Toán tử tuyến tính trong không gia l2a,b và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Khóa luận với đề tài: “Toán tử tuyến tính trong không gian L2[a,b] và ứng dụng” được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự động viên, khích lệ của các thầy c

Trờng đại học sƯ phạm hà nội 2

Khoa toán

*************

HOàNG THị DUYÊN

TOáN Tử TUYếN TíNH TRONG

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành : Giải tích

Hà NộI – 2013

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận với đề tài: “Toán tử tuyến tính trong không gian L2[a,b]

và ứng dụng” được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,

dưới sự động viên, khích lệ của các thầy cô, bạn bè và gia đình

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán đã đào tạo và trang bị cho em những kiến thức cơ bản giúp em thực hiện khóa luận này Đồng thời, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới gia đình, bạn

bè, những người đã động viên, khuyến khích, tạo mọi điều kiện để em có thể hoàn thành khóa luận thành công

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Phùng Đức

Thắng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận

Trong quá trình thực hiện khóa luận, em không tránh khỏi những thiếu xót, kính mong các thầy cô nhận xét và góp ý để bài nghiên cứu của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện Hoàng Thị Duyên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những vấn đề tôi trình bày trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi, được sự hướng dẫn tận tình của ThS Phùng Đức Thắng, không trùng với kết quả của các công trình nghiên cứu khác

Nếu sai xót tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên thực hiện Hoàng Thị Duyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Tích vô hướng 4

1.2 Không gian Hilbert 5

1.3 Không gian L2[a,b] 6

Chương 2 Toán tử tuyến tính trong không gian L2[a,b] 8

2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 8

2.2 Toán tử compact 12

2.3 Toán tử tự liên hợp 20

2.4 Toán tử compact tự liên hợp 22

2.5 Toán tử dương 24

2.6 Toán tử chuẩn tắc 28

2.7 Toán tử Unita 29

Chương 3 Ứng dụng: Giải phương trình tích phân 32

KẾT LUẬN 42

Tài liệu tham khảo 43

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vào đầu thế kỉ này, nhiều nhà toán học đã dành thời gian của họ cố gắng sử dụng những ý tưởng và những kĩ thuật trừu tượng để giải quyết hầu hết những vấn đề thực tiễn Lí do cho sự sử dụng trừu tượng này trở nên rõ ràng hơn khi tái cấu trúc toán tử trong 1 không gian Hilbert Ví dụ như 1 toán tử được coi như là 1 điểm trong không gian thích hợp và 1 toán tử tích phân được xem như là 1 ánh xạ từ 1 điểm vào điểm khác Khái niệm về 1 điểm dẫn đến việc hiểu về đối tượng đơn giản hơn so với

đã tưởng tượng về nó Với cách này chúng ta có thể hình dung ra những cấu trúc tổng quát và đạt được sự hiểu biết sâu sắc hơn về vấn đề phức tạp đã nói tới

Với mong muốn tìm hiểu sự trừu tượng hóa trong những vấn đề như:

phương trình tích phân và giải tích hàm, em đã lựa chọn đề tài “Toán tử

tuyến tính trong không gian L2[a,b] và ứng dụng” để nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận sẽ chú ý vào 6 loại toán tử tuyến tính khác nhau trong không gian L2[a,b] Đó là các toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử compact, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử chuẩn tắc và toán tử Unita Sáu toán tử này có những tính chất rất đặc biệt

Mục đích của chúng ta là đưa ra nền tảng cho 6 loại toán tử khác nhau đã được đề cập ở trên Để thực hiện điều này, khóa luận đưa ra những ví dụ cho mỗi loại toán tử với những kết quả nhất định từ những phương trình tích phân và giải tích hàm Điều này cho phép chúng ta có động lực để tiếp tục nghiên cứu những toán tử này

Chúng ta bắt đầu bởi việc xem xét toán tử bị chặn, mà ở đó đặt ra cơ

sở cho việc nghiên cứu những toán tử về sau Toán tử tiếp theo được

kiểm tra là toán tử compact Toán tử compact được trình bày với sự chi tiết vì nó rất hữu dụng Chúng ta cũng chú ý đến những toán tử vừa compact và tự liên hợp Sự kết hợp này trong 1 toán tử đưa cho chúng ta những định lí nói về những tính chất của những hàm riêng và giá trị riêng của toán tử Tiếp theo khóa luận trình bày về toán tử dương, mà ở

