Bài giảng toán rời rạc chương 4 nguyễn viết hưng, trần sơn hải

Quan hệ 2 ngôi• Cho một tập hợp X khác rỗng... Quan hệ• Người ta còn định nghĩa một quan hệ 2 ngôi giữa một tập hợp A và một tập hợp B là một tập hợp con của AxB... Xác định một quan hệ•

Quan hệ

Quan hệ 2 ngôi

• Cho một tập hợp X khác rỗng

• Một quan hệ 2 ngôi trên X là một tập hợp con

R của X2

• Cho 2 phần tử x và y của X, ta nói x có quan hệ

R với y khi và chỉ khi (x,y)  R, và viết là x R y

x R y  (x,y) x,y)  R

• Khi x không có quan hệ R với y, ta viết:

xRy

Ví dụ

• Trên tập hợp X = { 1,2,3,4} , xét quan hệ 2 ngôi R được định nghĩa bởi:

R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)}

• Trên tập hợp các số nguyên Z ta định nghĩa một

quan hệ 2 ngôi R như sau:

x R y nếu và chỉ nếu x-y là số chẳn.

(R = { (x,y)  Z2 : x-y = 2k với k  Z } )

• ∀x, y R, xRy |x| = |y|∈ R, xRy ⇔ |x| = |y| ⇔ |x| = |y|

• ∀x, y Q, xRy x ≤ y∈ R, xRy ⇔ |x| = |y| ⇔ |x| = |y|

• ∀x, y Z, xRy a – b chia hết cho n∈ R, xRy ⇔ |x| = |y| ⇔ |x| = |y|

x ≡ y (mod n)

Quan hệ

• Người ta còn định nghĩa một quan hệ (2 ngôi) giữa một tập hợp A và một tập hợp B là một tập hợp con của AxB.

• Tổng quát hơn, ta có thể định nghĩa một

quan hệ giữa các tập hợp A1, A2, , An là một tập hợp con của A1 x A2 x x An Như vậy, khi R là một quan hệ giữa các tập A1, A2, , An thì mỗi phần tử của R là một bộ n (a 1 ,

a2, , an) với ai  Ai (i=1, …, n).

Xác định một quan hệ

• Liệt kê: liệt kê tất cả các cặp hay bộ phần tử có quan hệ R (tức là thuộc R)

• Nêu tính chất đặc trưng cho quan hệ R,

tức là tính chất hay tiêu chuẩn để xác định các phần tử thuộc R hay không

Các tính chất của quan hệ 2 ngôi

• Giả sử R là một quan hệ 2 ngôi trên một tập hợp X

• Ta nói quan hệ R có tính phản xạ (reflexive) nếu và chỉ nếu

x R x với mọi x  X.

• Ta nói quan hệ R có tính đối xứng (symmetric) nếu và chỉ nếu

x R y  y R x với mọi x,y  X

• Ta nói quan hệ R có tính phản xứng (antisymmetric) nếu và chỉ nếu

(x R y và y R x)  x = y với mọi x,y  X.

• Ta nói quan hệ R có tính truyền hay bắc cầu (transitive) nếu

và chỉ nếu

(x R y và y R z)  x R z với mọi x,y,z  X

Ví dụ

• Quan hệ  trên tập hợp các số thực

• Trên tập hợp X = { 1,2,3,4} , xét quan hệ 2 ngôi R được định nghĩa bởi:

R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)}

• Trên tập hợp các số nguyên Z ta định nghĩa

một quan hệ 2 ngôi R như sau:

x R y nếu và chỉ nếu x-y là số chẳn

Biểu diễn quan hệ 2 ngôi dưới dạng ma trận

• Giả sử R là một quan hệ 2 ngôi giữa một tập hợp hữu hạn A = { a1, a2, , am} và một tập hữu hạn B = { b1, b2, , bm}

• Quan hệ R có thể được biểu diễn bởi ma trận MR = [mij] gồm m dòng và n cột (tức

là ma trận cấp mxn):

– m ij = 1 nếu (a i , b j )  R

– mij = 0 nếu (ai , bj) Ï R

Quan hệ tương đương

• Một quan hệ 2 ngôi R trên một tập hợp X

được gọi là một quan hệ tương đương nếu

và chỉ nếu nó thỏa 3 tính chất: phản xạ,

Lớp tương đương và tập hợp thương

• Với mỗi phần tử xX, ta định nghĩa lớp

tương đương chứa x, ký hiệu , là tập hợp

tất cả những phần tử (thuộc X) có quan hệ

R với x

• Tập hợp các lớp tương đương của quan

hệ tương đương R trên X này (là một tập

con của P(X)) được gọi là tập hợp thương

(của quan hệ tương đương R trên X)

x

x  y X yRx

Quan hệ thứ tự

• Một quan hệ 2 ngôi R trên một tập hợp X

(khác rỗng) được gọi là một quan hệ thứ tự

(hay vắn tắt, là một thứ tự) nếu và chỉ nếu nó

• Nếu (X,R) là một tập hợp có thứ tự và A  X thì quan hệ thứ R thu hẹp trên tập A, cũng

