BÀI THI ANH VĂN CHUYÊN NGÀNH cơ khí

Khi tổng hợp của tấc cả các lực tác dụng lên chất điểm hạt bằng 0 thì vận tốc của hạt không thay đổi.. Khi tổng của tấc cả các lực tác dụng lên chất điểm khác 0 thì giá trị của tổng các

BÀI THI ANH VĂN CHUYÊN NGÀNHNỘI DUNG: Mechanical Engineers Handbook Academic Press 2001

1 Khi tổng hợp của tấc cả các lực tác dụng lên chất điểm (hạt) bằng 0 thì vận tốc của hạt không thay đổi Trong truongw hợp đặc biệt, nêu chất điểm đứng yên thì sẽ mãi đứng yên.

2 Khi tổng của tấc cả các lực tác dụng lên chất điểm khác 0 thì giá trị của tổng các hợp lực đó tỉ lệ với giá tri thay thổi của chuyển động tuyến tính (động lượng) của chất điêm đó.

3 Các lực được sinh ra do hai chất điểm tác dụng lẫn nhau thì các lự có cùng giá trị về độ lớn nhưng ngược chiều nhau

Động lượng của chất điểm bằng tích số giữa khối lượng của chất điểm m và vận tốc v của chất điểm đó Định luật 2 Newton được viết như sau:

)

(mv dt

d

Ở đây, F là tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm Nếu khối lượng của chất điểm không thay đổi, m = hằng số, thì giá trị của hợp lực bằng tích số của khối lượng của chất điểm và giâ tốc, a

ma dt

dv m

Định luật 2 Newton nêu rõ ý nghĩa của khối lượng và lực tác Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của khối lượng là Kilogram (kg), đơn vị của lực là Newton (N), như vậy, một đơn vị lực được dịnh nghĩa bằng 1 đơn vị khối lượng 1kg và 1 đơn vị gia tốc, là sự thay đổi vận tốc của 1 đơn vị chiều dài 1m mỗi giây bình phương

/ 1 ) / 1 )(

1 (

s kgm s

m kg

là r được mô tả như hình ( 3.1)

Với G được gọi là hằng số lực hút trái đất, biểu thức (3.3) có thể được sử dụng để

xác định gần đúng trọng lượng của một vật về khối lượng m cũng như lực hút của trái đất.

(3.4)Hình 3.1: mô hình lực hấp dẫn giữa hai chất điểm

Với m E là khối lượng của trái đất và r là khoảng cách từ tâm trái đất đến chất diểm

Khi chất điểm chiu tác động của một lực sinh ra bởi khối lượng của chính nó Thì lực hút lúc này được gọi là gia tốc trọng trường Trong trường hợp này, định luật 2 Newton được

phát biểu rằng W=ma, từ biểu thức (3.4) gia tốc cũng trọng trường được tính theo công

Tại mực nước biển, trọng lượng của chất điểm được xác định bởi:

mg

Giá trị của g sẽ thay đổi theo từng vị trí trên bền mặt trái đất Nhưng giá trị g được

sử dụng trong tính toán và thí dụ là g = 9.81 m/s2 trong hệ đơn vị SI và g=32.2 ft/s2 trong

hệ đơn vị U.S

Khi áp dụng định luật Newton để giả quyết các bài toán liên quan đến vận tốc thì kết quả có độ sai số là không nhỏ điển hình là khi so sánh bài toàn về tính vận tốc của ánhsáng (3x108 m/s) Học thuyết tương đối của Einstein có thể áp dụng cho các vấn đề này Thuyết cơ học của Newton cũng có một sai xót trong các vấn đề về kích thướt của nguyên

tử Cơ học lượng tử có thể được sử dụng để giải thích các hiện tượng trong phạm vi nguyên tử

Mỗi Vị trí, vận tốc hay gia tốc của là một vấn đề được xác đinh rõ ràng, nhìn chung,các vấn đề trên liên quan đến hệ quy chiếu tùy ý Định luật thứ 2 của Newton không thể giải thích chính xác về bất cứ hệ quy chiếu nào Newton nói rằng định luật thứ 2 đã được miêu tả rõ ràng trong hệ quy chiếu trong chuyên đê về “các ngôi sao cố định” Định luật thứ hai của Newton có thể được áp dụng và thu được kết quả tốt khi áp ụng hệ quy chiếu

vào các đại lượng thay đổi vận tốc, chuyển động quay để tính toán chính xác các đại lượng gia tốc và chuyển độnh quay Định luật thứ hai của Newton, biểu thức (3.2), có thể được miêu tả trong hệ quy chiếu tuyệt đối liên quan đến trái đất Biểu thức (3.2) có thể được sử dụng xác định sự thay đổi của một vật tham chiếu với vận tốc không đổi so với trái đất.

