một số vấn đề cơ sở của tin học

Tổng quan thuật giải Quay lui Back TrackingTổng quan thuật giải Quay lui Back Tracking • Dùng giải bài toán liệt kê các cấu hình • Mỗi cấu hình được xác định bằng cách xây dựng tuần tự t

Trang 1

Buổi 3:

Cấu trúc dữ liệu và thuật giải

Giáo viên: Tạ Thúc Nhu Khoa CNTT trường ĐH Lạc Hồng

Một số vấn đề cơ sở

của Tin học

Trang 2

ĐỆ QUI

RECURVE

Trang 3

Khái niệm Đệ Qui

Một đối tượng được gọi là đệ qui nếu nó hoặc 1 phần của nó

được định nghiã thông qua khái niệm về chính nó.

Ví dụ: Định nghiã phép toán giai thừa, ký hiệu: N!

Trang 5

Một định nghiã đệ qui phải có 2 thành phần:

• Thành phần dừng: Không chứa khái niệm đang định nghiã

Ví dụ: N! = 1

• Thành phần đệ qui: có chứa khái niệm đang định nghiã

Trang 6

Ví dụ: Tính UCLN(x,y) theo thuật toán Euclide

• (a)UCLN(x,y) = x nếu y = 0

• (b)UCLN(x,y) = UCLN(y, phần dư của x/y) nếu y<>0

int UCLN(int x, int y)

{

if (y == 0) return x;

return UCLN(y, x % y) ;

}

Trang 7

THUẬT GIẢI QUAY LUI

BACK TRACKING

Trang 8

Tổng quan thuật giải Quay lui (Back Tracking)

• Dùng giải bài toán liệt kê các cấu hình

• Mỗi cấu hình được xác định bằng cách xây dựng tuần tự từng thành

X2 X1

Km

…

… K2

K1

Tập khả năng Cấu hình một lời giải

Trang 9

Mô hình thuật giải quay lui:

If (X i là phần tử cuối cùng trong cấu hình)

< Thông báo cấu hình tìm được>;

else

for ( mọi K j thuộc tập khả năng đề cử cho X i )

[ if ( Chấp nhận K j ) ] {

Thử chọn K j cho X i ; Try( i+1); //Gọi đệ quy để xác định phần tử Xi+1

Bỏ ghi nhận K j đã chọn cho X i để chọn khả năng khác;

Trang 10

Hai điểm mấu chốt quyết định độ phức tạp của bài toán là:

1 Xác định tập khả năng đề cử: Phụ thuộc vào việc phân tích

nhu cầu dữ liệu của từng thành phần trong cấu hình

2 Kiểm tra khả năng đề cử phải phù hợp với thành phần cần

xác định.

Trang 11

Bài toán: Liệt kê các dãy nhị phân có độ dài n

Phân tích:

• Biểu diến cấu hình dãy nhị phân dưới dạng: X[1 n]

• Tập khả năng đề cử cho mỗi phần tử X i là {0, 1}

• Thuật giải xác định phần tử X i của dãy nhị phân như sau:

void Try(int i) {

if ( i > n ) <Thông báo cấu hình tìm được>;

else

for (int j =0; j<= 1; j++) {

X[ i ] = j;

Trang 12

Mã đi tuần: chỉ ra hành trình của quân Mã xuất phát

từ một ô trên bàn cờ đi qua tất cả các ô còn lại của

bàn cờ, mỗi ô đúng 1 lần.

Mã đi tuần: chỉ ra hành trình của quân Mã xuất phát

từ một ô trên bàn cờ đi qua tất cả các ô còn lại của

• Điều kiện chọn khả năng cho

bước đi thứ i là Ô được chọn

Trang 13

Thuật giải xác định bước đi thứ i của quân Mã

Trang 14

Bài toán:

Liệt kê các hoán vị của dãy số {1, 2, , n}

Bài toán:

Liệt kê các hoán vị của dãy số {1, 2, , n}

• Biểu diễn cấu hình một hoán vị: X[1 n]

• Tập khả năng đề cử: { 1, 2, , n }

• Nhưng do X i <> X j với i <> j Nên phải kiểm tra giá trị đề cử

cho X i phải khác với các giá trị đã chọn cho các thành phần trước đó

Hướng giải quyết chung là tổ chức các biến trạng thái lưu

trữ thông tin phục vụ cho việc kiểm tra:

