Toán rời rạc - Bài mở đầu - Tổng quan

Đây là bài giảng toán rời rạc bằng tiếng anh dành cho giáo viên, sinh viên tham khảo để ôn tập tốt môn toán rời rạc.

University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering

COT 3100

Applications of Discrete Structures

Dr Michael P Frank

Slides for a Course Based on the Text

Discrete Mathematics & Its Applications

(5th Edition)

by Kenneth H Rosen

Slides are online at http://www.cise.ufl.edu/~mpf/cot3100lecs

Module #0:

Course Overview

A few general slides about the subject

matter of this course.

14 slides, ½ lecture

Toán học trên thực tế là gì?

• Đây không phải chỉ về các sốĐây không phải chỉ về các số!

• Toán học thực tế nhiều hơn thế:

• Nhưng, những khái niệm này có thể là về các con

số, ký hiệu, đối tượng, hình ảnh, âm thanh hay bất

cứ cái gì khác!

Toán học, nói tổng quát, là nghiên cứu về mọi

chân lý đúng tuyệt đối về mọi khái niệm được

định nghĩa một cách đúng đắn

Physics from Mathematics

• Starting from simple structures of logic & set Starting from simple structures of logic & set

theory,

– Mathematics builds up structures that include

all the complexity of our physical universe…

• Except for a few “loose ends.”

• One theory of philosophy:One theory of philosophy:

– Perhaps our universe is nothing other than just a

complex mathematical structure!

• It’s just one that happens to include us!

From Max Tegmark, ‘98

Vậy môn học này dạy về cái gì?

Cấu trúc “rời rạc” là cái gì?

• ““Discrete” - rời rạc gồm các phần riêng biệt (Đối

nghịch với liên tục)

rời rạc:liên tục :: kỹ thuật số:tương tự

• ““Cấu trúc” – Các đối tượng được xây dựng từ các

đối tượng đơn giản hơn nhờ các mẫu xác định

• ““Toán rời rạc” – nghiên cứu về các cấu trúc và đối

tượng toán học rời rạc

Chúng ta sẽ học

• Mệnh đề - Propositions

• Vị từ - Predicates ừ - Predicates

• Chứng minh - ứng minh - Proofs Proofs

• Tập hợp - ập hợp - Sets Sets

• Hàm số - àm số - Functions Functions

• Tốc độ tăng - ốc độ tăng - Orders of Orders of

Growth

• Thuật toán - ật toán - Algorithms Algorithms

• Số nguyên - ố nguyên - Integers Integers

• Lấy tổng - ấy tổng - Summations Summations

• Dãy - ãy - Sequences Sequences

• Xâu - âu - Strings Strings

• Hoán vị - án vị - Permutations Permutations

• Tổ hợp - ổ hợp - Combinations Combinations

• Quan hệ - ệ - Relations Relations

• Đồ thị - GraphsĐồ thị - Graphs

• Cây - ây - Trees Trees

• Mạch logic - ạch logic - Logic Logic

Circuits

• Ôtômat - AutomataÔtômat - Automata

M ối quan hệ giữa các cấu trúc

• ““→” :≝ “Can be defined in terms of”

Sets

Sequences

n-tuples

Matrices Natural

numbers

Integers

Relations Functions

Graphs Real numbers

Complex

numbers

Strings Propositions

Proofs Trees

Operators

Programs

Infinite

Groups

Bits

Not all possibilities are shown here.

Một số ký hiệu mà ta sẽ học

 

) ( deg ]

[ )

| ( )

, ,

;

(

] [ )

(

) (mod mod

lcm gcd, /|

max min,

,

,

) ( :

|

|

)}

(

| { ,

, }

, , { )

(

) (

1

] [ T

0

1 1

1 1

v a

R F

E p n

n

n

C

r

n a

a

a

m b

a b

a O

a a

x g

f x

f B

A

f

A A

B A

S T

S

S x x

P x a

a x

P

x

x P x q

p q

p q

p q

p p

R m

n ij

b k

n

i

i S

n

i i n

+

∗

=

∈

−

=

⋅

≡ Θ

Ω

→

∪

⊆

∅

∉

∴

∃

∀

⇔

→

⊕

∧

¬

∏

∑











A B

A A

R N Z

Ο

α α

Tại sao phải học Toán rời rạc?

• Cơ sở của mọi quá trình xử lý thông tin kỹ thuật Cơ sở của mọi quá trình xử lý thông tin kỹ thuật

số là: Thao tác rời rạc của các cấu trúc rời rạc

trong bộ nhớ.

• Là ngôn ngữ cơ bản và khái niệm cơ sở cho mọi

thức khác của Khoa học máy tính

• Các khái niệm toán rời rạc được dùng rộng rãi

trong Toán học, Khoa học, Công nghệ, Kinh tế,

Sinh học, …

• Là công cụ có ích nói chung cho mọi suy nghĩ hợp

lý!

Ứng dụng của Toán rời rạc trong

Khoa học máy tính

• Cấu trúc dữ liệu và

giải thuật

• Chương trình dịch.ương trình dịch

• Mạng máy tính

Computer networks

• Hệ điều hành

Operating systems

• Kiến trúc máy tính

Computer architecture

• Hệ quản trị cơ sở dữ

liệu

• Mã hoá-Cryptographyã hoá-Cryptography

• Lập trình chỉnh lỗi

Error correction codes

• Cơ chế trò chơi, thuật

toán mô phỏng và đồ họa

họa……

• Mọi lĩnh vực!

Course Outline (as per Rosen)

1.

1. Logic (§1.1-4)

2.

2. Proof methods (§1.5)

3.

