Giải thức xạ ảnh và giải thức nội xạ của nhóm aben

S.Eilenberg và Steenrod là những người đầu tiên đã xây dựng hệ tiên đề cho một lý thuyết đồng điềutrên phạm trù các cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết này trong mốiquan hệ chặt ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN BÁ GIÁP

GI¶I THøC X¹ ¶NH

Vµ GI¶I THøC NéI X¹ CñA NHãM ABEN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN BÁ GIÁP

GI¶I THøC X¹ ¶NH

Vµ GI¶I THøC NéI X¹ CñA NHãM ABEN

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

VINH - 2010

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

1.1 Dãy khớp 3

1.2 Hàm tử khớp 10

1.3 Nhóm vi phân 14

1.4 Phức hợp dây chuyền 17

1.5 Đồng cấu nối, dãy khớp đồng điều 21

1.6 Đồng luân dây chuyền 25

1.7 Phức hợp đối dây chuyền 27

CHƯƠNG 2 GIẢI THỨC XẠ ẢNH VÀ GIẢI THỨC NỘI XẠ CỦA NHÓM ABEN 30

2.1 Nhóm Aben xạ ảnh 30

2.2 Nhóm Aben nội xạ 35

2.2 Giải thức xạ ảnh của nhóm Aben 42

2.3 Giải thức nội xạ của nhóm Aben 49

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đồng điều được bắt đầu phát triển vào những năm đầu của thế

kỷ H.Poincaré đã đưa ra các khái niệm về dây chuyền, các chu trình đồngđiều của một số không gian con của không gian ¡ Các khái niệm đó đặtnền móng cho sự phát triển của lý thuyết đồng điều Sau đó các khái niệmnày được mở rộng cho các không gian tôpô bất kỳ Về nghiên cứu các nhómđồng điều, có thể tìm thấy trong các công trình của các nhà toán họcS.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, E.Cech,A.Kolmogorov… Các công trình của P.S.Alexandrov, Cech, Alexandrov đãgiải quyết được vấn đề trọng tâm của lý thuyết đồng điều, cụ thể là tính bấtbiến của các nhóm đồng điều kỳ dị của các đa diện S.Eilenberg và Steenrod

là những người đầu tiên đã xây dựng hệ tiên đề cho một lý thuyết đồng điềutrên phạm trù các cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết này trong mốiquan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều và lý thuyết phạm trù

Hiện nay tôpô đại số nói chung và lý thuyết đồng điều nói riêng đã trởthành những công cụ hiệu quả trong việc nghiên cứu và phát triển của nhiềungành toán học hiện đại như Hình học vi phân, Hình học đại số, Tôpô viphân, Giải tích phức, Giải tích hàm, Lý thuyết phạm trù, Đại số đồng điều và

cả những ngành của Vật lý lý thuyết

Cấu trúc luận văn được chia làm hai chương:

Trong chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm chung về dãy khớp,nhóm vi phân, phức hợp dây chuyền, phức hợp đối dây chuyền, dãy khớpđồng điều, đồng luân dây chuyền

Trong chương 2, chúng tôi tìm hiểu nội dung giải thức xạ ảnh của mộtnhóm Aben, trên cơ sở đó bằng phép toán đối ngẫu để tìm hiểu về giải thứcnội xạ của một nhóm Aben

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo củaPGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kínhtrọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn.

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS

Lê Quốc Hán và các Thầy Cô trong bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa đàotạo sau đại học đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu và thực hiện luận văn

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới những học viên Cao học khoá 16 chuyênngành Đại số và Lý thuyết số, Ban Giám hiệu và tập thể trường THPT PhanThúc Trực đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập vàhoàn thành luận văn

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Kính mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của quý thầy cô cùng các bạn họcviên Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Vinh, tháng 12 – 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 DÃY KHỚP 1.1.1 Định nghĩa Một dãy

A’ α’ A α” A” (1)

gồm các nhóm Aben A’, A, A” và các đồng cấu α’, α” gọi là khớp nếu ảnh

đồng cấu α’ trùng với hạt nhân của đồng cấu α”, tức là nếu Imα’ = Kerα” Khi chỉ xảy ra Imα’ ⊂ Kerα ” thì dãy (1) được gọi là nửa khớp.