Dùng mảng F[1 n] để ghi nhớ tình trạng sử dụng của từng

khả năng trong tập S={1, 2, , n}, với qui ước:

F[ j ] = 0 nếu j chưa sử dụng F[ j ] = 1 nếu j đã sử dụng

Trang 15

Thuật giải xác định phần tử Xi của một hoán vị

X[i] = j;

F[j] = 1;

Try( i + 1 );

F[j] = 0;

Trang 16

Ví dụ: Liệt kê các tập con k phần tử

• Nhưng do X i <> X j với i <> j Nên các giá trị đề cử cho X i

phải khác với các giá trị đề cử cho các thành phần trước đó Hướng giải quyết:

Dùng mảng F[1 N] để ghi nhớ tình trạng sử dụng của từng khả năng trong tập S={1, 2, , N}, với qui ước:

F[ j ] = 0 nếu j chưa sử dụng F[ j ] = 1 nếu j đã sử dụng

Trang 17

Thuật giải xác định phần tử Xi của một tập con

Trang 18

Một cách giải khác của bài toán tập con

Đưa ra điều kiện cho mỗi tập con là :

• Do đó, ta có thể giới hạn giá trị đề cử cho thành phần X[i]

trong khoảng từ : X[i-1]+1 đến (N – K + i)

• Để điều này cũng đúng cho cả trường hợp i = 1, ta thêm vào X[0] = 0.

Trang 19

Thuật giải xác định phần tử Xi của một tập con

Trang 20

KỸ THUẬT NHÁNH CẬN

Trang 21

Công dụng

• Dùng giải quyết bài toán tìm cấu hình tốt nhất trong các cấu hình liệt kê bằng thuật toán quay lui.

• Giảm thời gian thực hiện của thuật toán quay lui.

Kỹ thuật nhánh cận thêm vào cho thuật toán quay lui khả năng đánh giá cấu hình ở từng bước

Nếu tại bước thứ i đánh giá được cấu hình không tối ưu thì quay lui

ngay không cần phải gọi đệ quy tìm tiếp các thành phần khác của cấu hình.

Trang 22

Mô hình đánh giá nhánh cận

trong thuật toán quay lui:

Mô hình đánh giá nhánh cận

trong thuật toán quay lui:

// Khởi tạo cấu hình BESTCONFIG xấu nhất

void Init()

{

<Khởi tạo một cấu hình BESTCONFIG xấu nhất>

}

//Mô hình thuật toán quay lui xác định X[i] có đánh giá nhánh cận

void Try( int i )

Thử chọn Kj cho X i ;

if (còn hy vọng tìm ra cấu hình tốt hơn BESTCONFIG) Try( i+1);

Bỏ ghi nhận K j đã chọn cho X i để chọn khả năng khác;

}

Trang 23

Bài toán người du lịch

Có n thành phố (được đánh số từ 1 đến n) Một người đi du lịch xuất phát từ

một thành phố muốn đi thăm các thành phố khác, mỗi thành phố đúng một lần

rồi quay về nơi xuất phát Giả thiết biết được chi phí đi từ thành phố i đến thành phố j là C[i,j], 1 ≤ i, j < n

Hãy tìm 1 hành trình cho người du lịch để tổng chi phí theo hành trình này là ít

1 2

2 1

0 3

1 2

3 0

Trang 24

Phân tích:

• Cấu hình lời giải : X[1 n]

– X[1] = 1 được xem là thành phố xuất phát.

– Một hành trình là một hoán vị của các thành phố 2, ,n.

– Smin là tổng chi phí thấp nhất đã chọn trong các hành trình tìm

được Khởi tạo ban đầu cho Smin = Cmax * (n + 1), trong đó Cmax

là chi phí lớn nhất trong các chi phí C[i, j] đã cho – BestWay[1 n] : chứa hành trình có chi phí thấp nhất.

Trang 25

• Các vấn đề cần thực hiện khi xác định thành phần X[i]:

1 Kiểm tra khả năng đề cử cho thành phần X[i] hợp lệ: khả năng đó

chưa được chọn cho các thành phần trước X[i].