Nếu một hệ quy chiếu được sử dụng để áp dụng cho biểu thức (3.2), thì nó được định nghĩa là hệ quy chiếu Newton hay hệ quy chiếu quán tính

Với F F X1 F Y J F Z K là tổng các lực tác dụng lên chất điểm P có

khối lượng m và gia tốc của hạt a

Khi mà các thành phần x, y, z cân bằng nhau, và vô hướng thì chúng ta có được các phương trình của chuyển động :

Hoặc tổng các lực trong mỗi mặt phẳng bằng tích của khối lượng của chất điểm và thành phần gia tốc trong mặt phẳng đó

Bài toán về lực ném

Một vât P có khối lượng m, được ném trong không khí ( hình 3.3) Lực tác dụng lên vật chỉ có trọng lượng của chính vật đó ( bỏ qua lực cản không khí) Tổng hợp lực lúc này là F   mgj Từ công thức (3.9) có thể biểu diễn theo cách khác:

Lực phóng sẽ giảm xuống gia tốc trọng trường.

Chuyển động theo đường thẳng:

Đối với chuyển đọng thẳng dọc theo trục x, biểu thức 1.9 sẽ là:

1.5 Các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến.

Một vật P có khối lượng m chuyển động trên một đường cong như (hình 3.4) Có thể chia hợp lực ΣF tác động lên vật ra thành phần tiếp tuyến FF tác động lên vật ra thành phần tiếp tuyến Fn và thành phần pháp tuyến Ft

.

v F F

   

Gia tốc của vật trong cùng một thời điểm được chai thành hai thành phần tiếp tuyến

và pháp tuyến

v a a

a t  n Định luật thứ hai của Newton sẽ là:

F ma

F t F n vm(a t a n v) (3.10)Với:

Khi cả hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến bằng nhau, vô hướng thì hai thành phần vô hướng của chuyển động được biểu diễn:

Tổng hợp lực tiếp tuyến bằng tích số giữa khối lượng và vận tốc của vật, tỉ lệ thuận với vận tốc Tổng hợp lực pháp tuyến bằng tích số giữa khối lượng của vật và thànhphần pháp tuyến của gia tốc Nếu đường đi của hạt nằm trong một mặt phẳng và gia tốc

Hình: 3.4

của hạt vuông góc với mặt phẳng chứa đường đi của hạt thì hình chiếu của gia tốc lên mặt phẵng bằng 0, do đó, tổng các hợp lực vuông góc với mặt phẳng chưa đường đị của hạt đều bằng 0.

1.6 Tọa độ cưc và trụ (không gian

Một chất điểm P với trọng lượng m chuyển động theo quỷ đạo là đường cong như (hình 3.5) lúc này , chuyển động của chất điểm có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ cực trong hệ tọa độ cực, tổng hợp lực song song với mặt phẳng chứa chất điểm thành các thành phần hướng tâm và thành phần tiếp tuyến Khi đó ta có:

F F r u r Fu

Và nếu giá tốc của chất điểm được biểu diễn tai cùng một thời điểm theo hai của hai thành phần hướng tâm và tiếp tuyến, Định luật thứ hai của Newton được viết dưới dạng

Hình: 3.5

Hai giá trị vô hướng được tính theo :

Tổng hợp của các lực hướng tâm bằng tích của khối lượng và thành phần gia tốc hướng tâm Tổng hợp của các lực theo phương tiếp tuyến bằng tích của khối lượng và thành phần gia tốc theo phương tiếp tuyến

Chuyển động ba chiều của chất điểm P có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ không gian (hình 3.6 ) Chiếu chất điểm P theo phương vuông góc vuông góc lên mặt phăng yox, ta được tọa đọ z với vector đơn vị k tổng của các lực được chia thành các thành phần hướng kính, tiếp tuyến, và z :