Nếu dãy (1) khớp (nửa khớp) thì người ta nói rằng nó khớp (nửa khớp) tại

số hạng A của dãy.

1.1.2 Định nghĩa Một dãy:

… Ak i−1 αk i−1 Ak i αk i Ak i+1

…gồm các nhóm Aben Ak i, và các đồng cấu α k i (i∈ ¢)gọi là khớp (nửa

Ta kí hiệu O là nhóm tầm thường (tức là nhóm chỉ có phần tử trung hoàO) và O→A là đồng cấu tầm thường

b) Dãy Kerα i A α B (trong đó i là đồng cấu nhúng) là một dãy khớp.c) Dãy A α B O là một dãy nửa khớp với mọi đồng cấu α Dãy đó

khớp khi và chỉ khi α là một toàn cấu.

d) Dãy A ' i A p A A' , ở đây A' là nhóm con của nhóm Aben A,

i là đồng cấu nhúng, còn p là phép chiếu chính tắc, là một dãy khớp

e) Dãy O A' i A p AA' O, với i, p là các đồng cấutrong ví dụ trên là một dãy khớp ngắn

Việc định nghĩa các khái niệm dãy khớp, dãy nửa khớp trong phạm trù

các nhóm, phạm trù các môđun cũng hoàn toàn tương tự như trong nhómAben được xét ở trên

Trong phạm trù I(AG ), I(AG ), ta định nghĩa dãy khớp (nửa khớp) như sau:

Giả sử I là một tập hợp sắp thứ tự từng phần và

(Ai,α ij) ( αi) (Bi, β ij) ( βi) (Ci, γ ij) (3)

là một dãy các vật và các mũi tên trong phạm trù I(AG ), gọi là khớp (nửa

gồm các vật và mũi tên trong phạm trù I(AG ), gọi là khớp (nửa khớp) nếu

đối với i ∈ I, dãy

là một dãy khớp các nhóm Aben Khi đó

a) α là một đơn cấu khi và chỉ khi α − = 0.

b) α là toàn cấu khi và chỉ khi α + = 0.

c) α là đẳng cấu khi và chỉ khi α − = 0, α + = 0.

1.1.5 Mệnh đề Điều kiện cần và đủ để dãy các nhóm Aben

O A' α A β A " (5)

sau là khớp (nửa khớp

O AG ( G, A') ϕα AG (G, A) ϕ β AG (G, A") (6)

ở đây ϕα( )u = αu,, ϕβ( )v = βv , (u∈AG ( G, A’), v∈AG (G, A))

Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng: dãy (6) là một dãy trong phạm trù

AG, bởi vì với bất kì các nhóm Aben G và A, tập hợp AG (G, A) có cấu trúc

nhóm Aben được cho bởi phép toán (v v+ ') ( ) ( )x =v x +v x'( ).

Giả sử dãy (5) là nửa khớp Khi đó, dãy (6) là nửa khớp tại AG ( G, A’) và

AG (G, A), (rút ra từ Ví dụ 1) và Mệnh đề 1.1.4) Bây giờ giả sử dãy (5)

khớp, khi đó từ ϕα( )u = αu= 0suy ra u = 0 (bởi vì α là đơn cấu (ví dụ 1)),

nghĩa là ϕ α là một đơn cấu, theo Ví dụ 1), suy ra dãy (6) khớp tại số hạng AG

( G, A’) Dãy (5) khớp, nên theo chứng minh trên dãy (6) nửa khớp

là nhóm Aben tự do sinh bởi a và v∈AG (G, A) là đồng cấu được định nghĩa

qua công thức v(na) = na Khi đó ta có βv(na) = β(na) = nβ(a)

⇒ v∈Kerϕ ⊂β Imϕα ⇒ v = ϕα(u) với u∈AG ( G, A’), nghĩa là v(a) = αu(a)

