Toán rời rạc bài 3 tập hợp

Giới thiệu lý thuyết tập hợp §1.6• Tập hợp là kiểu cấu trúc mới, thể hiện họ không sắp xếp nhóm của không hay nhiều hơn các đối tượng khác nhau.. • Lý thuyý thuyết tập hợp nghiên cứu cá

University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering

COT 3100

Applications of Discrete Structures

Dr Michael P Frank

Slides for a Course Based on the Text

Discrete Mathematics & Its Applications

(5 th Edition)

by Kenneth H Rosen

B ài #3:

Rosen 5th ed., §§1.6-1.7

~43 slides, ~2 lectures

Giới thiệu lý thuyết tập hợp (§1.6)

• Tập hợp là kiểu cấu trúc mới, thể hiện họ không

sắp xếp (nhóm) của không hay nhiều hơn các đối tượng khác nhau.

• Lý thuyý thuyết tập hợp nghiên cứu các phép toán trên

chúng, các quan hệ giữa chúng và các tính chất về tập hợp

Lý thuyết tập hợp ngây thơ

• Tiền đề cơ sở: Mọi họ hay lớp các đối tượng mà chúng ta

có thể mô tả đều tạo thành tập hợp.

• Nhưng lý thuyết thu được về mặt logic là không tương

thích!

– Điều đó có nghĩa là tồn tại mệnh đề p của lý thuyết tập hợp ngây

thơ sao cho bạn có thể chứng minh rằng cả p và p có thể suy diễn logic từ các tiên đề của lý thuyết đã cho!

  Hội của các tiên đề là mâu thuẫn!

– Lý thuyết như vậy về cơ bản không thú vị, vì mọi khẳng định có

thể dễ dàng chứng minh mâu thuẫn!

• Lý thuyết tập hợp có triết lý hơn sẽ loại bỏ vấn đề này.ý thuyết tập hợp có triết lý hơn sẽ loại bỏ vấn đề này.

Khái niệm cơ bản về tập hợp

• Để ký hiệu tập hợp ta dùng các biến S, T, U, …

• Ta có thể định nghĩa tập hợp S bằng cách viết liệt

kê mọi phần tử của nó trong ngoặc móc:

– {a, b, c} là tập có 3 đối tượng ký hiệu bởi a, b, c.

• Định nghĩa xây dựng tập: Với mọi mệnh đề P(x)

trên vũ trụ khẳng định nào đó, {x|P(x)} là tập các đối tượng x mà thoả P(x).

Các tính chất cơ bản của tập hợp

• Tập hợp về bản chất là không sắp thứ tự:

– Không quan trọng đối tượng a, b, và c ký hiệu

cái gì, {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

• Mọi phần tử là khác nhau (không bằng nhau);

liệt kê lặp không có ý nghĩa!

– Nếu a=b, thì {a, b, c} = {a, c} = {b, c} =

{a, a, b, a, b, c, c, c, c}

• Hai tập hợp được nói là bằng nhau nếu và

chỉ nếu chúng chứa chính xác cùng các phần tử như nhau

• Không quan trọng, tông quan trọng, tập hợp được định nghĩa

và ký hiệu như thế nào

và ký hiệu như thế nào .

• Chẳng hạn: Tập hợp {1, 2, 3, 4} =

{x | x là số nguyên trong đó x>0 và x<5 } = {x | x là số nguyên dương bình phương của

nó là >0 và <25}

Tập vô hạn

• Về khái niệm, tập có thể vô hạn

• Một số ký hiệu cho các tập vô hạn đặc biệt:

N = {0, 1, 2, …} The Natural numbers.

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} The Zntegers.

R = The “Real” numbers, such as 374.1828471929498181917281943125…

• “Các chữ đậm hoặc chữ hai nét (ℕ,ℤ,ℝ) cũng

được sử dụng cho các tập hợp trên.

• Các tập vô hạn cũng có các kích thước khác nhau!

Venn Diagrams

John Venn 1834-1923

– e.g. 3N, “a”{x | x là chữ trong bảng chữ cái}

– Có thể định nghĩa bằng nhau của tập hợp qua quan hệ

Tập rỗng - The Empty Set

  (“null”, “the empty set”) là tập duy nhất

mà không chứa phần tử nào cả

  = {} = {x|False}

• Không quan trọng miền biến thiên là gì,

ta có tiên đề x: x

Quan hệ tập con và tập cha

• ST (“S là tập con của T”) có nghĩa là mọi

T ập con và tập cha thực sự

• ST (“S là tập con thực sự của T”) nghĩa là

ST nhưng Tương tự đối với T / S ST.

• Note that 1  {1}  {{1}} !!!!

Ngược lại, ta nói S là vô hạn.

• Nêu một số tập hợp vô hạn mà ta đã biết?

Phép toán tập mũ (tập các tập con)

Power Set Operation

• Tập mũ P(S) của tập S là tập tất cả các tập

con của S P( P(S) :≡ {x | xS}.

• E.g P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}.

• Đôi khi P(S) được viết dạng 2S

Đối với tập hữu hạn S, |P(, |P(S)| = 2|S|

• Do đó Do đó S:|P(S)|>|S|, e.g. |P(|P(N)| > |N|.

Có kích thước khác nhau cho các tập vô hạn

Có kích thước khác nhau cho các tập vô hạn!!

M ô tả ngây thơ t ập hợp

không tương thích

• Có một số mô tả tập hợp một cách ngây thơ mà

dẫn đến cấu trúc không định nghĩa được.

– (Hay còn gọi là không tương thích với chính nó.)

• Về mặt toán học các tập hợp này không thể tồn tại.

