Tập hợp mat (n, k) trong cấu trúc nhóm vành và không gian vectơ

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về Đại số tuyến tính và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về ma trận, em đã chọn đề tài: “Tập hợp Mat n k , với cấu trúc nhóm, vành và không gian vectơ” là

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về Đại số tuyến tính và tìm

hiểu sâu sắc hơn nữa về ma trận, em đã chọn đề tài: “Tập hợp Mat n k( , ) với cấu trúc nhóm, vành và không gian vectơ” làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về cấu trúc không gian vectơ, cấu trúc nhóm, vành trên tập các ma trận vuông cấp n Mat n k và mối quan hệ của chúng với vành các tự ,đồng cấu tuyến tính của một không gian vectơ n chiều End V

3 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích các tài liệu liên quan

Tham khảo ý kiến của thầy cô và bạn bè

4 Cấu trúc khóa luận

Nội dung của khóa luận được chia làm hai phần:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tập hợp Mat n k với cấu trúc nhóm, vành và không gian ,vectơ

Cho X là một tập tùy ý Ta gọi là một phép toán hai ngôi xác định trên

tập hợp X , mỗi ánh xạ đi từ tập X X đến X Ký hiệu phép toán hai ngôi là :X X X, ( , )x y a x y thì x y được gọi là tích ( hay hợp thành ) của x vày

Phép toán * được gọi là có luật kết hợp nếu:

Giả sử phép toán * có phần tử đơn vị e Một phần tử y X được gọi

là phần tử nghịch đảo của một phần tử x X nếu:

x y y x e

Do tính đối xứng của x và y trong định nghĩa trên nên nếu y là phần

tử nghịch đảo của x thì x cũng là phần tử nghịch đảo của y

1.1.3 Định nghĩa

Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp đã cho trong X Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi là một vị nhóm Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán

ngôi sau đây: Phép cộng, phép nhân, phép lấy Ước chung lớn nhất, phép lấy Bội chung nhỏ nhất là một nửa nhóm giao hoán

1.1.4 Định nghĩa

Một tập hợp X được gọi là một nhóm với phép toán * nếu X thỏa mãn những điều kiện sau:

i) Phép toán * có tính chất kết hợp,

ii) Phép toán * có phần tử đơn vị,

iii) Mọi phần tử của X đều có phần tử nghịch đảo

Nếu phép toán * có thêm luật giao hoán thì X được gọi là một nhóm giao hoán hay là một nhóm Abel

Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh thì gọi là một đơn cấu nhóm Một đồng cấu nhóm đồng thời là một toàn ánh được gọi là một toàn cấu nhóm, một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là một đẳng cấu nhóm

Nếu có một đẳng cấu nhóm từ X vào Y thì ta nói nhóm X đẳng cấu với nhóm Y và viết X Y

Nếu phép nhân có phần tử đơn vị 1, tức là có 1 X sao cho:

1.x x.1 x, x X thì X được gọi là vành có đơn vị, 1 gọi là đơn vị của vành

Nếu phép nhân có tính chất giao hoán và có phần tử đơn vị thì X gọi là

vành giao hoán có đơn vị

cộng và nhân thông thường

Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được định nghĩa

tương tự như đối với trường hợp nhóm

1.1.8 Định nghĩa

Một phần tử a 0 của một vành X gọi là một ước của không nếu và

chỉ nếu tồn tại một phần tử b 0 của X sao cho ab 0

1.2 Không gian vectơ

thỏa mãn những điều kiện ( hoặc các tiên đề ) sau đây:

Khi k ¡ thì V được gọi là không gian vectơ thực Khi k £ thì V

được gọi là không gian vectơ phức

Ví dụ:

1.k là một không gian vectơ vì phép cộng và phép nhân vectơ của một trường thỏa mãn hệ tiên đề của không gian vectơ, trong đó vectơ không là phần tử 0 và a là vectơ đối của mọi phần tử a thuộc k

2 kn là một không gian vectơ với phép cộng và nhân vô hướng:

x1, ,x n y1, ,y n x1 y1, ,x n y n

x1, ,x n x1, , x n

trong đó vectơ 0r là ( 0, …,0), vectơ đối của x1, ,x là n x1, , x Do n

các phép tính này được thực hiện theo từng tọa độ nên ta chỉ cần kiểm tra hệ

tiên đề của không gian vectơ có đối với từng tọa độ một, có nghĩa là đối với

k Các tiên đề này là hiển nhiên do k là một không gian vectơ

1.2.2 Định nghĩa

a) Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ r1, , rn V là một biểu thức dạng:

1 1 1

Trong không gian vectơ V

a) Hệ vectơ r1, , rn được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

a) Một hệ vectơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ

của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

b) Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của

V đều biêu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

ii) r1, , rn là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V

iii) r1, , rn là một hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của V

Nếu V 0r , ta quy ước dimV 0

b) Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi

là không gian vectơ vô hạn chiều

1.2.7 Định nghĩa

Giả sử V là k_Không gian vectơ và W là một tập con của V Ta bảo

tập V là ổn định ( hay đóng kín ) đối với 2 phép toán trên V nếu:

r r W r, r W

r W k, r W

Ta bảo tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với

hai phép toán trên V và cùng với hai phép toán của V hạn chế trên nó, W

cũng là một không gian vectơ trên trường k

1.2.8 Định lý

Giả sử W là một tập con của k _Không gian vectơ V Thế thì W là một không gian vectơ con của V khi và chỉ khi W và W ổn định đối với hai phép toán của V

Cho V W, là hai không gian vectơ trên trường k Ánh xạ f: V W

được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:

f r r f r f r

f r f r

với mọi r, r V và mọi k

Ánh xạ tuyến tính cũng còn được gọi là đồng cấu tuyến tính, hay một cách vắn tắt là đồng cấu

Ánh xạ tuyến tính f : V W được gọi là:

a) Một đơn cấu nếu f là đơn ánh

b) Một toàn cấu nếu f là toàn ánh

c) Một đẳng cấu nếu f là song ánh

CHƯƠNG 2 : TẬP HỢP Mat n k , VỚI CẤU TRÚC NHÓM,

VÀNH VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ

a

K được gọi là cột thứ j của ma trận

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A B, ,….Ma trận được kí hiệu

đơn giản bởi: A = ij

k được kí hiệu là Mat n k ,

Tập hợp Mat n k cùng với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma ,

trận với một vô hướng lập thành một không gian vectơ trên trường k có số chiều là 2

E i j n là ma trận gồm toàn phần tử 0, loại trừ thành phần duy nhất

bằng 1 nằm trên giao của dòng i và cột j Lúc đó, ij ,

n

A a Mat n k ta

đều có:

e E i j n độc lập tuyến tính trong Mat n k Vậy hệ e là một ,

cơ sở của không gian vectơ Mat n k Do đó , 2

Vậy t là đơn cấu tuyến tính

Mặt khác Mat n k có số chiều hữu hạn là , 2

n nên đơn cấu t cũng là toàn cấu và do đó t là đẳng cấu

Trước hết ta chứng minh S n là một không gian con của Mat n k ,

Hiển nhiên S n Mat n k ,

hệ e dễ dàng suy ra tính độc lập tuyến tính của hệ e là vì nếu có: 1

Ta chứng minh A n là một không gian vectơ con của không gian Mat n k ,

Hiển nhiên A n Mat n k ,

nên e là một hệ sinh của A n 2

Từ tính độc lập của hệ e , dễ dàng suy ra được hệ e cũng độc lập 2

tuyến tính Vậy e là một cơ sở của A n Do đó 2 dim 1

Khi đó ma trận B là một ma trận duy nhất có tính chất đó Nó được gọi

là ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu là 1

A

2.2.5 Định lý

A là ma trận khả nghịch khi và chỉ khi detA 0 Hơn nữa ta còn có:

Trước hết ta chứng minh GL n k, khép kín đối với phép nhân ma trận

Giả sử A B, GL n k, , khi đó tồn tại các ma trận 1 1

Lại có phép nhân các ma trận vuông trong Mat n k, có tính chất kết hợp phép nhân các ma trận vuông trong GL n k cũng có tính chất kết ,hợp

Phần tử đơn vị đối với phép nhân trong Mat n k chính là phần tử đơn ,

vị I n GL n k ,

Theo định nghĩa của GL n k , mỗi ma trận trong đó đều có nghịch ,

đảo Suy ra nghịch đảo 1

A của mỗi ma trận A GL n k cũng là phần tử của ,,

2.3 Tự đồng cấu tuyến tính và ma trận

2.3.1 Định nghĩa

Cho V là k-không gian vectơ n chiều và e er1, ,ern là một cơ sở

của V Khi đó mỗi tự đồng cấu f V: V được xác định duy nhất bởi hệ

vectơ f er1 , f er2 , , f ern Các vectơ f erj lại biểu thị tuyến tính một

cách duy nhất qua cơ sở e :