⇒ a = α(u(a)) với u(a) ∈ A '

Vậy a∈Imα

Bằng đối ngẫu ta có mệnh đề sau đây:

1.1.6 Mệnh đề Điều kiện cần và đủ để các nhóm Aben

A ' α A β A" O (5’)

là khớp (nửa khớp)

O AG ( A", G) Ψβ AG (A, G) Ψ α AG (A’, G) (6’)

ở đây Ψ β(u) = uβ, Ψ α(v) = uα (u ∈AG (A”, G), v∈AG (A, G))

1.1.7 Định nghĩa Người ta nói rằng dãy khớp ngắn (2)

O A' α’ A α” A" O

là chẻ ra nếu nó thoả mãn một trong hai điều kiện sau đây:

a) α ' có ngược trái β ': A→A', β α = ' ' IdA’

b) α " có ngược phải β ": A" →A, α β = " " IdA”.

Các điều kiện trên là tương đương Khi đó ta cũng có các đẳng thức:

Vì α " là toàn cấu, suy ra α β = " " IdA”.

b) ⇒ a) Nếu đồng cấu β ": A" →A là ngược phải của α " thì

' "

A ⊕A ≅A

Một kết quả rất quan trọng cho việc nghiên cứu trong lĩnh vực đại số và

tôpô đại số là Bổ đề về 5 đồng cấu

α2(a2) = α2(α1(a1)) = (α2α1)(a1) = 0 ⇒ a3 = 0.

b) φ 3 là toàn cấu Với mọi b3 ∈B3, ta có β4β3(b3) = 0 Do φ4 là đẳng cấu nên

có a4 ∈A4 sao cho φ4(a4) = β3(b3) Suy ra φ5α4(a4) = β4φ4(a4) = β4β3(b3) = 0 ⇒

+ }k i∈J là một dãy khớp (nửa khớp) khác Khi

đó một mũi tên từ dãy đầu đến dãy sau là một dãy các đồng cấu tk i

đối với mọi chỉ số ki, ki+1 ∈J.

Các dãy khớp (nửa khớp) và các mũi tên giữa các dãy được định nghĩa ởtrên lập nên một phạm trù và ta kí hiệu phạm trù đó là EJ (AG ) tương ứng

SeJ(AG )) Trong mỗi phạm trù trên, ta có thể định nghĩa dãy khớp (dãy nửa

trù SeJ(AG )) gọi là khớp (nửa khớp) nếu mọi dãy G k i t k i G k'i s k i G k"i

là khớp (nửa khớp) trong phạm trù các nhóm Aben AG

1.2.1 Định nghĩa Hàm tử F gọi là hàm tử cộng, nếu với bất kì các vật A, B

của phạm trù C1 và các mũi tên α, β ∈ c1(A, B) ta có đẳng thức

F(α + β) = F(α) + F(β)

Từ định nghĩa trên ta suy ra nếu F là hàm tử hiệp biến cộng thì F(0) = 0

và {O A} {O F(A)} (tương ứng {F(A) O} nếu F làhàm tử phản biến), ở đây O được hiểu là nhóm tầm thường, môđun tầmthường hoặc là hệ quy nạp hay hệ xạ ảnh tầm thường

Thật vậy, vì F(Ido) = O ⇒ IdF(o) = O ⇒ F(O) = O

Giả sử F: C1 C1 là một hàm tử cộng Xét các dãy khớp trong phạm trù

C1:

O A’ α A β A” (1) A’ α A β A” O (2)

O A’ α A β A” O (3)

1.2.2 Định nghĩa Hàm tử cộng hiệp biến F gọi là khớp bên trái nếu nó biến

dãy (1) thành dãy khớp, tức là dãy O F(A’) F(α) F(A) F(β) F(A”)khớp trong phạm trù c2

Hàm tử cộng hiệp biến F gọi là khớp bên phải nếu có biến dãy (2) thành

một dãy khớp, tức là dãy F(A’) F(α) F(A) F(β) F(A”) O khớp trongphạm trù c2

Hàm tử cộng hợp biến F gọi là biến bên phải nếu nó biến dãy (3) thành

một dãy khớp, tức là dãy O F(A’) F(α) F(A) F(β) F(A”) O khớptrong phạm trù c2.