F F r u r Fu F z k

Hình: 3.6Hình: 3.6

Ba phương trình vô hướng của chuyển động bao gồm thành phần hướng tâm, thành phần , tiếp tuyến trong biểu thưc (3.15) và phương trình chuyển động theo phương z,

m

)'2

1.7 Nguyên lý công năng

Theo định luật thứ hai của Newton với chất điểm có khối lượng m dược viết dưới dạng:

Ta có:

Là Công năng với F là tổng của các lực tác dụng lleenchaats điểm có khối lượng m và dr

là vi phân của chuyển động của hạt Lấy tích phân biểu thức (3.19) được biểu diễn:

1.8 Công suất

Xét vị trị của chất điểm P với khối lượng m chuyển động theo quỹ đạo cong đặc biệt tính từ tọa đọ của chính nó đến góc tọa độ O Xem hình ( 3.7a) thì vận tốc của chất điểm là:

Ở đây,  là vector tiếp tuyến đơn vị

Sửng dụng mối quan hệ : , chia quỹ đạo chuyển động của chất điểm ra

thành nhiều phần ( vi phân) dr ta được dt ds

dt

ds vdt

Hình: 3.7

Công sinh ra bởi ngoại lực tác dụng lên chất điểm , thay dr ta được:

ds F ds F ds F dr

Công được sinh ra các ngoại lực tác dụng lên chất điểm trong vi phân của khoảng dịch

Công suất, P, tỉ lệ với công sinh ra Công suất P được tính bởi biểu thức quan hệ giữa công và đạo hàm của khoảng dịch chuyển trong thời gian dt

v F.

dt

dr F.

Trong hệ đơn vị SI, Năng lượng có thứ nguyên là lực nhân với khoảng cách trên mỗi giây, và được ký hiệu là joules trên giây ( J/s) hoạc watts (W) Trong hệ đơn vị Hoa kỳcông suất có đơn vị là (hp) 746W bằng với 550 ftlb/s

Công suất cũng tỉ lệ với động năng của vật,

d P

1.8.1 Công năng của chất điểm trong chuyển động đàn hồi.

Gắn cố định chất điểm P có khối lượng m vào một lò xo đàn hồi tham khảo hình (3.8).Lực tác động lên chất điểm được tính:

r

u r r k

F   (  0 )

Với: k là hệ số đàn hồi ( lò xo) R0 là biên độ của lò xo Ur vector độc cực đơn vị Nếu chúng ta sử dụng hệ tọa độ cực để biểu diễn vận tốc thì vector dr = vdt là:

Một cách khác, lò xo đã thực hiện một công và được biểu diễn qua tình trạng thái kéo nén chính nó, và độ kéo nén được xác định bởi  r  r0 Lúc này độ biến thiên,



k

dr

F   và công năng lưc này là:

Với 1 ,2 là giá trị của độ kéo nén lò xo tại vị trí đầu và cuối

1.8.2 Công năng trên chất điểm sinh ra do trọng lượng của chính nó.

Một chất điểm P có khối lượng m (Hình 3.9) di chuyển từ vị trí 1 có tọa độ (x1, y1,

z1) đến vị trí thứ hai có tọa độ là ((x2, y2, z2)trong hệ tọa độ đề- các có trục y hướng lên Lực sinh ra do trọng lượng của chất điểm được tính như sau:

mgj

F  

Vì vận tốc V= dr/dt, vector dr được xác định như sau:

dzk dyj dx dt k dt

dz j dt

dy dt

Nhân F cho dr ta được: F.dr  mgj .dx1 dyjdzk  mgdy

Công để chất điểm P di chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2 là:

Hình: 3.9

Công năng chính bằng tích của khối lượng chất điểm và giá trị thay đổi chiều chiều cao của chất điểm Công năng sẽ có giá trị âm khi mà chiều cao tăng lên và dương khi chiều cao của chất điểm giảm Công năng thay đổi liên tục tại mỗi vị trí trên quãng đườngcủa chất điểm từ vị trí 1 đến vị trí 2 Để xác định Công năng của chất điểm do chính trọng lượng của chất điểm đó gây ra ta chỉ cần xác định mối quan hệ về chiều cao của vị trí đầu

và cuối của chất điểm

1.9 Bảo năng lượng.

Phương trình cân bằng động năng:

Hàm vô hướng của vân tốc được gội là thế năng được xác định như sau:

Thay hàm V vào hàm tích phân của cộng năng ta được:

Với V1, V2 là các giá trị thế năng V tại vị trí r1, r2 Nguyên lý về công năng được viết dướidạng như sau

Điều đó có nghĩa là tổng của động năng và thế năng V là hằng số:

Hoặc:

Nếu tồn tại một thế năng được cho bởi lực F, i e., thì thế năng tại một vị trí được tính : dV  F.dr, khi đó F được b xem như bảo toàn

Và nếu tấc cả lực gây nên Công trên một hệ được bảo toàn thì tấc cả năng lượng: tổng của động năng và thế năng do lực gây ra là hằng số hay bảo toàn Hệ như vậy được gọi là hệ bảo toàn.

1.10 Lực bảo toàn

Một chất điểm di chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2 Biểu thức (3.28) nói rằng Công năngchỉ phu thuộc vào thế năng tại vị trí 1 và vị trí 2 Công được sinh ra bởi lực bảo hòa thì chất điểm sẽ di chuyển từ vị trí 1 và vị trí thứ 2 sẽ không phụ thuộc vào quảng đương di chuyển của chất điểm đó

Một chất điểm p với khối lượng m trượt có ma sát trên quãng đường có chiều dài L

Độ lớn của lực ma sát sẽ là mg và có chiều ngược với chiều chuyển động của chất

điểm Hệ số ma sát là μ Công sinh ra bởi lực ma sát là:

Công tỹ lệ với chiều dài của quãng đường di chuyển vì vậy Công cơ học phụ thuộc vào quãng đường di chuyển của chất điểm Lực ma sát không phải là hằng số

3.10.1 Thế năng của lực đàn hồi

Lực sinh ra bởi lò xo đàn hồi được tác động bởi một lực cố định được bảo toàn.Tai mọi thời điểm của hệ tọa độ cực, lực tác dụng lên chất điểm (hình 3.8) là do một lực đàn hồi thì F  kr r0.u r Thế năng phải thõa mãn:

r r dr k

dr F

dV    0

Hoặc:



k k

dv 

Với  r  r0là độ nén hoặc dãn của lò xo Tích hợp các biểu thức trên ta có được biểu thức của thế năng đàn hồi là:

2 2

Lực trọng trường của một chất điểm là một lực bảo toàn Trọng lực của chất điểm p

có khối lượng m (hình 3.9) là F  mgj Thế năng V phải thõa các diều kiện liên quan

Thế năng V thõa mãn các điều kiện:

Với F F x1 F y jF z k Biểu thưc (3.35 và 3.36) được biểu diễn :

Ở đây chúng ta có

Trong hệ tọa đọ Đề-Cac cho thế năng được biểu thị V=V(x, y, z), lực F được tính:

Với V là gradient ( độ thay đổi) của thế năng V Gradien được biểu thị trong hệ tọa

đọ Dề- Các như sau:

Độ biến thiên curl của vector lực tác dụng trong hệ tọa độ Descartes được viết:

Nếu lực tác dụng F không đổi thì độ thay đổi  F  0 Định luật bảo toàn cũng đúng khi :

Lực F sẽ không đổi nếu curl của vector lực tác dụng bằng không.

Trong điều kiện lực F được đặt trong hệ tọa độ cực thì

Giá trị thay đổi của vector lực tác dụng trong hệ tọa độ cực là:

1.11 Nguyên lý xung lực và mômen

Theo định luật 2 của Newton :

Tích phân hàm trên theo thời gian:

  

2

1

2 1

t

t

mv mv Fdt

Với v1 và v2 là vận tốc của chất điểm P tại thời điểm t 1 , t 2 Lúc này hàm tích phân F theo thời gian dt được định nghĩa là lực tuyến tính và mv được gọi là mômen quán tính

Nguyên lý xung lực và mômen: lực đẩy tác dụng lên một chất điểm là lực làm cho chất điểm thay đổi động lực của chất điểm trong một khoảng thời gian nhất định xem hình(3.10)