đó đưa ra kết quả quan trọng là định lí Mercer Những toán tử chuẩn tắc

có 1 tính chất tuyệt vời được đưa ra dưới dạng 1 định lí giúp chúng ta sử dụng lí thuyết của những toán tử tự liên hợp trên những toán tử chuẩn tắc Kết thúc mục II là phần trình bày về toán tử Unita và chúng liên quan đến các toán tử khác như thế nào Sau phần nội dung là việc trình bày về phương trình tích phân, bao gồm sự phân loại các phương trình tích phân và các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là không gian L a b2 ,  và các tính chất của những toán tử trên không gian này cùng ứng dụng của nó ở phương trình tích phân

Phạm vi nghiên cứu là các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert

4 Phương pháp nghiên cứu

-Nghiên cứu sử dụng các lí luận, công cụ toán học

-Nghiên cứu sách tham khảo và các tài liệu liên quan

-Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương và có bố cục như sau:

Chương I Kiến thức chuẩn bị

1.1 Tích vô hướng

1.2 Không gian Hilbert

1.3 Không gian L2[a,b]

Chương II Toán tử tuyến tính trong không gian L2[a,b] 2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn

2.2 Toán tử compact

2.3 Toán tử tự liên hợp 2.4 Toán tử compact tự liên hợp 2.5 Toán tử dương

2.6 Toán tử chuẩn tắc

2.7 Toán tử Unita

Chương III Ứng dụng: Giải phương trình tích phân

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tích vô hướng

Định nghĩa 1.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là hoặc ) Gọi tích vô hướng trên không gian X là một ánh xạ từ tích Descartes X Xx vào P, kí hiệu , thỏa mãn:

1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính trên hoặc được trang bị tích vô hướng, X được gọi là không gian Hilbert nếu mỗi dãy Cauchy trong X hội tụ đến một phần tử của X

với nhau nếu x y , 0, kí hiệu là x  y và là trực chuẩn nếu có thêm

x  y 

Định nghĩa 1.4 Một hệ trực chuẩn e n, n 1, 2, 3 trong một không gian Hilbert X là đủ nếu phần tử duy nhất của X trực giao với tất cả e n là vectơ 0

Định lí 1.2 Cho e n, n 1, 2, 3 là một hệ trực chuẩn đủ trong không gian Hilbert X Khi đó  x X ta có

Định nghĩa 1.5 Cho A là một tập hợp những vectơ trong không gian Hilbert X Khi đó Lin A ( )

là giao của tất cả những không gian con của

X mà chứa A và Clin A ( )

là bao đóng của Lin A ( ) Cách khác Lin A ( ) là tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của những phần tử của A Nếu A hữu hạn thì Clin A ( )  Lin A ( )

Định lí 1.3 Cho e n, n 1, 2, 3 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert X Khi đó những phát biểu sau là tương đương

Định lí 1.4 (Bất đẳng thức Schwarz) Cho f , gL a b2 ,  Khi đó

CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN L2[a,b]

2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn

Một toán tử tuyến tính là một hàm K X :  X thỏa mãn điều kiện sau

K f g K f K g với  f g ,  X ; ,    F

Định nghĩa 2.2 Một toán tử tuyến tính K trên không gian Hilbert X

được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M 0 sao cho Kf M f (*),

f X

 

Số M 0 nhỏ nhất thỏa mãn (*) được gọi là chuẩn của K, kí hiệu là K

Định lí 2.1 Xét không gian L a b2 ,  ở đó a b,  là một đoạn hữu hạn Giả sử K x y ,  liên tục từ a b,   a b,  vào Khi đó toán tử K được xác định bởi

1 2 2

Ví dụ 2.2 Giả sử a b , và ab Xét không gian vectơ định chuẩn

của L a b2 ,  tất cả những hàm giá trị phức đo được Lesbegue và bình

phương khả tích trên a b,  với chuẩn

Không khó để kiểm tra rằng T L a b: 2 , L a b2 ,  là một toán tử tuyến

tính Hơn nữa với  f L a b2 , , ta có

2 [ , ]

2 2 [ , ]

  (Chuẩn cận trên đúng của  trong C a b , )

Ví dụ 2.3 Giả sử a b c d  , , , với a b c d    Xét 2 không gian vectơ định chuẩn L a b2 ,  và L c d2 ,  với 2 chuẩn tương ứng