Người ta đã chứng minh được rằng nếu hàm tử F khớp thì nó biến mọidãy khớp thành dãy khớp

Qua đối ngẫu ta nhận được các định nghĩa cho một hàm tử cộng phảnbiến là khớp bên phải, khớp bên trái, khớp Chẳng hạn như: một hàm tửcộng phản biến là khớp bên trái nếu nó biến dãy (2) thành một dãy khớp, tức

là dãy

O F(A”) F(β) F(A) F(α) F(A’)

khớp trong phạm trù c2

Từ Mệnh đề 1.1.5 suy ra: Hàm tử AGG (còn kí hiệu là Hom (G, *)):

AG AG là một hàm tử hiệp biến khớp bên trái.

Từ Mệnh đề 1.1.6 suy ra: Hàm tử AG G(còn kí hiệu là Hom(*, G)):

AG AG là hàm tử phản biến khớp bên trái.

1.2.3 Bổ đề Tích xentơ của hai toàn cấu là một toàn cấu.

Chứng minh Giả sử α: A A”, β: β B” là hai toàn cấu trong phạm trù

K– mod Khi đó môđun A”⊗B” được sinh ra các phần tử có dạng a”⊗b”, ởđây a”∈A”, b”∈B” Bởi vì α, β là các toàn cấu, nên suy ra A”⊗B” đượcsinh bởi các phần tử dạng α(a)⊗β(b), a ∈A, b ∈B.

Vì (a⊗b)(A⊗B) = α(a)⊗β(b) nên suy ra A”⊗B” được sinh ra bởi tập hợp(a⊗b)(A⊗B) Từ đây suy ra rằng α⊗β là một toàn cấu

1.2.4 Bổ đề Nếu α và β là hai toàn cấu trong phạm trù K – mod thì hạt nhân

Kerβ.

Chúng minh Giả sử α: A A” và β: B B” là hai toàn cấu trong

phạm trù K – mod và C là một môđun con của môđun A⊗B được sinh bởicác phần tử dạng a⊗b với a∈Kerα, b∈Kerβ.

với a, b được chọn như trên

Hiển nhiên rằng đồng cấu p trùng với hợp thành

Vậy Ker(α⊗β) = C.

1.2.5 Mệnh đề Hàm tử tích tenxơ ⊗là hàm tử khớp bên phải.

Chứng minh: Giả sử A’ α A β A” O là một dãy khớpbất kì trong phạm trù K – mod Ta sẽ chứng minh rằng các dãy sau đây

A' ⊗B α ⊗id A⊗B β ⊗id A" ⊗B O (4)

B⊗ A' id⊗ α B⊗A id⊗ β B⊗A" O (5)

là khớp

Từ Bổ đề 1.2.3 suy ra dãy (4) khớp ở số hạng A" ⊗B

Ta có (β ⊗id) (α ⊗id )(a’⊗b) = βα ⊗ =a' b 0 nên Im(α ⊗id)⊂Ker(β ⊗id).

Từ Bổ đề 1.2.4 ta có a∈Kerβ, vậy a= α( )a' , a' ∈A' Từ đó suy ra

a⊗b = α(a’)⊗b =(α ⊗id )(a’⊗b), nghĩa là Ker(β ⊗id)⊂Im(α ⊗id)

Vậy dãy (4) khớp

Chứng minh tương tự ta có dãy (5) khớp

từ ví dụ sau đây: Giả sử ta có dãy khớp của các nhóm Aben:

là dãy khớp chẻ ra trong phạm trù K – mod và B là một K – môđun bất kì thì các dãy sau đây:

(vì (α ⊗ ' Id)(α ⊗Id) = α ' α ⊗Id= IdA ⊗Id) Vậy α⊗Id là đơn cấu, suy ra dãy(6) khớp tại A' ⊗B