được ký hiệu là R (nếu không gây ra nhầm

lẫn), là một quan hệ thứ tự trên A

(X,R) thứ tự và A  X (A,R) thứ tự

Ví dụ

• Quan hệ nhỏ hơn hay bằng ≤

• Cho tập hợp E ≠ Trên tập hợp P(E) ta xét ∅ Trên tập hợp P(E) ta xét

quan hệ: A, B P(E), A R B A B ∀ ∈ R, xRy ⇔ |x| = |y| ⇔ |x| = |y| ⊂ B

• Trên tập N các số tự nhiên ta định nghĩa quan hệ ước số

xRy x|y ⇔ |x| = |y|

x|y có nghĩa x là một ước của y, hay y chia hết cho x

Ví dụ

• Un= {aN: a|n} với quan hệ R: xRy  x|y

• Un={ …… }

• R={……….}

{12,12}}

Trội, trội trực tiếp

Xét một tập hợp có thứ tự (X, ) và x, y là 2

phần tử bất kỳ của X Khi đó ta nói:

– y trội x hay x được trội bởi y nếu x ≤ y

– y là trội trực tiếp của x nếu y ≠ x, y trội x và không tồn tại một trội z của x sao cho x < z < y

Quan hệ thứ tự

• Cho (X,  ) là một tập hợp có thứ tự, và A  X

– a  A là một phần tử nhỏ nhất của tập hợp A

 x  A ta có : a  x – a  A là một phần tử lớn nhất của tập hợp A

 x  A ta có : x  a – a  A là một phần tử tối tiểu của tập hợp A

 không tồn tại x  A sao cho x  a và x  a – a  A là một phần tử tối đại của tập hợp A

 không tồn tại x  A sao cho x  a và a  x

Ví dụ

• xét tập hợp X = { 1,2,3} với quan hệ 2 ngôi

r được cho bởi r = { (1,1), (2,2), (3,3),

(1,2), (3,2)}

• Trong tập hợp có thứ tự (Z ,  ),

tập hợp A = { m Z| m2 < 100}

• Trong tập hợp có thứ tự (R,  ), tập hợp A = { x  R| x2 < 100}

của tập hợp đó

Quan hệ thứ tự - chận trên

• Cho (X,  ) là một tập hợp có thứ tự, và A  X

– Ta gọi một phần tử x  X là một chận trên của tập

hợp A nếu và chỉ nếu với mọi a  A ta có : a  x

– Chận trên nhỏ nhất (nếu có), tức là phần tử

nhỏ nhất trong tập hợp tất cả những chận trên,

của A được ký hiệu là sup (A)

Thứ tự tốt

• Một tập hợp có thứ tự được gọi là có thứ

tự tốt (hay được sắp tốt) nếu và chỉ nếu

mọi tập con khác rỗng đều có phần tử nhỏ nhất

– Tập hợp có thứ tự (N,  ) là một tập hợp

được sắp tốt.

– Tập hợp có thứ tự (Z,  ) không phải là một tập hợp được sắp tốt vì Z không có phần tử

nhỏ nhất.

– Một tập hợp các cung có hướng nối một số

đỉnh: hai đỉnh x, y được nối lại bởi một cung có hướng từ x tới y nếu y là trội trực tiếp của x

• Biểu đồ Hasse của U 12 = {x N : x|n} ∈ N : x|n}

• Với E = {a, b, c} thì biểu đồ Hasse của (P(E), ) có dạng:⊂ B

• Biểu đồ Hasse của {1, 2, 3, 4, 5} với thứ

tự thông thường có dạng của một dây chuyền:

• Cho (L,  ) là một tập hợp có thứ tự Ta

nói (L,  ) là một dàn nếu và chỉ nếu với

mọi a, b  L, tập hợp { a,b} có chận dưới lớn nhất và có chận trên nhỏ nhất; tức là tồn tại sup(a,b) và inf(a,b)

• Ký hiệu ab và a  b để chỉ sup(a,b) và

inf(a,b)

– a  b = sup(a,b)

– a  b = inf(a,b)

A  B = A B

A  B = A B

Ví dụ 3

• Các tập hợp có thứ tự được biểu diễn bởi các biểu

đồ Hasse trong hình dưới đây có phải là dàn hay không:

Dàn con

• Cho (L,  ) là một dàn và B là một tập hợp con của L

• B là một dàn con của L khi và chỉ khi với mọi

a,b  B ta có a  b  B và a  b  B

Ví dụ

• Xem dàn L có

biểu đồ Hasse

như sau:

Ví dụ

• Xem hai dàn L và M có biểu đố Hasse:

• Ánh xạ f : L  M được định nghĩa bởi : f(1) = b, f(2) = e, f(3) = c, f(4) = v là một đồng cấu dàn.

• Ánh xạ g : L  M được định nghĩa bởi :

– g(1) = a, g(2) = b, g(3) = d, g(4) = v

– không phải là một đồng cấu dàn vì g(2)  g(3)

= b  d = c, mà g(23) = g(4) = v  c.

Câu hỏi

• Tập các số tự nhiên N với quan hệ đồng dư có phải là quan hệ tương đương hay không tại

sao?

phải là tập sắp thứ tự hay không tại sao?

không tại sao?