Các dạng cơ bản của mặt trong En và ứng dụng

Các dạng cơ bản của mặt trong En và ứng dụng 24... Trong đó Hình học vi phân là môn quan trọng, chủ yếu nghiên cứu vềhình học của đường và mặt trong không gian E3 thông qua các loại độ c

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập và nghiên cứu khoa học tại Trờng Đại học S phạm Hà Nội

2, em đã nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ của tất cả các thầy giáo, cô giáo trong trờng, đặc biệt là sự hớng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm.

Để hoàn thành bài tập nghiên cứu này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian thực hiện đề tài Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học Khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ cũng nh đóng góp ý kiến để đề tài của em đợc hoàn thành.

Đề tài này chỉ nghiên cứu trong phạm vi nhỏ nên không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Em mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô.

Em xin chân thành cảm ơn!

Xuân Hòa, ngày tháng năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phùng Thị Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi.

Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu của mình không trùng với kết quả của tác giả khác.

Hà Nội, tháng năm 2012

Sinh viên

Phùng Thị Huyền

3 Khách thể và đối tợng nghiên cứu 5

4 Giả thuyết khoa học 6

5 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu 6

6 Phơng pháp nghiên cứu 6

Chơng 2 Các dạng cơ bản của mặt trong En và ứng dụng 18

2.1 Đa tạp hai chiều trong En 182.2 Ánh xạ Wiengarten 20 2.3 Các dạng cơ bản của mặt trong En và ứng dụng 24

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Toán học, môn hình học là một môn khó và rất trừu tượng Hìnhhọc trong không gian rất đa dạng và phong phú nhưng lại rất thực tiễn Từnhững hình đơn giản, những vật xung quanh chúng ta, nhờ hình học mà tahiểu được phần nào về cấu tạo của chúng, có hình dạng như thế nào trongkhông gian n chiều

Trong đó Hình học vi phân là môn quan trọng, chủ yếu nghiên cứu vềhình học của đường và mặt trong không gian E3 thông qua các loại độ cong,gắn liền với các đối tượng hình học trong cuộc sống, các thực thể trong khônggian 2 chiều và 3 chiều, đặc biệt đối với phần mặt trong E3 có nhiều ứng dụngtrong thực tế và các ngành khoa học khác Giúp chúng ta tư duy, tưởng tượng

cụ thể và chính xác Vì thế mà em đã chọn đề tài khóa luận: "Các dạng cơ

bản của mặt trong E n và ứng dụng".

2 Mục đích nghiên cứu

Đối với các dạng cơ bản của mảnh tham số trong không gian thì việcgiải chúng sẽ gặp rất nhiều khó khăn Vì vậy để giải được những bài toán đóchúng ta cần có cách giải, cách nhận dạng và ứng dụng của chúng Vì thếtrong khóa luận trình bày các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng như sau:

+ Các định nghĩa các dạng cơ bản của mặt trong En

+ Tìm được các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

a) Khách thể nghiên cứu

Sách hình học vi phân (giáo trình, bài tập, sách tham khảo)

b) Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu và tìm hiểu về các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng của

nó trong không gian của hình học vi phân

4 Giả thuyết khoa học

Vấn đề về các dạng cơ bản của mặt trong En và ứng dụng có vai trò rất

quan trọng Nếuvấn đề này đượcđổi mới với một

hệ thống phươngpháp, hình thứcphù hợp thì nó sẽtrở thành công cụhữu hiệu cho cácnhà quản lí nângcao chất lượng giáodục và đào tạo củanhà trường, nângcao tinh thần chủđộng sáng tạo tíchcực học tập rènluyện của sinh viênnói chung

5 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở líluận của vấn đề tìmhiểu các dạng cơ bản của mặt trong

En và ứng dụng của sinh viên

- Tìm hiểu phương pháp giải bài tập quacác dạng của mặt.7

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các sách giáo trình và tra cứu tài liệu

8

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Đạo hàm của hàm vectơ

Khi U = J (là 1 khoảng trong R), cho hàm vectơ

Kí hiệu  ′ ∆

t → 0 ∆t

Khi đó ta gọi X khả vi tại to

 

k (x) x

Nhắc lại rằng không gian Euclid En là một không gian afin liên kết vớikhông gian vectơ Euclid 