1 2 2

b a

K x  K x t  t dt

 ,   

b a

HilbertXvà  f n là một dãy bị chặn vô hạn trong X Nghĩa là tồn tại M

sao cho f n M với n

K được gọi là toán tử compact nếu từ dãy Kf n có thể lấy ra 1 dãy con  Kf n k là một dãy Cauchy Dãy  Kf n k cũng hội tụ vì X là không gian Hilbert

Định nghĩa 2.4 Giả sử K x y ,  là một hạt nhân được xác định trên hình vuông a b,   c d,  và có hữu hạn các hàm a1, ,a n, , ,b1 b n sao cho

Trong trường hợp này hạt nhân K được gọi là suy biến

Định lí 2.2 Cho X là L a b2 , , K là một toán tử tích phân suy biến được xác định bởi

1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

b m

Cũng lập luận tương tự, chúng ta có thể cũng lấy ra một dãy con

b y f y dy

  hội tụ đến c2 Bằng việc lấy ra những dãy con liên tiếp, cuối cùng chúng ta được   m

Nên K là một toán tử compact

Định lí 2.3 Cho K x y ( , ) liên tục trên a b,   a b,  vào Khi đó toán

tử tích phân

1

0 (Kf )( )x  K x y f y dy( , ) ( )

là một toán tử compact trên L2[0,1]

Xét họ những hàm g n x  , ở đóg n Kf n Ta sẽ chỉ ra rằng có một dãy con hội tụ g n x  hội tụ đến một hàm trong L2 0;1 Để thực hiện điều này, chúng ta chọn một tập hợp trù mật đếm được của những điểm trên đoạn [0,1] Những số hữu tỉ có thể chấp nhận được Chúng ta kí hiệu là

Chúng ta lặp lại quá trình này tại tất cả các số hữu tỉ Cuối cùng xét

họ những hàm   n   

n

g x Dãy này hội tụ tại tất cả các số hữu tỉ

Để thuận tiện chúng ta coi dãy   n   

n

g x là dãy g n x  và có lim n( )k ( )k

sao cho g x  chỉ được xác định cho những giá trị hữu tỉ của x Chúng

ta có thể chỉ ra rằng trên những số hữu tỉ g x liên tục Cho x1 và x2 là 2

số hữu tỉ

Bây giờ chúng ta có thể xác định g x với    0 x 1

Cho x là bất kì và  x k là một dãy những số hữu tỉ sao cholim k

nên nó cũng liên tục đều và do đó thuộc L2[0,1] Vì vậy toán tử K là compact

* Có thể thay thế điều kiện hạt nhân liên tục trong định lí 2.3 bằng L2-hạt nhân là hạt nhân thỏa mãn điều kiện

2 ( , )

b b

a a

 

Hilbert X sao cho với toán tử K được xác định trên X ta có

Cho  f n là 1 dãy bị chặn vô hạn bất kì Ta có thể chọn 1 dãy con

 f n(1) sao cho K f 1 n(1) là 1 dãy Cauchy Từ dãy  f n(1) , ta chọn dãy con f n( 2 ) sao cho K f 2 n( 2) là 1 dãy Cauchy Tiếp tục quá trình này ta thu được trình tự của những dãy con sau

 f n    f n(1)  f n( 2)   f n( )n 

sao cho K f k n( )k là 1 dãy Cauchy với k 1, 2, ,n

Cuối cùng ta chọn dãy f n( )n  là dãy con của mọi dãy f n( )k , có thể chấp nhận cho 1 số hữu hạn những số hạng nên K f k n( )n  sẽ là 1 dãy Cauchy với k

Bây giờ, ta chỉ ra rằng Kf n( )n  là 1 dãy Cauchy mà từ đó có thể kết luận rằng K là compact

2 [0,1]

L

Chứng minh

Vì C2 0;1 là trù mật trong L2[0,1], chúng ta có thể xét một hạt nhân ( , )

K x y trên L2[0,1] như là một giới hạn của những hạt nhân liên tục ( , )

Chứng minh

Vì một hạt nhân bị chặn là L2-hạt nhân, và do đó là compact Chúng

ta chọn 1 xấp xỉ với K x y ( , ) bởi 1 hàm bằng với K x y ( , ) nếu x y  vượt quá 1hằng số cho trước và bằng 0 ở những nơi khác Cho

0,,

, ,

nÕu x y

h x y

Khi đó nếu M supm x y ,  : x y, a b,   a b,  , chúng ta thấy rằng

2 ( , )

(1 )

x x

2 ( , )

2(1 )