2 Ghi nhận tổng chi phí cho hành trình từ X[1] đến X[i].

3 Dự đoán cấu hình lời giải tốt hơn hay xấu hơn BESTCONFIG

Trang 26

2- Ghi nhận tổng chi phí

cho hành trình từ X[1] đến X[i]

2- Ghi nhận tổng chi phí

cho hành trình từ X[1] đến X[i]

• Mảng T[1 n] ghi nhận tổng chi phí tại mỗi bước

• T[i] chứa tổng chi phí cho hành trình từ X[1] đến X[i]

• Nếu thành phố j được đề cử cho thành phần X[i] thì:

T[i] = T[i-1] + C[X[i-1], j]

4

Trang 27

3- Dự đoán cấu hình lời giải

tốt hơn hay xấu hơn BESTCONFIG

• Gọi Cmin là chi phí thấp nhất trong các chi phí C[i, j] đã cho

• Sau khi xác định X[i], nếu đi tiếp (n – i +1) thành phố nữa thì chi phí tối thiểu phải là T[i] + Cmin*(n-i+1)

• Nếu T[i] + C[i,j]*(n-i+1) < Smin thì có khả năng tìm được hành

trình tốt hơn BESTCONFIG, ngược lại thì hành trình tìm được

sẽ không tốt hơn BESTCONFIG

Trang 28

Thuật giải xác định thành phần X[i]

void Try(int i)

{ if ( i > n )

if ( T[n] + C[x[n] , 1] < Smin ) {

Smin = T[n] + C[x[n] , 1];

Ghi nhận X là hành trình tốt nhất: Bestway = X;

} else

for (int j = 2; j <= n; j++)

if (F[ j ] = 0) {

Trang 29

Bài toán chuỗi 123

Tìm một chuỗi có độ dài n (n <= 100) chỉ gồm các số 1, 2, 3

thỏa mãn điều kiện:

1 Hai chuỗi con bất kỳ liền nhau đều khác nhau

2 Có ít số 3 nhất

Ví dụ: n = 9 Chuỗi nào sau đây hợp lệ?

131213212123212313

Trang 30

Phân tích

• Cấu hình lời giải: X[1 n]

• Tập khả năng đề cử: { 1, 2, 3 }

• Cấu hình BESTCONFIG:

1 Min3: chứa số lượng số 3 ít nhất Khởi tạo Min3 = n

2 BestStr[1 n]: chứa chuỗi có số lượng số 3 ít nhất.

Trang 31

• Các vấn đề cần thực hiện khi xác định thành phần X[i]:

1 Kiểm tra khả năng đề cử cho thành phần X[ i ] hợp lệ: nghĩa là

chuỗi X[1 i] không có 2 chuỗi con liền kề giống nhau.

2 Ghi nhận số lượng số 3 có trong chuỗi X[1 i]

3 Dự đoán cấu hình lời giải tốt hơn hay xấu hơn BESTCONFIG

Trang 32

1- Kiểm tra chuỗi X[1 i] không có 2 chuỗi con

liền kề giống nhau.

1- Kiểm tra chuỗi X[1 i] không có 2 chuỗi con

liền kề giống nhau.

int ChuoiHopLe(int i) {

Trang 33

2- Ghi nhận số lượng số 3 trong chuỗi X[1 i]

• Mảng T[1 n] ghi nhận số lượng số 3 tại mỗi bước

• T[i] chứa số lượng số 3 trong chuỗi X[1 i ]

• Nếu giá trị đề cử là 3 thì T[i] = T[i-1] +1,

ngược lại thì T[i] = T[i-1]

Trang 34

Do 2 chuỗi con kề phải khác nhau nên:

• Trong 4 số liên tiếp phải có một số 3

• Do đó, một dãy con có độ dài là k phải có ít nhất (k / 4) số 3.

• Sau khi xác định thành phần X[i] và ghi nhận số lượng số 3 trong T[i], ta còn (n – i) thành phần cần xác định.

• Do đó, cấu hình tìm được phải có ít nhất (T[i] + (n-i)/4) số lượng số 3.

• Nếu (T[i] + (n-i)/4) < Min3 thì có khả năng tìm được cấu hình tốt hơn BESTCONFIG, ngược lại thì cấu hình tìm được sẽ không tốt hơn BESTCONFIG.

Trang 35

Thuật giải xác định thành phần X[i]

Trang 36

Giải thuật chia để trị

(Devide and conquer)

Trang 37

Tổng quan giải thuật chia để trị

Kỹ thuật chia để trị bao gồm hai quá trình:

• Phân chia bài toán đã cho thành các bài toán con cùng loại, lần lượt giải từng bài toán con đó một cách độc lập.