En Hai điểm p, q của En xác định một vectơ

= α hay q của E= n làp + α Thường nói, các phần tử

các “vectơ tự do” của En Nhưng trong hình học, vật lí, còn cần đến các

TEn gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của En

α là kí hiệu mỗi phần tử của EnVới p∈En , kí hiệu T En là không gian các vectơ tiếp xúc của En tại pthì

hiệu vectơ (trường) tiếp xúc của U tại

p

1.2.2 Tr

ườ

ng ve ct ơ

và gọi nó là không gian

Cho tập U mở trong En, ta gọi ánh xạ X : U → TU

p  X(p)

là một trường vectơ trên U sao cho với mọi

p∈ U, X(p)∈Tp (U)

Trường vectơ X : U → TU xác định ánh xạ

b Hai cung tham số tương đương

Hai cung tham số ρ: J

ρ và r được gọi là các tham số hoá của cung

Vi phôi gọi là một phép đổi tham số của cung

Ví dụ

+ Cho cung tham số:

ρ: J → En là ánh xạ hằng

t  I

Từ đó ta có ảnh của cung tham số này là tập chỉ có một điểm I

+ Cho R là một số dương cho trước, {e1,e2 }là một hệ trực chuẩn trong

hay ρ(t) = 0 + R cos t.e1 + R sin t.e2

Từ đó ta có ảnh của ρ là một đường tròn tâm O có bán kính R

λ được gọi là vi phôi bảo toàn hướng nếu

Vi phôi λ được gọi là vi phôi bảo toàn

một vi phôi bảo toàn hướng λ : J

→

I

sao cho ρ = r0λ Khi đó quan hệ

trên là

một quan hệ tương đương và mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên gọi làmột cung định hướng.

Đảo hướng của một cung định hướng

Cho cung định hướng r xác định bởi ρ: J → En , thì cung định hướng r−

là một vi phôi đảo hướng, gọi là có

được từ r do đảo hướng

v =

v0

(hay đường toạ

Khi u = u0 , cung tham

số

v  r (u0 ,

n

gọi là đường toạ độ

u = u0 (hay đường toạ độ v qua (u0 , v0 ) )

Khi r_khả vi, điểm (u0 , v0

) được gọi là điểm chính quy của r nếu

1.4.3 Mặt phẳng tiếp xúc, pháp tuyến

Tại điểm chính quy (u0 , v0

r (u0 , v0 ) với không gian vectơ chỉ phương

)

thẳng góc với tiếp diện

tại (u0 , v0 ) gọi là pháp tuyến của r tại (u0 , v0 )

Trong toạ độ afin

(x, y,

z)

của

E3 viết:

r (u,

v) = (x(u, v), y(u,

)

và khi toạ độ đó là Descartes vuông góc thì phương trình pháp tuyến của rtại

Hai mảnh tham số r,r trong

En

với

r : U

→

En và

r

 : U



→

En được gọi

là tương đương nếu

ru rv

ru rv

quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương đó gọi là một mảnh trong En và

r còn gọi là một tham số hoá của mảnh

Ta có thể nói đến khái niệm điểm chính quy của mảnh, tiếp diện củamảnh tại một điểm chính quy của nó

Nếu trong định nghĩa quan hệ tương đương nói trên, đòi hỏi λ làmột vi phôi bảo tồn hướng thì ta có thể nói đến mảnh định hướng, khi đónếu n = 3 và mảnh chính quy thì vectơ đơn vị

tại điểm ứng với (u,

v)

trong một tham số hoá r của nó là hoàn toàn xác định

và phương của nó chính là phương của pháp tuyến của mảnh tại điểm đó

Từ đó ta có ảnh r (R 2 )là đường thẳng qua I có vectơ chỉ phương là α .

  Nếu hệ {α,β} độc lập tuyến tính (các vectơ khác 0 )

khi đó:

r (R 2 )là mặt

   phẳng qua I có không gian vectơ chỉ phương là α

,β , khi {α,β}phụ thuộc

tuyến tính thì mọi điểm của mảnh đều là điểm kì dị

ánh xạ r khả vi trên U thoả mãn

i S = r (U)

ii.Hệ {ru′ (u, v), rv′ (u, v) }- độc lập tuyến tính ∀(u,

v)∈ U

iii r là một đồng phôi lên ảnh E với

b Tham số hoá của mảnh hình học

Ảnh r (R 2 ) là một mặt phẳng.

ab > 0 hay ab < 0 ).