M H

nếu

Kx y  x Hy   x X y Y , Toán tử liên hợp của K thường kí hiệu là K

Những toán tử tích phân trên L2[a,b] chỉ như những ma trận trên

những không gian hữu hạn chiều có những liên hợp Tính chất cơ bản

của liên hợp như thế được miêu tả bởi mối quan hệ sau

Kf g,  f K g,  (2.1) với f g , trong không gian

Chúng ta thấy rằng (2.1) được thỏa mãn phương trình (2.2), từ đó suy ra

liên hợp của 1 toán tử tích phân cũng là 1 toán tử tích phân mà hạt nhân

của nó đơn giản liên quan đến hạt nhân của K

tính bị chặn từ X vào chính nó Nếu T T, chúng ta nói toán tử T là tự

liên hợp

Ví dụ 2.6 Cho X= (L2[a,b], ), ở đó  a  b  và  là đo được

Lesbegue của [a,b] Cho T X :  X, f x Tf x xf x  Khi đó T

Ví dụ 2.7 Cho

0 (Kf)( )x  f y dy( ) Khi đó K là 1 toán tử compact trên

Do đó K K, như vậy K không tự liên hợp

2.4 Toán tử compact tự liên hợp

riêng khác 0 và   i như là những vectơ riêng tương ứng của K và không gian Hilbert là L2[a,b] thì

[a,b], do đó ( )

b a

b b

i i

a a

i i

Định nghĩa 2.7 Một toán tử tự liên hợp K

tác dụng lên 1 không gian Hilbert X được gọi là dương nếu Kf f , 0,   f X

Ví dụ 2.9 Xét toán tử tuyến tính bị chặn K trên L2[0,1] được xác định bởiKf  x xf x 

Khi đóK là 1 toán tử dương vì

Cho một y cố định là y, ta có

2 0

nên kết hợp với (2.9) suy ra tổng ở (2.6) với y cố định sẽ hội tụ đều và liên tục tại x Dẫn đễn chuỗi ở vế (2.6) là 1 hàm liên tục tại x với mọi

Do đó cho   0, N   sao cho

0 k n( )y  , n N  

Cuối cùng sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

Định nghĩa 2.8 Cho T X :  X là 1 toán tử tuyến tính liên tục với toán

tử liên hợp T Khi đó T được gọi là chuẩn tắc khi và chỉ khi

T T T T

Ví dụ 2.10 Cho toán tử bị chặn T trên L2 [0,1] được xác định bởi

1 ix 1

1 1 i(s )

gọi là Unita nếu nó thỏa mãn những điều kiện sau

Toán tử F chính xác có 4 giá trị riêng 1, , 1, i   i, mỗi giá trị riêng là bội





là 1 dãy Cauchy trong L2[- , ]   mà giới hạn của nó là f x  và rõ ràng

xác định 1 dãy Cauchy thứ 2 trong L2[- , ]   Từ đó có

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

Phương trình với hàm ẩn dưới dấu tích phân được gọi là phương trình tích phân Phương trình có dạng

   ,   

x a

 

ở đó  đã cho và f là hàm ẩn được gọi là phương trình tích phân Volterra loại 1, hàm K là hạt nhân Nếu hàm ẩn cũng xuất hiện ngoài dấu tích phân

   ,     

x a

được gọi là phương trình tích phân Volterra loại 2

Tương tự, phương trình với những cận tích phân như sau

   ,   

b a

được gọi là những phương trình tích phân Fredholm loại 1 và 2

Nếu  0 thì phương trình được gọi là thuần nhất, ngược lại nó là không thuần nhất

Bổ đề 3.1 (ánh xạ co) Cho S là 1 tập con đóng của 1 không gian Banach và cho T S :  S là 1 ánh xạ co Khi đó

i) Phương trình Tx  x có 1 và chỉ 1 nghiệm trong S và

ii) Nghiệm duy nhất x có thể thu được từ giới hạn dãy  x n của những phần tử của S được xác định bởi x n Tx n1, n 1, 2, ở đó x là

Bổ đề trên không chỉ thể hiện kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất

mà còn đưa ra 1 thuật toán cho việc tìm nghiệm bởi 1 phương pháp lặp, được biết như phương pháp xấp xỉ liên tiếp Bổ đề 3.1 còn được sử dụng

để chứng minh sự tồn tại và tìm nghiệm của những phương trình tích phân, vi phân và đại số

Bổ đề sau đây là sự tổng quát hóa hữu dụng cho bổ đề 3.1 Nó có vai trò quan trọng cho chứng minh về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của 1 loại phương trình tích phân nào đó