Tổng hợp các công thức xác suất thống kê

Tổng hợp các công thức xác suất thống kê giúp cho việc giải bài tập dễ dang hơn

PHẦN XÁC SUẤT

 GIẢI TÍCH TỔ HỢP:

 Chỉnh hợp :

 k  n (các p tử không lặp lại)

 là một nhóm có thứ tự gồm k p.tử

được chọn từ n p.tử đã cho

 Chỉnh hợp (lặp):

 k có thể lớn hơn n

 là một nhóm có thứ tự gồm k p.tử

lấy từ n p.tử đã cho, trong đó mỗi p.tử có thể có mặt 1,2 k lần trong nhóm tạo thành

 Hoán vị:

 Hoán vị của n p.tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n p.tử đã cho

 Tổ hợp:

 k  n

 là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k p.tử khác nhau được chọn từ n p.tử đã cho

!

k n

n A

n k





n

!

n

!

k n

n C

k n k





 BIẾN CỐ – PHÉP THỬ:

 Các loại biến cố:

1 Biến cố chắc chắn (U)

2 Biến cố không có thể (V)

3 Biến cố ngẫu nhiên (A, B, C hay A 1 , B 1 , C 1 )

 Mối quan hệ giữa các biến cố: (Giả sử ta có A, B, C là các biến cố )

 Định nghĩa 1: Hai biến cố tương đương

A = B - nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại.

 Định nghĩa 2: Biến cố tổng

C = A + B Nếu C xảy ra <=> A hoặc B xảy ra.

 Định nghĩa 3: Biến cố tổng của n biến cố

A = A1+A2+ +An .Nếu ít nhất 1 trong n biến cố xảy ra

 Định nghĩa 4: Biến cố tích

C = A B Nếu C xảy ra <=> A và B cùng xảy ra.

 Định nghĩa 5: Biến cố tích của n biến cố

A = A1.A2 An .Nếu n biến cố ấy đồng thời xảy ra

 Định nghĩa 6: Biến cố xung khắc

A và B được gọi là hai biến cố xung khắc

<=> chúng không đồng thời xảy ra trong 1 phép thử

 Định nghĩa 7: Biến cố xung khắc của n biến cố

Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi là nhóm biến cố xung khắc từng đôi nếu có hai biến cố bất kỳ trong n biến cố này xung khắc nhau

 Định nghĩa 8: các biến cố A1,A2, ,An là nhóm biến cố đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn (P(U) = 1)

 Định nghĩa 9: Hai biến cố đối lặp

A và B gọi là hai biến cố đối lặp

nếu chúng tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ (P(U) = 1)

 Định nghĩa cổ điển về xác suất:

 m: Số trường hợp thuận lợi để A xảy ra

 n: Số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra

 Các tính chất của xác suất:

 Tính chất 1: A là biến cố bất kỳ

 Tính chất 2: xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1

 Tính chất 3: xác suất của biến cố không có thể bằng 0

 Tính chất 3: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, ta có

Chú ý: A và B là hai biến cố xung khắc nếu chúng không đồng thời

xảy ra trong một phép thử

( )A

m P

n



( )

0  PA  1

( )U 1

( )V 0

(A B) ( )A ( )B

 CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT:

 Công thức cộng xàc suất :

 Công thức 1: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc ;

 Công thức 2: Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ ;

 Hệ quả : Nếu A và B là hai biến cố đối lập nhau ;

Chú ý: A và B được gọi là đối lập nhau nếu chúng là xung khắc; biến cố tổng của chúng là biến cố chắc chắn (C = A + B)

 Công thức nhân xác suất :

 Xác suất có điều kiện : Xác suất của biến cố A được tính theo đk của biến cố B đã xảy ra được gọi là xác xuất có đk

 Công thức nhân xác xuất:

 Hệ quả: Nếu A và B là độc lập với nhau, ta có:

(A B) ( )A ( )B

(A B) ( )A ( )B ( )A B

( )A ( )B 1

( )A B ( )A . ( / )B A ( / )A B

( ) ( ). ( )







 Công thức Bernoulli: Áp dụng cho các phép thử độc lập

 Thực hiện n phép thử độc lập.

 Trong mỗi phép thử chỉ xảy ra 1 trong 2 trường hợp.