27

Chương 2

2.1 Đ

a tạ

p h ai c hi ề u

2.1.1 Đ ị n h

n g h ĩ a

ChotậpS

≠φ

của

En Nếu với mỗi điểm

p∈S

có lâncận

mở Vtrong

E

n

củ

a psao

cho S

∩

V

địa phương của S tại p.

Ví dụ

a Mỗi mảnh hình học là một đa tạp hai chiều

b Một hợp của những mảnh hình học rời nhau (tức là

đôi một không giao nhau) là một mặt hình học

2.1.2 Tiêu chuẩn nhận biết

Tiêu

chuẩn 1:

tập

S ⊂ E3 là đa tạp hai chiều trong E3

khi và chỉkhi

tham số hoá kiểu đồ thị tương đương

với mảnh tham số một tập mở trong

U, S1 = r (u1 )

r1 = r \

u1 (với

u1 là

Tiêu

chuẩn 2:

tập

S ⊂ E3 là đa tạp hai chiều trong

E3 khi và chỉ khi với

là đa tạp hai chiều trong

E3 với tọa độ afin

(x

1

,

x2 ,

x3 )

thì mỗi

p∈S

có lân cận mở

là đồ thị của hàm số

= x3

(nếu

cần, đổi chỉ số các tọa độ) khi

đó lấy ϕ là hàm số

của p trong S là đồ thị của hàm số đó Vậy theo tiêu chuẩn 1, S là một đa tạphai chiều trong E3.

x

Vây theo tiêu chuẩn nhận biết ta có S là đa tạp hai chiều.

2.1.3 Trường vectơ tiếp xúc của mặt S

Ta gọi trường vectơ X : S → U T En

v ∈TpS Khi đó tồn tại một

cung

Chứng minh Lấy tham số hóa địa phương r : U → S

(u, v)  r(u, v) tại p của S và giả

p ∈ S

ρ

0

p

p

.Suy ra ρ'(t ) = αr' (u , v ) + βr' (u , v ) = v

u 0 0 v 0 0

0 u 0 0 v 0 0

Bổ đề 2 Cho mặt S trong E3, một hàm vectơ ϕ : S

→



3

khả vi trên S, mộtđ

iểm

p

∈

S

và

vectơ

Giả

= γ '(t0 )

= v Khi

đó

(ϕ.ρ)'(t0 )

=

(ϕγ)'(t0 ) Chứng minh

E

Lấy một tham số hóa địa phương r : U

(u,v)

r(

u,v)của S tại p Cho ρ:

mặtS

trong

E

3

định

hướng

bởi

trường

phá

p vectơ đơn vị khả vi n dọcthe

o S Vớ

i điểmc

ố địn

h p

∈

S

vàvectơ

số hóa địa

phươngr : U

→

S

tại p, một cung tham

số ρ : J

t  ρ(t)

saochop = ρ(t0),α = ρ'(t0 )

Từ đó ta có cung tham số

ρ : J

Vì

n.r

u

v

b Ánh xạ Weingarten là một tự đồng cấu đối xứng tức là

0 (do

rv

là vectơ tiếp xúc của

Rv vuông góc với pháp tuyến n

đó

(

n.r

)

.r

r (u, v) = (a cos u.cos v,a cos u.sin v,a sin u), a

> 0 Lấ

y tại (0,

0,

±1) hướng của Kiểm trathấy rằng:

E3 xác định bởi mục tiêu trực chuẩn đã cho

(n.r)(

u,

v) =

là một trường vectơ pháp tuyến liên tục trên S Do đó

có thể định hướng S bởitrườ

ng n.r HãytínhGiải



u

rv′ = (−acosu.sin v,acosu.cosv, 0)

Khi đó n = (−cos u.cos v, −cos u.sin v, −sin u)

sin u.cos v, sin u.sin v,cosu)

cosu.sin v, cosu.cosv,0)

a rv

Vậy với v

= α ⋅ r

u′+ β⋅ rv′

thì hp

(v) =

1

(α ⋅ r′ + β⋅ r′ )

= 1 ⋅ v

a u

v

a1Suy ra hp này là phép vị tự tuyến

đối với

Ta gọi mỗi giá trị riêng của hp là độ cong chính tại điểm p của mặt S,mỗi vectơ riêng của hp gọi là một phương chính của mặt S tại p

′

′

i h

p có hai giá trị riêng phân biệt

kí hiệu: kmat h1, k 2 Khi đó,

p

trong cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng

ii hp có hai giá trị riêng bằng nhau là k Khi đó, mat h

p trong cơ sở

k 0 K (p) = k 2trực chuẩn các vectơ riêng là A =   Khi đó 

2.3 Các dạng cơ bản của mặt trong En

2.3.1 Dạng cơ bản của mặt S trong En

Với mỗi p∈S ta gọi các

IIp (α, α) = IIp (α) và khi p thay đổi thì dùng ký

Trong tham số hóa địa phương (u, v)  r (u,

(

n.r

)

.r

)

.r

Gọi L, M, N là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng II.