Từ Mệnh đề 1.2.5 suy ra dãy (6) khớp ở A B⊗ và A" ⊗B

Vậy dãy (6) khớp

Tương tự, ta cũng chứng minh được rằng dãy (7) khớp

1.3 NHÓM VI PHÂN 1.3.1 Định nghĩa Một cặp (A,∂) gồm một nhóm Aben A và một tự đồngcấu ∂của A gọi là nhóm vi phân nếu dãy

A ∂ A ∂ A (1)

là nửa khớp

Tự đồng cấu ∂ gọi là toán tử vi phân hay toán tử bờ Đôi khi người ta kíhiệu tắt nhóm vi phân (A, ∂) là A Từ định nghĩa trên ta suy ra tự đồng cấu

∂ của nhóm A là một toán tử vi phân khi và chỉ khi ∂.∂ = ∂ 2 = 0

Nếu (A,∂) là một nhóm vi phân, ta kí hiệu Ker∂=Z, và Im∂=B Dễ thấy

B⊂Z Các phần tử của nhóm con Z gọi là chu trình, còn các phần tử của

nhóm con B gọi là các bờ

Nhóm thương Z

B(kí hiệu là H) được gọi là nhóm đồng điều của nhóm viphân (A, ∂) Các phần tử của nhóm H gọi là các lớp đồng điều

Khi có những nhóm vi phân khác nhau, để phân biệt ta kí hiệu

Z = Z(A), B = B(A) và H = H(A)

Nếu z là một chu trình của A, thì ta kí hiệu lớp đồng điều của nó là [z].Nếu [z1] = [z2] thì các chu trình z1 và z2 gọi là đồng điều với nhau và ta kíhiệu z1 : z2 Hiển nhiên rằng z1 : z2 khi và chỉ khiz1 : z2 là một bờ

Nhận xét: Nếu dãy (1) khớp thì dãy đồng điều của nhóm vi phân A là tầm

thường

Giả sử (A,∂) và (A’,∂’) là hai nhóm vi phân Một mũi tên từ nhóm (A,∂)đến nhóm(A’,∂’) là một đồng cấu nhóm ϕ: A→A' sao cho biểu đồ sau đâygiao hoán:

A ∂ A

φ φ

A’ ∂’ A’

Tức là ta có ϕ o ∂ = ∂ o ϕ (2) Hiển nhiên rằng hợp thành của hai mũi tên của các nhóm vi phân và mũitên đồng nhất IdA cũng là mũi tên các nhóm vi phân vậy ta nhận được mộtphạm trù con của phạm trù các dãy nửa khớp SeJ(AG ), ở đây J là tập hợp

các chỉ số với ba phần tử

Nếu φ: (A,∂) (A’,∂’) là một mũi tên các nhóm vi phân, thì khi đó

nó cảm sinh duy nhất một đồng cấu

φ*: H(A) H(A’)

Thật vậy, ta có φ(Z(A))⊂Z(A’), φ(B(A))⊂B(A’) nên có thể định nghĩa

φ*([z]) = [φ(z)], (bởi vì nếu z’: z thì ∃a ∈ A, z’ – z = ∂a

⇒ φ(z’) - φ(z) = ϕ∂(a) = ∂’φ(a), nghĩa là [φ(z’)] = [φ(z)]).

Dễ thấy rằng φ* là một đồng cấu nhóm và người ta còn kí hiệu là H(φ)

Từ định nghĩa của φ*, ta dễ thấy rằng nếu φ = IdA và nếu

1.3.3 Hệ quả Nếu φ: (A,∂) (A’,∂’) là một đẳng cấu các nhóm vi phânthì Hφ: H(A) H(A’) là một đẳng cấu của các nhóm Aben

1.3.4 Mệnh đề Nếu dãy

O (A’,∂’) ϕ (A,∂) ψ (A”,∂”) O

khớp trong phạm trù các nhóm vi phân thì dãy

H(A’) ϕ * H(A) ψ* H(A’)

khớp trong phạm trù các nhóm Aben.

