Các phân bô thông kê lượng tử biến dạng và ứng dụng

Hà nội, nqày tháng năm 2010 Trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử, khi có sự saikhác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thườngdùng các phươn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không hềtrùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác

Hà nội, nqày tháng năm 2010

Trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử, khi có sự saikhác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thườngdùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Tuy nhiên nhiều hiện tượng vật

lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn như

sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái

Điều đó có đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn

mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữđược các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng,phương pháp mô men, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại

số biến dạng

Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại sốlượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấutrúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như thống

kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lượng tử và đại sốlượng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức dao động tửđiều hòa biến dạng và ứng dụng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng

Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê lượnọ, tử bằng phương pháp lý thuyết

3.1 Nhiệt dung của mạng tinh thể khi áp dụng lý thuyết biến dạng q.

3.1.1 Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Einstein

3.1.2 Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Debye

3.1.3 Nhiệt dung chất rắn theo quan điểm của hình thức luận daođộng tử điều hòa biến dạng - q

3.2 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biếndạng - q

3.2.1 Cách tính gần đúng đơn giản

3.2.2 Cách tính đầy đủ và chính xác hơn

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1

XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬBANG

PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

1.1.1 Hệ lượng tủ

Hệ lượng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lượng tử

- Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử

- Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của cáchạt của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không giải thích được nếudựa vào quan điểm cổ điển

1.1.2 Tính chất

- Các hạt vi mô mang cả tính chất sóng lẫn tính chất hạt

Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độxác định tuyệt đối chính xác, nó bị “nhoè đi” trong không gian Khi có haihoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì

ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển độngđược của mỗi hạt Đó chính là tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơhọc lượng tử

lượng, điện tích ta phải đưa vào các thông số và các tính chất mới, thuần tuý

“lượng tử” Đó là “spin” của hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lý Pauli”

- Phương pháp các “ô” Boltzman

Trong đó phương pháp các “ô” Boltzman ra đời sớm nhất, nhưngphương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm hơn và được coi là phương pháp cơ bản

(1.1)

Biểu thức (1) là phân bố chính tắc lượng tử

0 là nhiệt độ thống kê, ỡ = kT

6 cỏ ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đối

lị/ có ý nghĩa năng lượng tự do

A

W k = exp

* Xét trường hợp đặc biệt: Hệ lượng tử gồm N hạt không tương tác.Tương tự như trong vật lý thống kê cổ điển, từ phân bố chính tắc lượng tử tacũng suy ra phân bố Maxwell- Boltzmann lượng tử:

exp

w, =■

Trong đó: £ là năng lượng một hạt của hệ

Wị là xác suất để một hạt bất kỳ của hệ nằm ở trên mức năng

lượng £

- Trường hợp mức năng lượng £ bị suy biến, với độ suy biến là ẹ(£ ).

Biểu thức (1.6) là thống kê Maxwell- Boltzmann lượng tử

mô cũng như tính đối xứng của các hàm sóng Do đó, các thống kê vừa tìm

được chỉ có thể áp dụng cho một số trường hợp đặc biệt Nếu ta chú ý đến toàn

bộ đặc tính đó, ta tìm ra hai loại thống kê lượng tử quan trọng:

- Thống kê Bose- Einstein

w, = — exp

1.2.2.2 áp dụ nạ phân hố chính tắc lớn lượng tử

i=0

i là các mức năng lượng của hạt có trị số từ 0 đến 00

i=0

i=0

gjc_

Từ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức

- Để tính số hạt trung bình n trên một mức năng lượng s bất kỳ ta dùng thủ thuật toán học sau: Gắn cho đại lượng ụ chỉ số 1, nghĩa là coi hệ ta

xét có cả một tập hợp các thế hoá học //, Khi đến cuối phép tính toán, ta sẽ

Nếu năng lượng £ k suy biến với độ suy biến g k thì:

1.2.2.22 Thông kê Fermi-Dirac

Xét đối với hệ hạt Fecmi:

n i < 1 (n =0,1)

G(n 0 ,n r ) = ì

(1.12)

<•=0

1.2.2.23 Thông kê Maxwell- Boltzmann

Biểu thức (14) là biểu thức thống kê Maxwell- Boltzmann

* Nhận xét: Số hạt trung bình trên một mức nào đó tỉ lệ với xác suất tìmmột hạt trên mức đó

1.3 Xây dựng các phân bô thông kê lượng tử bằng phương pháp lý

thuyết trường lượng tử.