Chú ý rằng khi tham số hóa r tươngthích với hướng của S thì

 





n.r

trên TpS; nó gọi là dạng cơ bản thứ 3 của S tại p; công thức trên trở thành

α,β∈TpS ta phảichứng minh

(p).α

β = 0Thật vậy

Nếu hp có 2 giá trị riêng thực phân biệt

k1, k2 thì

{e1,e2

}là cơ

sở trực chuẩn không gian

=α

1

e

1

+α

)

ee

=αβ

k

+αβ







αβ

=αβ

e

2

+αβ

e2

+ (

α β +

α

β )ee

) (

k1 + k2 ),

K(p) = k1k22

Vậy hp (α)hp

(β) = 2H(p)hp

(α)β + K(p)αβ

⇒α β

k2

+ α

α

β

k

+αβ

Nếu

h cómột

giátrị

riêng

képth

xác

định

một phương

chính

củaS

tạip

D

o đóh

H(p) =

k2Vậy

h(

α

)

.h

=

KK

−

2k

K

β+

k

2

αβ

=

0

p p p

α β α

Ví dụ

Từ hai trường hợp trên ta có điều phải chứng minh

Xác định dạng cơ bảnthứ nhất của50

β

p

I(X, Y) = ((4u2 + a2 ).r−1)ϕ1ψ1 + ((a2.u2 ).r−1)ϕ2ψ2

2.3.2 Ứng dụng

2.3.2.1 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình

Lấy một cơ sở {α,β} của TpS Giả sử

I(α,β) I(β,β)

hp (α).α h

p

(p).β+

2FM 2

(

EG

cong Gauss và độ congtrung bình tại mọi điểmbất kỳ trên mặt yên ngựa

Tacómặtyênngựa

xy

2 2 2

2

−

m o

ab

⊂

R

2

−

u,

v

;1

u v



⇒

(n.r)

=



−

a2 , b

y = 0

z =

bsin u

(0 < b < a) (với tham số u)

Viết phương trình tham số của mặt tròn xoay S do (P) quay xung quanh trục Oz (mặt xuyến)

Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của S theo một hướng tựchọn của S

= (−bcosu cos v, −b cos u sin v, −bsin u)

= (bsin u sin v, −bsin u cos v, 0)

= (−(a + b cos u)cos v, −(a + bcosu)sin v,0)

⇒

r vv

u v

Bài 4: Chứng minh rằng điểm p là điểm rốn của mặt S trong E3

chỉ khi K(p) = H2

(p) Giải

khi và

hip

là

điểm

rốn

của

S

kh

ichỉkhicongchínhbằngnhau,nghĩalà:

k



1

, k



2

i vàch

ỉ kh

i h

'

tươngđươngvớiđẳ

ngthứctrênnhưsau:

' ' '

ta được hệ đẳng thức

đó hệ hai đẳng thức này tương đương với

aL + bM

aE + bFaL

aEaLbFbMaEaMbF

=

0

⇔+

++

∈

S

là

điểm

rốn

khi

và

chỉ

khi

tại

điể

m

đóE

=

Chứn

g minhĐiểm

p

là điểmrố

n khivàchỉkhitạiđiểmđ

ó mọivectơv

bằng 0 với mọi cặp số thực (a,

b) ≠ (0,

0) Điều này tương đương với điều nói rằng hai dòng cuối của định thức tỷ lệ với nhau tức là E : F:

G = L : M: N

b Tì

m

độ con

g chí

nh ứn

g

u v

thích

k

=

aL

+

2abM

+

bNa

2

E

+

2abF

(Trong đó E, F, G, L, M, N tính tại p)

Chứng minh

Độ cong chính k ứng với phương chính v là giá trị riêng của hp ứng với

vectơriêngv,nghĩalàk

.Dođó,

'

