TỔNG hợp CÔNG THỨC xác SUẤT THỐNG kê

Xác suất Chương 1: Biến cố và xác suất

Công thức cộng: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Công thức nhân: P(AB) = P(A).P(B/A)

Công thức xác suất đầy đủ: 1

( ) ( ) ( / )

n

i

P A P H P A H

=

=∑

Công thức Bayes:

( )

i

P H P A H

P H A

P A

=

Chương 2: Biến ngẫu nhiên

F(x) = P(X<x); P (a < x < b) = F(b) – F(a); P (x<a)=F(a), P (a<x)=P(a<x<+∞

)=

1 – F(a)

F(x) là hàm liên tục trên R

( ) ( ) 1

b

a

f x f x

+∞

−∞

( với x không thuộc đoạn a,b thì f(x) = 0 )

Kì vọng: Cho bảng:

1

( ) n i i

i

E X x p

=

=∑

Cho hàm:

E X xf x

+∞

−∞

= ∫

Phương sai:

V X =E X − E X

Độ lệch chuẩn:

( )

V X

σ =

Chương 3: Quy luật phân phối xác suất

1.Quy luật không – một – A(P): E = p; V = pq;

pq

σ =

2.Quy luật nhị thức – B(n,p): E = np; V = npq = np(1-p)

3.Quy luật Poisson –

( )

P λ

: E = V = λ

4 Quy luật siêu bội M(N,n): E = np; V=

(1 )

npq np p

5 Quy luật phân phối đều U(a,b) : E=

2

a b+

,V=

2

12

a b−

6 Quy luật phân phối lũy thừa

( )

E λ

: : E=

1

λ

, V=

2

1

λ

7 Quy luật phân phối chuẩn

2

N µ σ

: E=µ

, V=

2

σ

P a x b φ µ φ µ

< < = −

0 ( )a 0 ( a)

φ = − − φ

( phụ lục 5 )

8 Quy luật khi bình phương

2 ( )n

χ

: E=n, V=2n

9 Quy luật Student T(n): E=0, V= 2

n

n−

Chương 4: Biến ngẫu nhiên 2 chiều

( chắc không có đâu )

1

j

P x P x y

=

=∑

1

( )j n ( , )i j

i

P y P x y

=

=∑

F x y =P X <x Y <y

f(x,y)=F”(x,y)

Thống kê

Trung bình mẫu:

1 1 2 2

1

X n X n X n X n

Phương sai mẫu

2

S

:

2

1 1 2 2

1

S n X n X n X nX n

−

Phương sai tổng thể

*2

S

:

1

1

k i i

n =

( m là trung bình tổng thể )

I Ước lượng tham số:

1.Ước lượng kỳ vọng:

1.1: Đã biết

2

σ

:

− < < +

(phụ lục 5)

Ước lượng với chặn trên (tối đa):

n α

σ

µ < +

Ước lượng với chặn dưới (tối thiểu):

n α

σ µ

− <

Độ chính xác:

/2

u

n α

σ

ε =

Khoảng tin cậy:

/2

2 2

n α

σ ε

= =

1.2: Chưa biết

2

σ

:

− < < +

Với n<30

:

n α− µ n α− α

− < < + = −

(phụ lục 8)

1.3: Hiệu 2 kỳ vọng:

− − + < − < − + +

2 Ước lượng phương sai

2

σ

2.1: Đã biết µ

:

2

σ

χ < < χ−

(phụ lục 7)

2.2: Chưa biết µ

:

2

σ

χ − χ −

−

− < < −

2.3: Ước lượng tỉ số 2 phương sai:

σ σ

(phụ lục 9)

3 Ước lượng tần suất p:

− < < +

II Kiểm định giả thuyết

1.Kiểm định kỳ vọng:

a) Biết phương sai

2

σ

:

0

/

X z

n

µ σ

−

=

Wα = z >uα

Đối thuyết bên trái:

Wα = < −z uα

Đối thuyết bên phải:

Wα = z u> α

b) Chưa biết phương sai

2

σ

:

Nếu

30

n>

: Giống trên,

0 (X ) n z

s

µ

−

=

:

0 (X ) n z

s

µ

−

=

Đối thuyết hai phía:

1 /2

Wα = t >tα−

Đối thuyết bên trái:

1 { n }

Wα = < −t tα−

Đối thuyết bên phải:

1 { n }

Wα = >t tα−

c) So sánh 2 kì vọng:

X Y Z

µ µ

σ σ

− − −

=

+

Wα = Z >tα

Wα = Z < −tα

Đối thuyết bên phải:

0

Wα = Z >tα

2 Kiểm định tỉ lệ:

0

0 (1 0 )

f p

g

n

−

=

−

Wα = g >tα

Đối thuyết bên trái:

Wα = g< −tα

Đối thuyết bên phải:

Wα = g t> α

3 Kiểm định phương sai:

2 2 0

(n 1)s g

σ

−

=

Đối thuyết 2 phía:

2( 1) 2( 1)

Wα g χ α− g χα −

−

= < >

Đối thuyết bên trái

0

σ < σ

:

2( 1) 1

Wα g χ α−

−

= <

Đối thuyết bên phải

0

σ > σ

:

1 { n }

Wα = g> χα−

4 So sánh 2 phương sai:

2 1 2 2

s g s

=

s >s

)

Đối thuyết hai phía

σ ≠ σ

:

( 1, 1) ( 1, 1)

{ m n ; m n }

Wα = g< f−α− − g> fα − −

(phụ lục 9)

Đối thuyết bên phải

σ > σ Wα = {g > fα(m− 1,n− 1) }