Giá trị của lực đẩy tuyến tính và động lực tuyến tính là khối lượng nhân quãng đường trên đơn vị thời gian

Giá trị trung bình theo thời gian của tổng lực tác dụng lên chất điểm từ t1 đến thời điểm t2

là :

Biểu thức (3.43) được viết:

1 2 1

2 ) (t t mv mv

dt

dv m

F 

Hình : 3.10

Xung lực là lực được định nghĩa là giá trị của lực tác động lên chất điểm trong mộtkhoảng thời gian ngắn(t) ( hình: 3.11)

Biểu thức (3.43) và (3.44) có thể được viết dưới dạng hữu hướng của tổng các lực theophương tiếp tuyến  trên quỹ đạo của chất điểm được tính bằng tích của khối lượng mcủa chất điểm và tỷ lệ với sự thay đổi của vận tốc dọc theo quỷ đạo

Tích phân của biểu thức trên theo thời gian được miêu tả:

Với v1 và v2 là vận tốc dọc theo quỹ đạo của chất điểm tại thời điểm t1 và t2 Xung lực tác động lên chất điểm được tạo bởi tổng các lực trên phương tiếp tuyến của quỹ đạo trong suốt quãng thời gian nhỏ bằng vơi giá trị thay đổi của moment tuyến tính dọc theo quỹ đạo

Hinh: 3.11

1.12 Sự bảo toàn của moomen quán tính.

Xét hai chất điểm P1 có khối lượng m1 và P2 có khối lượng m2, xem hình (3.12) Vector F12

là lực được sinh ra do p1 tác động lên P2 và F21 lực được sinh ra do p2 tác động lên P1 cáclực này có thể là lực tương tác có thể được sinh ra do sự va chạm của hai chất điểm Theo định luật thứ 3 của Newton, các lực này có giá trị bằng nhau nhưng ngược chiều

0 21

Với V p1(t1),V p1(t2)là vận tốc của chất điểm P1 tại thời điểm t1 , t2 và

) (

Hoặc momen tuyến tính tổng hợp của hai chất điểm được bảo toàn:

Tại vị trí C là trung điểm của hai chất điểm xem hình (3.12) Ta có:

Với r p1 , r p2 là vector vi trí của hai chất điểm sau khai triển biểu thức trên và kết hợp với biểu thức (3.47) ta có biểu thức sau:

Với V C dr C /dtlà vận tốc của hai chất điểm trại trung điểm gặp nhau Momen quántính tổng hợp của các chất điểm được bảo toàn và vận tốc của hai chất điểm trại trung điểm của hệ hai hạt là không đổi

1.13 Sự va chạm

Hai hạt A, B chuyển động với vận tốc VA, VB va chạm Vận tốc của A và B sau khi

va chạm là V’A, V’B Do ảnh hưởng của ngoại lực được triệt tiêu và momen tuyến tính tổng hợp là hằng số ( hình 3.13)

Hơn nữa, vận tốc v tai trung điểm gặp nhau của hệ chất điểm trước và sau khi va chạm là tương tự nhau.

Nếu A và B dính vào nhau sau khi va chạm chúng được gọi là va chạm mềm Vận tốc của của tâm hệ hai chất điểm khi va chạm ( hình 3.13)

Nếu A và B văng ngược lại, thì sự bảo toàn momen tuyến tính của mỗi chất điểm không đưa ra được phương trình đầy đủ để xác định vận tốc sau khi va chạm

3.13.1 Va chạm hướng tâm

Các hạt A và B chuyển động dọc theo đường thẳng với vận tốc v1, v2 trước khi va chạmn (Hình 3.14a) Độ lớn của lực tác dụng lẫn nhau trong suốt quá trình va chạm (Hình3.14b) Lực va chạm thì song song với đường phương chuyển động của chất điểm( va chạm hướng tâm) Các hạt tiếp tục chuyển động thẳng dọc theo phương chuyển động saukhi va chúng va chạm (Hình 3.14c) sự tác động của ngoại lực trong quá trình va chạm đã

bị triệt tiêu và momen tuyens tính tổng hợp được bảo tồn

Hình: 3.13