)

=(

a.h

2

v ≠ 0

thuộc vào TpS Ta gọi số v là độ cong pháp dạng của S tại p

theo phương v và kí hiệu là k (v) Vậy k (v) = hp (v) ⋅ v

v2Nói là theo phương v chứ không nói theo v vì nếu

ràng là mở rộng khái niệm độ cong chính ứng với một phương

chínhv(nếuvch

ỉ phươngchínhthì

ng chí

nh tươ

ng

ứng).N

ếu

2

v = a

⋅ ru′ + brv′ là vectơ khác

0 thuộc TpS thì dễ thấy rằng:

r'  r' uv

r'  r' uv

k (v) = a2 ⋅ L + ab ⋅ M + b2 ⋅ N

Bài tập Bài 1:

Trong

r (u, v) = (a cos u,a sin u, v)

ru′ = (−a sin u,a cos u, 0)

u v

=

−

1,k

2

=

0 Phươn

g chính ứng với

k1 là

phươ

ng của

ru′ , đó là phương tiếp xúc của cung toạ độ

v = v0 (cung

vĩ tuyến)

Phương chính ứng với

k



2

là phương của vectơ rv′ , đó là phương

tiếp xúc củacung toạ độ u = u0 (cung kinh tuyến)

Chứng minh rằng S là một mặt hình học định hướng được Tính độcong Gauss và độ cong trung bình của S theo một hướng tự chọn Từ đó suy

r (x, y) =  x, y, ln cos y 

z = ln cos y , vậy có thể

Bài 3: Tìm phương chính và độ cong chính

tương ứng của mặt đinh ốc đứng r(u, v = (u cos v,

u sin v,av), a > 0 Giải

Ta tính được:



r′ = (cos v,sin v, 0) Từđó

73

±

a2 + u2 Vậy có haiphương chính xác định bởi hai vectơ

2 222

v1 = a

+ u

ru′ + r

v′ Gọi

k



1,k



2

là hai

độ cong

chính ứng với v1, v2 thì

( )

a2 + u2

⋅ r′ + r′ )

u v u v

o to

ạ đ

ộ Đêcac

ta

ru′ =

(cosv,sin

v, 0),

rv′ =

(−usin v,

u cos

v,

a) th

ay vào biểu thức của

v

−

a

+ u,cos v

+

uco

s v,a

2.3.3 Những đường đáng chú ý trên mặt S trong E3

a Đường chính khúc

Địnhnghĩa:

Đường trên mặt Strong điểm

là một phương

chín

h của S.Cụth

u v u

2

v2

(

ể, ρ: J

3

mà phương tiếp xúc tại mọi

ρ)

dt

t → ρ(t) , xác định một đường chính khúc khi và chỉ khi song song với ρ′ (định nghĩa này không phụ thuộc vào việc đổi tham

(n.ρ)′ / /ρ′ ii.Cho mặt định hướng

S trong

ρ: t  ρ(t)tại p Để ρ là đườngchính khúc tại

Đường ρ là chính khúc tại lân cận điểm p

phương

chính của S tại ρ(t) Áp dụng công thức tìm phương chính suy ra ρ là chính khúc tại lân cận điểm p khi và chỉ khi

Giả sử S là một mặt định hướng trong

E3 có tham số hoá địa phươngtương thích

r : (u, v)  r (u,

v)

sao cho tại mỗi điểm của S hai cung toạ độ

trực giao với nhau Chứng minh mỗi cung toạ độ là chính khúc khi và chỉ khi

cung toạ độ trực giao có nghĩa là

F = ru′ ⋅ rv′ = 0 Cung toạ độ

v =

v0

có

v′ = 0 Cung toạ độ

quay xung quanh trục Oz.

Khi đó phương trình tham số của S là





là một trường pháp vectơ đơn

vị tại lân cận điểm r (u,

v)

trên S Ta thấy rằng

n khả vi nên có thể định hướng lân

thu

ộc TSpgọi là vectơ chỉ phương tiệm cận của S tại p Một

đường trên S gọi là đường tiệm cận nếu tiếp tuyến

tại mọi điểm của đường đó đều có phương là

phương tiệm cận của S

ρ trên S có tham số hoá địa phương

ρ: t 

ρ(t)là một đường tiệm cận của S khi

và chỉ khi

(n ⋅ρ)′

⊥ ρ′ Chứng minh