3 Set theory (§1.6-7)

4.

4 Functions (§1.8)

5.

5 Algorithms (§2.1)

6.

6 Orders of Growth (§2.2)

7.

7 Complexity (§2.3)

8.

8 Number theory (§2.4-5)

9.

9 Number theory apps (§2.6)

10.

10. Matrices (§2.7)

11 Proof strategy (§3.1)

12.

12. Sequences (§3.2)

13 Summations (§3.2)

14 Countability (§3.2)

15 Inductive Proofs (§3.3)

16 Recursion (§3.4-5)

17 Program verification (§3.6)

18 Combinatorics (ch 4)

19 Probability (ch 5)

20 Recurrences (§6.1-3)

21 Relations (ch 7)

22 Graph Theory (chs 8+9)

23 Boolean Algebra (ch 10)

24 Computing Theory (ch.11) Instructors: customize topic content & order for your own course

Một số chủ đề bỏ qua

Do có thể học ở các môn khác:

8 Lý thuyết số (ch 8)

- học trong môn an toàn thông tin.

9 Ứng dụng lý thuyết số (ch 9)

10 Ma trận: Đại số tuyến tính

13 Tính tổng: Giải tích

19 Xác suất: Môn Xác suất & thống kê

24 Đại số trừu tượng: An toàn thông tin

- Groups, rings, fields, vector spaces, algebras, etc.

Mục đích môn học

• Học xong môn này sinh viên có thể:Học xong môn này sinh viên có thể:

– Lập luận các suy luận logic đơn giản (chứng minh).

– Kiểm tra tính đúng đắn của các thuật toán đơn giản.

– Tự xây dựng các suy luận và các thuật toán đúng đắn.

– Mô tả các định nghĩa và các tính chất của nhiều kiểu

cấu trúc dữ liệu rời rạc.

– Hiểu, biểu diễn và phân tích đúng đắn nhiều kiểu cấu

trúc dữ liệu rời rạc sử dụng các khái niệm chuẩn

Kế hoạch học tập

• Tuần 1: LogicTuần 1: Logic

• Tuần 2: Logic (tiếp)Tuần 2: Logic (tiếp)

• Tuần 3: Chứng minhTuần 3: Chứng minh

• Tuần 4: Tập hợpTuần 4: Tập hợp

• Tuần 5: Hàm sốTuần 5: Hàm số

• Tuần 6: Quan hệ Tuần 6: Quan hệ

• Tuần 7: Thuật toánTuần 7: Thuật toán

• Tuần 8: Cấp độ tăng và độ phức tạp thuật toánTuần 8: Cấp độ tăng và độ phức tạp thuật toán

Kế hoạch học (tiếp)

• Tuần 9: Qui nạp & Đệ quiTuần 9: Qui nạp & Đệ qui

• Tuần 10: Kiểm chứng & Truy hồiTuần 10: Kiểm chứng & Truy hồi

• Tuần 11: Tổ hợpTuần 11: Tổ hợp

• Tuần 12: Đồ thịTuần 12: Đồ thị

• Tuần 13: Đồ thị (tiếp)Tuần 13: Đồ thị (tiếp)

• Tuần 14: Đại số BoolTuần 14: Đại số Bool

• Tuần 15: Mô hình & Tổng ônTuần 15: Mô hình & Tổng ôn

Kế hoạch bài tập, thực hành, kiểm tra

• Mỗi tuần có 1 tiết chữa bài tập Mỗi tuần có 1 tiết chữa bài tập

• Trong tuần 4 nộp bài cài đặt 1, 2Trong tuần 4 nộp bài cài đặt 1, 2

• Trong tuần 7: nộp vở bài tập đợt 1Trong tuần 7: nộp vở bài tập đợt 1

• Trong tuần 8: bài kiểm tra giữa kỳ 20%Trong tuần 8: bài kiểm tra giữa kỳ 20%

• Trong tuần 9: nộp bài cài đặt 3, 4 Trong tuần 9: nộp bài cài đặt 3, 4

• Trong tuần 13: nộp vở bài tập đợt 2 Trong tuần 13: nộp vở bài tập đợt 2

• Trong tuần 14: nghiệm thu bài cài đặt 1-6 20%Trong tuần 14: nghiệm thu bài cài đặt 1-6 20%

• Thi viết: phần đầu trắc nghiệm, phần sau tự luận Thi viết: phần đầu trắc nghiệm, phần sau tự luận

60% = 20% + 40%

A Proof Example

• Theorem: Theorem: (Pythagorean Theorem

of Euclidean geometry) For any

real numbers a, b, and c, if a and b are the

base-length and height of a right triangle, and c is the

length of its

hypo-tenuse, then a2 + b2 = c2

• Proof: Proof: See next slide

a b

Pythagoras of Samos (ca 569-475 B.C.)

2

a

Proof of Pythagorean Theorem

• Proof Proof. Consider the below diagram:

– Exterior square area = c2 , the sum of the following regions:

• The area of the 4 triangles = 4(½ab) = 2ab

• The area of the small interior square = (b−a)2 = b2−2ab+a2 – Thus, c2 = 2ab + (b2−2ab+a2 ) = a2 + b2 ■

c

c

c

a a

b b

Note: It is easy to show that the exterior and

interior quadrilaterals in this construction are indeed squares, and that the side length of

the internal square is indeed b−a (where b is

defined as the length of the longer of the two perpendicular sides of the triangle) These steps would also need to be included in a more complete proof.

½ab

½ab

½ab

½ab

Areas in this diagram are in boldface; lengths are in a

normal font weight.

Finally: Have Fun!