Chứng minh Ta có ψ*.φ*([z’]) = [(ψφ)(z’)] = [0] = 0 Vậy Imφ* ⊂Kerψ*

Bây giờ, giả sử φ*([z]) = 0 Khi đó ψ(z) = 0⇒ψ(z) = ∂”a” với a”∈A”.

ψ là toàn cấu suy ra có a ∈A sao cho ϕ( )a =a”

1.4.1 Định nghĩa Phức hợp dây chuyền (C) trên phạm trù các nhóm Aben

là một dãy nửa khớp gồm các nhóm Aben và các đồng cấu

(C): … Cq+1 ∂q+ 1 Cq ∂q C

q-1 ∂q− 1 … (q∈Z) (1) Trong đó Cq (q∈Z) là các nhóm Aben, ∂qlà các đồng cấu nhóm Từ định

nghĩa trên ta suy ra: ∂ ∂ =q−1 q 0 (2)

Ta có thể thay đẳng thức (2) bằng đẳng thức ∂ ∂ = 0 hay ∂ = 2 0, tức làkhông viết các chỉ số Đồng cấu ∂ nói trên được gọi là toán tử bờ.

Các phần tử của nhóm Cq gọi là các q – dây chuyền hay các dây chuyền q

chiều Các phần tử của nhóm Z C q( ) =Ker ∂ q gọi là các q – chu trình hay các

chu trình q chiều Các phần tử của nhóm B C q( ) = Im ∂q+1 gọi là các q - bờ hay

là các lớp tương đương của các chu trình Hai chu trình z z q, q' ∈Z C q( ) là

tương đương (hay người ta còn nói “đồng điều”) nếu ' ( )

z − ∈z B C Lớp

đồng điều của chu trình z được kí hiệu là [ ]z

Giả sử (C), (C’) là hai phức dây chuyền Khi đó ánh xạ: f :( )C →( )C' gồm

một dãy các đồng cấu fq: Cq Cq’ sao cho ∂ q’.fq = fq-1.∂ q (q∈Z) (3) được

gọi là một ánh xạ dây chuyền từ phức hợp (C) đến phức hợp (C’).

Trong đẳng thức (3) người ta không viết các chỉ số, và viết ∂ thay cho ∂ ',tức là đẳng thức (3) có thể viết: ∂ = ∂f f .

Hợp thành f’.f: (C’) (C”) của hai ánh xạ dây chuyền f: (C) (C’),f’: (C’) (C”) được xác định bởi công thức (f’.f)q = f’q.fq (q∈Z) Dễ thấy

hợp thành của hai ánh xạ dây chuyền là một ánh xạ dây chuyền Như vậy cácphức hợp dây chuyền và các ánh xạ dây chuyền làm thành một phạm trù,được kí hiệu là ∂AG Phạm trù này gọi là phạm trù các phức hợp dâychuyền.

Từ định nghĩa phạm trù ∂AG ta suy ra: ánh xạ dây chuyền f: (C) (C’)

là đẳng cấu trong ∂AG khi và chỉ khi fq: Cq Cq’ (q∈Z) là đẳng cấutrong phạm trù AG

Hq(C) = 0 với mọi q∈ ¢ Vì vậy đồng điều có thể minh hoạ cho mức sai lệch

khớp, phức hợp khớp trên được gọi là axiclic.

2) Dãy G = {Gn}n∈ ¢ gồm các nhóm (Aben) Gn được gọi là nhóm

các bờ B(C) = {Bq(C)}q∈¢ và các nhóm đồng điều H C( ) =H C*( ) ={H c q( ) }

q∈Z của phức hợp dây chuyền (C) là các nhóm phân bậc Như vậy Z, B, H

là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù ∂ *AG đến phạm trù các nhóm phân bậc

GAG

Các nhóm phân bậc có thể trở thành các phức hợp dây chuyền nếu ta trang

bị cho nó toán tử bờ ∂ = 0 Nói riêng ta có thể xem các nhóm phân bậc Z(C),B(C), H(C) như các phức hợp dây chuyền (với toán tử bờ tầm thường) Dễthấy rằng nếu G Ob∈ (GAG) thì ZG = G, BG = O, HG = G

Nếu A là một nhóm Aben và k là một số nguyên thì ta kí hiệu (A, k) lànhóm phân bậc sao cho (A, k)q = A với q = k, và (A, k)q = 0 với q k≠ .

