.3)

16 Recursion (§3.4-5)

17 Program verification (§3.6)

18 Combinatorics (ch 4)

19 Probability (ch 5)

20 Recurrences (§6.1-3)

21 Relations (ch 7)

22 Graph Theory (chs 8+9)

23 Boolean Algebra (ch 10)

24 Computing Theory (ch.11) Instructors: customize topic content & order for your own course

Một số chủ đề bỏ qua

Do có thể học ở các môn khác:

8 Lý thuyết số (ch 8)

- học trong môn an toàn thông tin.học trong môn an toàn thông tin

9 Ứng dụng lý thuyết số (ch 9)

10 Ma tr ận: Đại số tuyến tính

13 T ính tổng: Giải tích

19 Xác suất: Môn Xác suất & thống kê

24 Đại số trừu tượng: An toàn thông tin

- Groups, rings, fields, vector spaces, algebras, etc.

Mục đích môn học

– Lập luận các suy luận logic đơn giản (chứng minh). – Kiểm tra tính đúng đắn của các thuật toán đơn giản. – Tự xây dựng các suy luận và các thuật toán đúng đắn. – Mô tả các định nghĩa và các tính chất của nhiều kiểu

cấu trúc dữ liệu rời rạc

– Hiểu, biểu diễn và phân tích đúng đắn nhiều kiểu cấu

trúc dữ liệu rời rạc sử dụng các khái niệm chuẩn

Kế hoạch học tập

Kế hoạch học (tiếp)

• Tuần 9: Qui nạp & Đệ qui

• Tuần 10: Kiểm chứng & Truy hồi

• Tuần 11: Tổ hợp

• Tuần 12: Đồ thị

• Tuần 13: Đồ thị (tiếp)

• Tuần 14: Đại số Bool

• Tuần 15: Mô hình & Tổng ôn

Kế hoạch bài tập, thực hành, kiểm tra

• Trong tuần 8: bài kiểm tra giữa kỳ 20%

• Trong tuần 9: nộp bài cài đặt 3, 4

• Trong tuần 13: nộp vở bài tập đợt 2

60% = 20% + 40%

A Proof Example

• Theorem: (Pythagorean Theorem

of Euclidean geometry) For For any

base-length and height of a right triangle,

hypo-tenuse, then a2 + b2 = c2.

• Proof: See next slide.

a b

Pythagoras of Samos (ca 569-475 B.C.)

2

2 b a

Proof of Pythagorean Theorem

– Exterior square area = c2, the sum of the following regions:

• The area of the 4 triangles = 4(½ab) = 2ab

• The area of the small interior square = (b−a)2 = b2−2ab+a2

– Thus, c2 = 2ab + (b2−2ab+a2) = a2 + b2 ■

c

c

c

a a

b b

Note: It is easy to show that the exterior and

interior quadrilaterals in this construction are indeed squares, and that the side length of

the internal square is indeed b−a (where b is

defined as the length of the longer of the two perpendicular sides of the triangle) These steps would also need to be included in a more complete proof.

½ab

½ab

½ab

½ab

Areas in this diagram are in boldface; lengths are in a

normal font weight.

Finally: Have Fun!