Gọi A là phép thử chỉ xảy ra một trong hai trường hợp Hoặc A

xảy ra hoặc A xảy ra

 Trong mỗi phép thử :

 xác suất để xảy ra biến có A là p;

 xác suất để xảy ra biến có A là q = 1 - p;

 Ta có, xác xuất để trong n phép thử có ít nhất biến cố A xảy ra được tính theo công thức sau:

với x = 0, 1, 2 , , n

 Công thức xác suất đầy đủ:

Giả sử B xảy ra n biến cố :

A1, A2, An là nhóm biến cố đầy đủ

Hay

    1 . / 1   2 . / 2    / 

i i

n

 ĐẠI LƯỢNG NGẨU NHIÊN:

 Bảng phân phối xác suất : (áp dụng cho ĐLNN rời rạc)

(ĐLNN rời rạc là ĐL mà các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc đếm được.)

X x1 x2 x3 xn (Các giá trị có thể có )

Pi p1 p2 p3 pn (Các xác suất tương ứng )

 Điều kiện:

o p1 + p2 +p3 + +pn = 1

 Hàm phân phối xác suất : (áp dụng cho ĐLNN rời rạc và liên tục )

(ĐLNN liên tục là ĐL mà các giá trị có thể có của nó lắp kính một khoản nào đó

trên trục số )

 Ký hiệu của hàm phân phối xác suất :

 Các tính chất của hàm phân phối xác suất :

a 0  F x  1.

b F (x) là hàm không giảm ( Đạo hàm không âm ;  F'x  0).

c P(a X b  )  F( )b  F( )a .

d Các biểu thức giới hạn:

lim ( ) 1

x

x

F



 ; Khi x  thì F

(x) = 1

lim ( ) 0

x

x

F



 ; Khi x  thì F

(x) = 0

F(x) = P(X < x)

 Hàm mật độ xác suất : (áp dụng cho ĐLNN liên tục )

 Ký hiệu của hàm mật độ xác suất :

 Các tính chất của hàm mật độ xác suất :

a f  x  0 với mọi x

b P a x b   => b  x

a

f dx



c    

x



 

d f dx x 1









 Chú ý: Một hàm f(x) muốn trở thành hàm mật độ xác suất của 1 ĐLNN LT X thì nó phải thỏa hai tính chất 1 và 4

 x  'x

 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẨU NHIÊN:

 Kỳ vọng toán :

 Các ĐLNN rời rạc X

X x1 x2 x3 xn

Pi p1 p2 p3 pn

 Ký hiệu & công thức tính kỳ vọng toán:

Hay

 Ý nghĩa của kỳ vọng toàn: đặc trưng cho giá trị trung bình của ĐLNN

 Phương sai của ĐLNN :

 Các ĐLNN rời rạc X

X x1 x2 x3 xn

Pi p1 p2 p3 pn

 Ký hiệu & công thức tính phương sai:

Hay

 Ý nghĩa của kỳ vọng toàn: đặc trưng cho mức độ phân tán giữa các giá trị có thể có của nó so với kỳ vọng toán

M(x) = x1p1+ x2p2+ x3p3+ + xnpn

 

1

n

i i x

i





2

1 1 2 2 ( n n)

D  x p x p    x p     M 

2 2

1

n

i i

i



 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP:

 Quy luật nhị thức :

ĐL NN rời rạc X nhận các giá trị có thể có: 0,1,2,3 n; với các xác suất tương ứng tính theo công thức sau:

 Công thức 1:

Bảng phân phối xác suất:

X 0 1 n

Pi 0 0 n n

C p q 1 1 n1

n

C p q  C p q n n n 0

 Công thức 2 :

Trong đó P(x), P (x +1) được tính theo công thức 1

 Công thức 3 : (Gần đúng cho công thức 1)

Với :

X x  x n x x n x

P   P C p q 

 

 

X X





x X x h x x 1 x 2 x h

  1  

.

n p q



 

2

2

.

2

u u

x n p u

n p q

e f











Hoặc tính được u, tra bảng phụ lục trang 192 ta tính được f(U) Nếu u<0, f(u) là hàm chẳn:

=> f(u) = f(-u)

 Công thức 4: Công thức gần đúng cho công thức 2

Với :

x X x h u2 u1

2

1

2

2 0

.