Bộ n phần tử có thứ tự

• Cũng giống như tập hợp, nhưng khác là có

thể lặp và thứ tự tạo ra sự khác biệt

• Với mỗi nN, bộ n có thứ tự hay dãy hay

danh sách có độ dài n được viết là (a1,

a2, …, a n) Phần tử thứ nhất là a1, ….

• Lưu ý rằng (1, 2) ưu ý rằng (1, 2)  (2, 1)  (2, 1, 1). Contrast withsets’ {}

Tích Đề các của tập hợp

• Đối với các tập A, B, tích Đề các của chúng

AB : {(a, b) | aA  bB }

• E.g. {a,b}{1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}

• Đối với các tập hữu hạn A, B, |, |AB|=|A||B|

• Tích Đề các không giao hoán: i.e., , AB:

• Mở rộng A1  A2  …  A n

Bắt đầu từ §1.7: Phép hợp

• Đối với hai tập A, B, hợp của chúng (nion)

AB là tập chứa mọi phần tử mà thuộc hoặc

A, hoặc (“”) B (tất nhiên hoặc cả hai)

• Về hình thức, Về hình thức, A,B: AB = {x | xA  xB}.

• Vậy AB là tập cha của cả hai tập A và B

(mà là nhỏ nhất trong các tập cha như vậy):

A, B: (AB  A)  (AB  B)

in any U.S state last year.” (This is how the IRS sees it )

Phép Giao - Intersection Operator

• Đối với hai tập hợp A, B, giao của chúng

(intersection) AB là tập chứa mọi phần tử

mà đồng thời thuộc A và (“”) thuộc B

• Về hình thức, Về hình thức, A,B: AB={x | xA  xB}

• Vậy AB là tập con của cả A và B (trên

thực tế là tập con lớn nhất như vậy):

A, B: (AB  A)  (AB  B)

both streets.”



{4}

Tính rời - Disjointedness

• Hai tập A, B được gọi là

rời nhau (disjoint)khi và chỉ khi giao của chúng là rỗng (

chúng là rỗng (A AB=)

• Example: the set of even

integers is disjoint withthe set of odd integers

Help, I’ve been disjointed!

M = {s | s gửi địa chỉ email cho trợ giảng}

• Một số sinh viên làm cả hai!

| |E| = |IM| = |I|  |M|  |IM|

Hiệu tập hợp - Set Difference

• Đối với hai tập A, B, hiệu của A với B, viết

Set Difference Examples

Set Difference - Venn Diagram

• A−B is what’s left after B

“takes a bite out of A”

Set

AB

Chomp!

• E.g., If U=N,

A

, }

7 , 6 , 4 , 2 , 1 , 0 { }

5 , 3

A

Các đẳng thức trên tập hợp

• Identity: AIdentity: A = A = AU

• Domination: ADomination: AU = U , A = 

• Idempotent: AIdempotent: AA = A = AA

• Double complement:

• Commutative: ACommutative: AB = BA , AB = BA

• Associative: AAssociative: A(BC)=(AB)C ,

A A(BC)=(AB)C

A

A )(

DeMorgan’s Law for Sets

• Exactly analogous to (and provable from)

DeMorgan’s Law for propositions

B A

B A

B A

thể các đối tượng đang xét

tương đương logic

tương đương logic

3 Sử dụng bảng thành viên membership tableử dụng bảng thành viên membership table.

Method 1: tập con hai chiều

Example: Show A(BC)=(AB)(AC).

• Part 1: Show A(BC)(AB)(AC).

– Assume xA(BC), & show x(AB)(AC).

– We know that xA, and either xB or xC.

hai tập hợp bằng nhau

Method 3: Membership Tables

• Giống như bảng chân lý cho logic mệnh đề.

• Các cột cho các biểu thức tập khác nhau.

• Các hàng cho mọi tổ hợp thành viên (thuộc) của

Membership Table Example

Membership Table Exercise

Review of §1.6-1.7

• Sets S, T, U… Special sets N, Z, R.

• Set notations {a,b, }, {x|P(x)}…

Unions & Intersections

• Vì hợp và giao có tính giao hoán, kết hợp,

nên ta có thể mở rộng chúng từ cặp có thứ

tự (A,B)

• sang dãy các tập hợp hoặc

• ngay cả trên tập không sắp thứ tự các tập

hợp,

X={A | P(A)}

Hợp tổng quát - Generalized Union

A



Generalized Intersection

• Phép giao hai ngôi: AB

• Phép giao n-ngôi:

A1A2…A n((…((A1A2)…)A n)(nhóm & và thứ tự không quan trọng)

A



Biểu diễn - Representations

• Chủ đề chính của môn này là phương pháp

biểu diễn một cấu trúc rời rạc bằng cách sử dụng một cấu trúc rời rạc dạng khác

• Chẳng hạn có thể biểu diễn các số tự nhiên

như sau

– Sets: 0:, 1:{0}, 2:{0,1}, 3:{0,1,2}, …– Bit strings:

0: 0, 1:1, 2:10, 3:11, 4:100, …

Bi ểu diễn tập hợp bằng các xâu bit

Đối với tập đếm được U với thứ tự

x1, x2, …, có thể biểu diễn tập hữu hạn SU

bằng xâu bit hữu hạn B=b1b2…b n trong đó

i: xiS  (i<n  bi=1)

E.g U=N, S={2,3,5,7,11}, B=001101010001.

Trong biểu diễn trên các phép toán tập hợp

“”, “”, “” được cài đặt trực tiếp bằng các phép toán trên từng bit OR, AND, NOT!

Mô tả tập hợp

Mô tả bằng lời các tập hợp sau:

Mô tả không đúng

Các phép toán tập hợp

Tích đề các

Tập các tập con

Lực lượng Z bằng lực lượng N

phép to án tập hợp