• Tổng hợp kết quả từ bài toán con để có lời giải của bài toán ban đầu.

Thông thường, chia bộ dữ liệu đầu vào thành các phần riêng

rẽ, sau đó gọi 2 thủ tục đệ qui với bộ dữ liệu đầu vào là các phần vừa chia.

Trang 38

Một số bài toán tiêu biểu

Trang 39

Tìm nhị phân trên mảng sắp thứ tự

Bài toán : Cho mảng A[1 n] được sắp xếp theo thứ tự không

giảm và x Tìm i sao cho A[i] = x

Phân tích:

Do mảng A sắp thứ tự tăng nên x:

• Hoặc là bằng phần tử nằm ở vị trí giữa mảng A

• Hoặc là nằm ở nửa bên trái (x<phần tử ở giữa mảng A )

• Hoặc là nằm ở nửa bên phải (x>phần tử ở giữa mảng A )

Trang 40

Thuật giải: Tìm nhị phân trên mảng sắp thứ tự

int Bsearch(x, A[ ], int L, int R)

Trang 41

Bài toán tương tự:

Tìm đường đi cho xe có tải trọng lớn nhất

Bài toán tương tự:

Tìm đường đi cho xe có tải trọng lớn nhất

Có N thành phố, cho biết mỗi con đường nối từ thành phố i đến thành phố j

(với i <> j) có thể cho xe với trọng tải không quá C[i, j] đi qua

Cho thành phố xuất phát x và thành phố đích y Hãy tìm một đường đi từ

thành phố x tới thành phố y mà trọng tải lớn nhất có thể được

Ý tưởng:

• Khởi tạo: Cmax = MAX{Cij} với mọi i khác j; Cmin =Min{Cij}

• Xét đoạn [ Cmin , Cmax]

1 Đặt Cm = (Cmax+Cmin) div 2.

2 Ta kiểm tra xem có tồn tại đường đi từ x tới y cho xe có trọng tải Cm hay không?

a) Nếu tồn tại đường đi, ta ghi nhận kết quả và xét tiếp đoạn [Cm+1,Cmax].

b) Nếu không tồn tại đường đi, ta chuyển sang xét đoạn [Cmin ,Cm -1].

Trang 42

Thuật giải chọn lộ trình có tải trong lớn nhất

void Chon(int Cmin, int Cmax)

Trang 43

Thuật giải kiểm tra tồn tại lộ trình cho xe

có tải trọng Cm đi qua

Thuật giải kiểm tra tồn tại lộ trình cho xe

có tải trọng Cm đi qua

int TonTai(LoTrinh[ ], int &d, int i, int Cm)

Trang 44

Bài toán tương tự

Cho N và S là 2 số nguyên dương

Trong đó, N<= 100 và S <= 10 100

Biết rằng căn bậc N của một số S là một số nguyên < 10 6

Hãy tìm căn bậc N của S

Ví dụ:

S = 30517578125

N = 15

KQ = 5

Trang 45

Thuật toán sắp xếp mảng Quick Sort

Ý tưởng thuật toán sắp xếp tăng cho dãy X[L R]

Bước 1: Phân chia dãy X[L R] thành 2 dãy con bằng cách:

– Chọn giá trị P của 1 phần tử trên dãy X[L R] làm mốc phân

hoạch.

– Đổi chổ các phần tử X[i]>= P với các phần tử X[j]<= P, với i < j

– Khi i > j, dãy ban đầu được phân thành 2 phần:

1 X[ L j ] chứa giá trị <= P

3 X[ j i ] chứa giá trị = P

2 X[ i R ] chứa giá trị >= P

Bước 2:

Trang 46

Minh họa thuật toán

9 5

6 7

5 3

1 2

9 5

6 7

5 3

1 2

j

L

9 5

6 3

5 7

1 2

9 2

6 3

5 7

1

5

R i

2

1

9 5

6

7

3 1

2

i = R L

Trang 47

Thuật giải Quick Sort

if (X[i] <> X[j]) Hoanvi(X[i], X[j]);

i++; j ;

}

Trang 48

Nhân hai số nguyên X.Y có n chữ số

Phân tích:

Mặt khác: R = (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D

A.D+B.C = R – A.C – B.D

tiếp tục được phân chia cho đến khi 2 toán hạng chỉ có một chữsố

Trang 49

Ví dụ: nhân X=981 với Y=1234

• Trước tiên chúng ta điền thêm vào toán hạng ngắn hơn các số 0 vô nghĩa để làm cho hai toán hạng có cùng độ dài: 981 trở thành 0981