1

2

u

x n p u

n p q

x h n p u

n p q

e du













Hoặc tính được u1, u2; tra bảng phụ lục trang 192 ta tính được:

2, 1

 

Nếu u<0, f(u) là hàm lẽ:

=> f(u) = -f(u)

Nếu u > 5 => f(u) = 0.5

PHẦN THỐNG KÊ

 MẪU NGẪU NHIÊN

 Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên :

 Ký hiệu mẫu cụ thể :

 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẨU NHIÊN

 Trung bình mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính trung bình mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính trung bình mẫu cụ thể :

 Phương sai mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính phương sai mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính phương sai mẫu cụ thể :

w x = (x1, x2 xn)

1

n

i i

1 2

1

n

i i

1

n

i i

1

n n

i i

 Phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:

Hoặc:

 Ký hiệu và công thức tính phương sai mẫu cụ thể :

Hoặc:

 Độ lệch tiêu chuẩn mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu cụ thể :

 Độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:

 Ký hiệu và công thức tính độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu cụ thể :

1

n n

i i

1

1

n n

i i

1

n

n

 



1

n

n

 



2

S S

2

s s

2

S  S

2

s  s

 ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH:

 Trường hợp 1:

30; X

n  D   (đã biết )

hoặc

30

X

D   ( đã biết ), X là phân phối xác suất chuẩn.

Với:

  là độ chính xác tiêu chuẩn

2

1 =>

2



(Tính được  , tra bảng phụ lục ta tính được U

 1   : là độ tin cậy ước lượng

 Trường hợp 2:

30; X

n  D   (chưa biết )

Với:

  là độ chính xác tiêu chuẩn

 1

2

1 =>

2





(s: tính từ mẫu cụ thể; tính được  , tra bảng phụ lục ta tính được U

 1   : là độ tin cậy ước lượng

< m <

< m <

 Trường hợp 3:

30; X

n  D   ( chưa biết ), X là phân phối xác suất chuẩn

Với:

  là độ chính xác tiêu chuẩn

2

1 =>

2





(Tính được  , tra bảng phụ lục ta tính được tn1

 1   : là độ tin cậy ước lượng

****************************************

 Cả ba trường hợp có cùng công thức :

Chỉ khác nhau ở cách tính 

n





 

U

n



  

t

n



  



< m <

< m <

 ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ:

GS P là một tỷ lệ chưa biết , ta cần ước lượng P, muốn vậy ta tìm khoản số P1 và P2:

 Công thức tính:

Với:

 f: tỷ lệ mẫu cụ thể

  là độ chính xác tiêu chuẩn

2

; 1 =>

2





(Tính được  , tra bảng phụ lục ta tính được U

 1   : là độ tin cậy ước lượng

 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TRUNG BÌNH:

GS ĐLNN X có kỳ vọng M(X ) = m chưa biết , dựa trên cơ sở nào đó ta nêu ra được giả thuyết:

Tương ứng có 3 loại giả thuyết đối:

< m < f

0 :

0 0 0

: : :

H m m

H m m

H m m







Các bước giải bài toán:

 Bước 1: Ta chọn thống kê ( tuỳ từng trường hợp) làm tiêu chuẩn kiểm định

 Bước 2: Tìm miền bác bỏ W :

o Với giả thuyết đối: H m m :  0

o Với giả thuyết đối: H m m :  0

o Với giả thuyết đối: H m m :  0

 Bước 3: tính uqs(Theo 3 trường hợp)

 Bước 4: so sánh uqsvới miền bác bỏ W

- Nếu uqs  W => Bác bỏ H và thừa nhận H

- Nếu uqs  W => Thừa nhận H

Các trường hợp để chọn thống kê U và tính uqs:

 Trường hợp 1: (Thực hiện qua các bước trên)

30; X

n  D   (đã biết )

hoặc

30

X

D   ( đã biết ), X là phân phối xác suất chuẩn.

 Trường hợp 2: (Thực hiện qua các bước trên)

30; X

n  D   (chưa biết )

0

( X m ) n U





qs

u







0

( X m ) n U

S







0

qs

u

s







 Trường hợp 3:

30; X

n  D   ( chưa biết ), X là phân phối xác suất chuẩn

Ở trường hợp này khi xét miền bác bỏ, ta chuyển:

0

( X m ) n T

S







0

qs

t

s







1

1

T T

n

n

U U









 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỶ LỆ:

Tương tự như kiểm định giả thuyết về trung bình, ta có:

Tương ứng có 3 loại giả thuyết đối:

Chọn thống kê, tính uqs: (chỉ có 1 trường hợp)

f: là tỷ lệ mẫu cụ thể

So sánh uqsvới miền bác bỏ W

- Nếu u qs  W => Bác bỏ H và thừa nhận H

- Nếu u qs  W => Thừa nhận H

0 :

0 0 0

:

:

:







0

( )

(1

U







0

( )

(1 )

qs

u







W U  U 

          

W   U   

 , 1 

W      U  