1.3.1 Biểu diễn sô hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính.

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đườngthẳng nào đó

H = P^ + mỌ LĨ

2m 2

là toán tử tọa độ

p = p = ih— là toán tử xung lương.

= pq — qp = —ih—X — x(-ih) — x + itix

y/ = —ih—{xụ/) + ihx—lự = -ih

lự

Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo p và q như sau:

Dễ dàng chứng minh được các toán tử a và a thỏa mãn hệ thức giao

= 1

c Ĩ M < 4- +

(ờq -I :P m

Cớq - ỉ :P m

= Y^{ 2iCủpq ~ 2ic °ĩtp) = fi{ p y~ yp)=1

+ /A 4- y\ 4- w -j- /A 4- A A+ -A 4- yv 4- A / A A+

yv + -A \ yv-1- yv-Ị

(1.25)

là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n.

Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N như sau:

Các trị riêng của toán tử N là các số không âm.

Xét các véc tơ trạng thái thu được a\n) bằng cách tác dụng toán tử a

lên véc tơ trạng thái |zz) Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N và sử

Tương tự a \n); a In) cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N

ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)

Nếu |/i)là một véc tơ riêng của toán N ứng với trị riêng n thì a \n)

cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n - p [p = 1,2,3 )

Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử N

Vì nếu a I n ) + 0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng

n t -1 < n trái với giả thuyết n là trị riêng nhỏ nhất.

So sánh hai phương trình (1.31), (1.32) ta đi đến kết luận như sau:

Từ (*), (**) ta thấy:

|l) là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1.

a I o) là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1.

1 + — \heo = —

E 0 + heo có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng

+hco= E 0 +2hũ) có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng

tử năng lượng hù) vào trạng thái 11), cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng

coi trạng thái |o) là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy |o) được gọi làtrạng thái chân không, |l) là trạng thái chứa một lượng tử, 1«) là trạng thái

chứa n lượng tử Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một

đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên In) cho một trạng thái tỉ lệ với |/i-l) do đó được đoán nhận là toán tử hủy

lượng tử năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên I n) cho một trạng thái tỉ lệ

với \n +1) do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử số hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái I n) với

) = ex u \n-\) ) = P n \n + \)

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì:

Vậy ta thiết lập được các công thức sau:

N\n^ = n\n}

a \ĩì) = y/n + \ịn +1)

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc tơ

cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N

Tác dụng toán tử a và a lên véc tơ trạng thái |/?)ta được:

a ịnj = yỊn + ì\ n + ì)

N - a a.

Ta sẽ xem xét xem là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyênthì nó có

tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?

Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng

\vjLi) = ala + „\0) (1.39)

Như vậy véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứngvới phép hoán vị hai hạt Ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đốixứng là những hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson

a,a = 1

a v % a = s

Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson

a và toán tử số hạt N :

Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.33), (1.34) ta có các đẳng thức sau:

25

Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aa và a a lần lượt

bằng n +1 và n Do đó ma trận của các toán tử này trong biểu diễn riêng củachúng là những ma trận chéo

Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng

£ được gọi là phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các hạt

Boson

13.4 Phàn bô thông kê lượng tử Fermi - Dirac.

TẢe-^-^N)

W = H = -

-^ -Vì các hạt fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli nên n chỉ có thể

Z = T r ịe< H -^Y±ÍẠe-^-^

Đây là biểu thức xác định số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng

£ còn gọi là phân bố thống kê Fermi - Dirac cho hệ đồng nhất các hạt

(2.4)

Với a vầ a là các toán tử sinh, hủy Boson biến dạng q Cơ sở của

lên trạng thái chân không đã bị hủy bởi toán tử a :

a /2

Từ các hệ thức trên ta chứng minh lại (2.1) như sau:

Tác dụng hai vế của (2.1)lên không gian véc tơ |/ỉ)ta được:

Điều thú vị đối với việc áp dụng đại số lượng tử vào vật lý lần đầu tiênđược đưa vào năm 1989 bằng việc đưa vào dao động tử điều hòa biến dạng - q

đã nêu ra trên đây

Dao động tử Fermion biến dạng - q được định nghĩa theo các toán tử

sinh, hủy là ố ,s và toán tử số hạt N thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán:

/V /V + A + /V

bb +b b = 1

Ta cũng có/V+A. í \ /> ^ + ( \

b Ố = ỊTV| ;bb =|^v + l|

Nhưng đối với Fermion biến dạng - q thì:

Ta có thể chứng minh (2.13) như sau:

Tác dụng hai vế của (2.13) lên không gian véc tơ I rì) ta có:

Khi q = 1 chúng ta lại thu được phân bố thống kê lượng tử Bose

Chúng ta cũng xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại

diễn số hạt của dao động tử điều hòa và dao động tử điều hòa biến dạng q, giớithiệu lý thuyết về q-số, dao động tử Boson và dao động tử Fermion xét cảtrường hợp biến dạng q của hai dao động này.

Xây dượng được phân bố thống kê lượng tử và các phân bố thống kêlượng tử biến dạng q bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử: Thống kêBose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac trong cả trường hợp biến dạng q

MỘT SỐ ÚNG DỤNG CỦA PHÂN Bố THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ

3.1.1 Nhiệt dung mạng tinh thể của Einstein

Nhằm khắc phục những hạn chế của lý thuyết nhiệt dung cổ điển, năm

Trong đó n : 0, 1, 2, 3

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn, cách đều nhau Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng heo, mức năng lượng thấp nhất.

một dao động tử điều hòa nhờ biểu thức được suy ra trực tiếp tù phân bốMaxvvell- Boltzmann:

s = kT 2 —~-\nZ.

ÔT

hũ)

Chú ý rằng ở nhiệt độ thấp T —»0 năng lượng trung bình cũng dẫn tới

lượng trung bình của dao động tử có trị số cổ điển là kT

Vì mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do nên hệ N nguyên tử trong mạng là hệ3N dao động tử điều hòa một chiều Einstein quan niệm rằng tất cả các

nguyên tử đều cùng chung một tần số dao động ũ) Trên cơ sở quan niệm đó

mà chúng ta cần quan tâm.

* Trường hợp nhiệt độ cao

kT

kT

Đối với 1 mol, nhiệt dung có giá trị:

Kết quả (3.7) phù hợp về định tính với thực nghiệm: Nhiệt dung tiến tới

0 khi nhiệt độ tiến tới 0 độ tuyệt đối Tuy nhiên, thực nghiệm cho thấy rằng

tới 0 quá nhanh như quy luật (3.7) Đây chính là thiếu sót của lý thuyếtEinstein Thiếu sót này bắt nguồn từ chỗ Einstein quan niệm rằng tất cả các

Năm 1912 Debye đưa ra lí thuyết mới về nhiệt dung mạng tinh thể Sovới lí thuyết Einstein thì lí thuyết Debye phù hợp tốt hơn với thực nghiệm, vìvậy cho đến nay nó vẫn được coi là lí thuyết đúng đắn nhất Dưới đây chúng ta

sẽ điểm qua những nét cơ bản nhất trong lí thuyết Debye

Trong mạng tinh thể chất rắn các nguyên tử tương tác với nhau, vì vậychúng chuyển động như các dao động tử liên kết, chứ không phải là các daođộng tử độc lập như trong lí thuyết Einstein Mỗi nguyên tử có ba bậc tự do, vìvậy tập hợp N nguyên tử trong vật rắn là tập hợp 3N dao động tử điều hòa

Chuyển động dao động tập thể của các nguyên tử liên kết tạo thànhsóng âm, tức là sóng đàn hồi trong vật rắn Sóng âm trong vật rắn gồm hailoại: Sóng dọc và sóng ngang Ta kí hiệu vận tốc truyền sóng dọc làC , vận

Hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết có thể thay thế được bằng tập hợp