• Sau đó tách từng toán hạng thành hai nửa:

Trang 50

Thuật giải: Nhân 2 số nguyên có n chữ số

SoLon Nhan(SoLon X, SoLon Y, int n)

Trang 51

Một số bài toán buổi 3

1 Mỗi hột xí ngầu có 6 mặt, mỗi mặt chứa từ 1 đến 6 dấu chấm Liệt kê các kết

quả phân biệt có thể có khi đổ cùng lúc 3 hột xí ngầu, không kể thứ tự xuất

hiện trên các hột xí ngầu, ví dụ {1, 2, 3} và {2, 3, 1} là như nhau

2 Cho 1 mảng gồm n các số nguyên a[1], a[2], , a[n] và một số nguyên S Hãy tìm

tất cả các dãy con : 1 <= x1 < x2 < < xk <= n sao cho: a[x1] + a[x2] + + a[xk] = S

3 Tính số cách và in tất cả các cách phân tích số tự nhiên N >1 thành tổng các số

tự nhiên nhỏ hơn nó (mọi phân tích chỉ kể đúng một lần: 4+3+1 và 1+4+3 chỉ là một)

4 Hãy tìm tập hợp các dấu '+’, ‘-‘ và không dấu giữa dãy số 123456789 sao cho

được một biểu thức có giá trị bằng = N cho trước Ví dụ: N = 280 ta có các tổ

hợp sau: 1+2+345-67+8-9; 1+234-5+67-8-9; 123-4+5+67+89

5 Cho một dãy N số nguyên Hãy loại bỏ khỏi dãy một số phần tử để được một

dãy con, có ít nhất 2 phần tử, không giảm và dài nhất In ra dãy con đó.

Ví dụ: N = 10

2 6 -7 5 8 1 -3 5 15 9

Trang 52

6 Trên bàn cờ ô vuông 4x4 xếp 8 quân cờ gồm 4 quân màu đen và 4 quân màu trắng sao

cho trên mỗi hàng và mỗi cột có đúng một quân màu đen và 1 quân màu trắng Thể hiện trên màn hình các cách sắp xếp này

7 Một người cha mang theo số tiền là M vào một cửa hàng để mua K món quà để tặng cho

các con Trong cửa hàng có N mặt hàng, mặt hàng thứ i có giá tiền là Ai Người cha cần chọn K (K < N) mặt hàng khác nhau để làm quà sao cho tổng số tiền của K mặt hàng này không lớn hơn số tiền mang theo và độ chênh lệch giá tiền của K mặt hàng là thấp nhất.

8 Một dây chuyền sản xuất có N (N<=100) vị trí Có N công nhân, cho biết năng suất của

công nhân thứ i mà làm ở vị trí thứ j là Cij (Cij : Integer) Hãy sắp xếp N công nhân vào N

vị trí sao cho đạt năng suất cao nhất.

9 Cho ma trận vuông cấp 8 chứa các số nguyên Tìm giá trị lớn nhất của tổng 8 số hạng

trên ma trận số trên sao cho 2 số hạng bất kỳ trong 8 số hạng trên không nằm trên cùng một hàng, không cùng nằm trên một cột và không cùng nằm trên đường chéo

10 Cho một bảng A có M hàng, N cột (3 ≤ M, N ≤ 50), Mỗi phần tử của bảng là một số nguyên

nhận giá trị từ 0 đến 99 Cho một số K (2 ≤ K ≤ Min(M, N)) Tìm K phần tử trong bảng A để tổng của K phần tử này là lớn nhất, với điều kiện là trên mỗi hàng chọn nhiều nhất một

phần tử, mỗi cột chọn nhiều nhất một phần tử.

11 Một cơ sở sản xuất cần phân công M nhân viên tham gia thực hiện N hợp đồng sản xuất

sản phẩm (M >= N) Mỗi nhân viên chỉ tham gia thực hiện một hợp đồng Người ta dự

tính rằng, nếu phân công i nhân viên tham gia thực hiện hợp đồng j thì có thời gian hoàn thành hợp đồng là T[i,j] Hãy tìm phương án phân công mỗi hợp đồng bao nhiêu nhân

viên sao cho tổng số thời gian hoàn thành N hợp đồng là ít nhất.

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	210,72 KB