Bây giờ giả sử (C) là một phức hợp dây chuyền, ta đặt C* q C q

Z , nên ta nhận được Mệnh đề sau đây:

1.4.2 Mệnh đề Với bất kì phức hợp dây chuyền (C) ta có :

Ví dụ: Hạt nhân Kerf và ảnh Imf của ánh xạ dây chuyền f :( ) ( )C → D là

những phức hợp con của phức hợp (C) và phức hợp (D) tương ứng được xácđịnh bởi các công thức (Kerf)q =Kerf , Imf q ( )q = Imf q với mọi q∈Z

Hiển nhiên ta có đẳng cấu các phức hợp dây chuyền:

(C Kerf) ≅ Imf

Giả sử (C’) là một phức hợp con của phức hợp dây chuyền (C) Khi đó ta

có dãy khớp ngắn của các phức hợp dây chuyền:

O (C’) i (C) p ( )C C' O (1) Điều này có nghĩa là với mọi q∈Zta có dãy sau đây khớp:

'

C C

Ngược lại, giả sử [ ]z ∈Kerp , * tức là pz= ∂ " "x đối với một x" ∈C" nào đó Talấy x p∈ −1( )x" Khi đó p z( − ∂ = ∂ − ∂x) " "x "px" = 0, và vì thế cho nên z− ∂ =x iz'

đối với một số z' ∈C' Hơn nữa i z∂ = ∂ = ∂ − ∂ = ' ' iz' (z x) 0, và vì i là đơn cấunên suy ra ∂ = ' 'z 0 Do đó z’ là một chu trình và ' ' [ ] [ ]

thế cho nên [ ]z ∈ Imi*.

1.5.3 Chú ý: Nói chung đồng cấu i* không phải là đơn cấu và đồng cấu p*

không phải là một toàn cấu, tức là hàm tử Hp không khớp bên trái cũng nhưkhông khớp bên phải Để chứng minh điều trên ta lấy dãy khớp:

O (Z, 0) i= 1 C(Z, 0) p x= (Z, 1) O (4)

Dễ thấy rằng H(C(Z, 0)) = 0, Keri * = (Z, 0), H((Z, 1)) = (Z, 1)≠Im p*.

Cũng như trong trường hợp các nhóm vi phân, ta muốn dãy khớp cácnhóm đồng điều (3) ở trên, được kéo dài vô hạn cả hai đầu Để có điều đó tacần xây dựng một đồng cầu nối

∂ = Thật vậy, giả sử px=0, ta cần chứng minh ∂ =x 0.

Nếu px= 0thì px= ∂ "py= ∂p y đối với một y C∈ nào đó Bởi vì Kerp = Imi

nên x- y=iy ∂ ' với một y’ nào đó của C’ Do đó i−1 ∂ = ∂ = ∂x i−1 iy' 'i iy−1 ' = ∂ ' 'y,và vìthế cho nên i−1 ∂ =x 0.

Mặt khác p là một toàn cấu nên tồn tại đồng cấu

thuộc C và ∂ "px= ∂ =p x piz' = 0. Do đó   = − ∂ = ∂ z' [i 1 x] *[ ]px , suy ra

dây chuyền được gọi là thẳng nếu nó chẻ ra ở mọi chiều Điều đó có nghĩa là

với mọi n∈Z, tồn tại các đồng cấu C n" q n C n j n C n' sao cho

ji = Id, pq = Id, ij + qp = Id Khi đó đồng cấu nối ∂ * được minh hoạ một cách

thuận lợi như sau:

Vì i là đơn cấu, nên suy ra ∂ = − ∂ 'd d "; điều này có nghĩa là d C:( ) ( )" → C' +

là một ánh xạ dây chuyền Nếu z" ∈Z C( )" thì