1

n

j ij j i

1

1

, 1, ,, 1, ,

n

j ij i i n

j ij i i

Như vậy, ta có End V với phép toán cộng các tự đồng cấu của V là

một nhóm abel Điều này có ngay vì End V là một không gian vectơ

Dễ kiểm tra: tích của 2 tự đồng cấu của V lại là một tự đồng cấu của V

Tính chất kết hợp của phép toán nhân các tự đồng cấu của V suy ra từ

tính chất kết hợp của phép toán nhân các ánh xạ

Ánh xạ đồng nhất id là phần tử đơn vị của phép nhân V

Cuối cùng dễ thử tính chất phân phối về 2 phía của phép nhân với phép cộng Thật vậy, với f g h, , End V và x Vr ta có:

Nhận xét: Khi n 1, End V là một vành giao hoán

Khi n 1, cũng giống như vành Mat n k ta có End V là một ,vành không giao hoán

2.3.4 Định lý

Cho e er1, ,ern là một cơ sở của k- không gian vectơ V Khi đó a) Ánh xạ đặt tương ứng mỗi f End V với ma trận M f của nó trong cơ sở e là một đẳng cấu vành từ vành End V vào vành

,

Mat n k

b) f End V là một tự đẳng cấu của V khi và chỉ khi M f là một

ma trận khả nghịch

Chứng minh:

a) Theo định lý 2.3.2, ánh xạ M End V: Mat n k nên , M là một đẳng cấu từ nhóm abel End V , lên nhóm abel Mat n k, , Vậy, để chứng minh M là một đẳng cấu từ vành End V vào vành Mat n k ta cần ,chứng minh rằng M bảo toàn phép toán nhân, tức là với f g, End V ta

gof er c er , j 1, ,n (1) thì ta có:

c b a , i j, 1, ,n

Điều này nói lên rằng C BA hay M gof M g M f

b) f là một tự đẳng cấu của V có g End V sao cho

Cho W , W là hai không gian vectơ con của 1 2 k- không gian vectơ n

chiều V mà n dimW1 dimW2 Khi đó tồn tại End V mà

Vì dimV dimW1 dimW2 2k p q

nên có thể chọn được er1, , , , , , , ,e zrk r1 z arq r1 ark, w , , wr 1 r p là cơ sở của V

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: A Mat n k là một ước của không của vành , Mat n k khi và chỉ ,

khi A 0 và detA 0

Thật vậy: Nếu A là ước của không của vành Mat n k , theo định nghĩa ,1.1.8 thì A 0 và B Mat n k , , B 0 sao cho AB 0 Ta có detA 0 vì nếu trái lại detA 0 thì A khả nghịch và ta có :

.0 0

KK

là một đẳng cấu vành Do đó là ước của không trong

End V A M là ước của không trong Mat n,k A 0 và detA 0

0 và det 0

KẾT LUẬN

Trên đây là bài khóa luận của em về vấn đề: Tập hợp Mat n k với ,cấu trúc nhóm, vành và không gian vectơ Phần nội dung chính của khóa luận này trình bày về cấu trúc không gian vectơ, cấu trúc vành trên tập các ma trận vuông cấp n Mat n k và mối quan hệ của chúng với vành các tự đồng cấu ,

tuyến tính của một không gian vectơ n chiều End V

Một lần nữa em xin cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy

cô trong tổ Hình, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong Trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy Phan Hồng Trường để em hoàn

thành tốt bài khóa luận này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Mặc dù đã

có nhiều cố gắng song không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên cho bài khóa luận của em

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Hường

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Hữu Việt Hƣng, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học

Quốc Gia Hà Nội – 2001

2 Phan Huy Phú Nguyễn Doãn Tuấn, Bài tập Đại số tuyến tính, NXB

Đại học Quốc Gia Hà Nội – 2001

3 Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục – 2001

Mân Nguyễn Anh, Đại số tuyến tính và hình học giải tích, NXB Đại học

Quốc Gia Hà Nội – 1998

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy

cô giáo trong tổ Hình học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

Em xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phan Hồng Trường,

người đã tận tình chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài khóa luận

Do điều kiện thời gian có hạn và kinh nghiệm của bản thân em còn nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì thế, em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến nhận xét của các thầy cô giáo và các bạn đọc để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Hường

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận

tình của thầy Phan Hồng Trường

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Em xin khẳng định kết quả của đề tài này không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Nguyễn Thị Hường

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Nội dung 2

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Nhóm, vành 2

1.2 Không gian vectơ 5

1.3 Ánh xạ tuyến tính 9

Chương 2: Tập hợp Mat n k với cấu trúc nhóm, vành và , không gian vectơ 11

2.1 Không gian vectơ Mat n k 11 ( , )

2.2 Vành các ma trận vuông cấp n Mat n k 18 ( , )

2.3 Tự đồng cấu tuyến tính và ma trận 24

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33