Các dạng cơ bản của mặt trong en và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập và nghiên cứu khoa học tại Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2, em đã nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ của tất cả các thầy giáo, cô giáo trong trờng, đặc biệt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập và nghiên cứu khoa học tại Trờng Đại học S phạm Hà Nội

2, em đã nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ của tất cả các thầy giáo, cô giáo trong trờng, đặc biệt là sự hớng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Để hoàn thành bài tập nghiên cứu này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian thực hiện đề tài Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học Khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ cũng nh đóng góp ý kiến để đề tài của em đợc hoàn thành

Đề tài này chỉ nghiên cứu trong phạm vi nhỏ nên không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Em mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô

Em xin chân thành cảm ơn!

Xuân Hòa, ngày tháng năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phùng Thị Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi

Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu của mình không trùng với kết quả của tác giả khác

MỤC LỤC

Trang

Chơng 2 Các dạng cơ bản của mặt trong En và ứng dụng 18

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Toán học, môn hình học là một môn khó và rất trừu tượng Hình

học trong không gian rất đa dạng và phong phú nhưng lại rất thực tiễn Từ những hình đơn giản, những vật xung quanh chúng ta, nhờ hình học mà ta hiểu được phần nào về cấu tạo của chúng, có hình dạng như thế nào trong không gian n chiều

Trong đó Hình học vi phân là môn quan trọng, chủ yếu nghiên cứu về hình học của đường và mặt trong không gian E3 thông qua các loại độ cong, gắn liền với các đối tượng hình học trong cuộc sống, các thực thể trong không gian 2 chiều và 3 chiều, đặc biệt đối với phần mặt trong E3 có nhiều ứng dụng trong thực tế và các ngành khoa học khác Giúp chúng ta tư duy, tưởng tượng

cụ thể và chính xác Vì thế mà em đã chọn đề tài khóa luận: "Các dạng cơ

bản của mặt trong E n và ứng dụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Đối với các dạng cơ bản của mảnh tham số trong không gian thì việc giải chúng sẽ gặp rất nhiều khó khăn Vì vậy để giải được những bài toán đó chúng ta cần có cách giải, cách nhận dạng và ứng dụng của chúng Vì thế trong khóa luận trình bày các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng như sau:

+ Các định nghĩa các dạng cơ bản của mặt trong En

+ Tìm được các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

a) Khách thể nghiên cứu

Sách hình học vi phân (giáo trình, bài tập, sách tham khảo)

b) Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu và tìm hiểu về các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng của

nó trong không gian của hình học vi phân

Vấn đề về các dạng cơ bản của mặt trong E và ứng dụng có vai trò rất nquan trọng Nếu vấn đề này được đổi mới với một hệ thống phương pháp, hình thức phù hợp thì nó sẽ trở thành công cụ hữu hiệu cho các nhà quản lí nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo của nhà trường, nâng cao tinh thần

chủ động sáng tạo tích cực học tập rèn luyện của sinh viên nói chung

5 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của vấn đề tìm hiểu các dạng cơ bản của mặt trong E và ứng dụng của sinh viên n

- Tìm hiểu phương pháp giải bài tập qua các dạng của mặt

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các sách giáo trình và tra cứu tài liệu

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Đạo hàm của hàm vectơ

Nhắc lại rằng không gian Euclid En là một không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclid En

TEn gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của En

 là kí hiệu mỗi phần tử của EnVới pEn, kí hiệu T E là không gian các vectơ tiếp xúc của Ep n n tại p thì

lênT E là không gian vectơ tiếp xúc (trường) của Ep n n tại p

U là một tập mở trong En thì đặt TUU x En



và gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của U Với pU, kí hiệu T Up T Ep n và gọi nó là không gian vectơ (trường) tiếp xúc của U tại p

khả vi lớp C kKhi X

là ánh xạ hằng thì trường vectơ X gọi là một trường vectơ song song

b Hai cung tham số tương đương

Hai cung tham số : JEn và r : IEn

 và r được gọi là các tham số hoá của cung

Vi phôi gọi là một phép đổi tham số của cung

Ví dụ

+ Cho cung tham số:

: JEnlà ánh xạ hằng

t I

Từ đó ta có ảnh của cung tham số này là tập chỉ có một điểm I

+ Cho R là một số dương cho trước, e ,e1 2là một hệ trực chuẩn trong

hay  t  0 R cos t.e1R sin t.e2

Từ đó ta có ảnh của  là một đường tròn tâm O có bán kính R

1.3.2 Cung chính quy

Ta gọi  t là điểm thuộc cung cho bởi tham số t (hay đơn giản gọi là điểm t), ta không đồng nhất cung với ảnh của cung, ảnh của cung là tập hợp các điểm trong En tạo thành một đường trong En

Điểm  t được gọi là điểm chính quy của cung  nếu  t 0

Cung chính quy là một cung mà mọi điểm thuộc nó đều là điểm chính quy Tham số hoá tự nhiên của cung chính quy

Cho cung chính quy  tham số hoá r : JEn

sr s 

gọi là tham số hoá của cung  nêú r s  1, s J

1.3.3 Cung định hướng

Định nghĩa

Vi phôi  được gọi là vi phôi bảo toàn hướng nếu  t 0, t  J

Vi phôi  được gọi là vi phôi bảo toàn hướng nếu  t 0, t J Hai cung tham số  và r gọi là tương đương định hướng nếu tồn tại một vi phôi bảo toàn hướng : J sao cho I   r0 Khi đó quan hệ trên là

một quan hệ tương đương và mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên gọi là

một cung định hướng

Đảo hướng của một cung định hướng

Cho cung định hướng r xác định bởi : JEn, thì cung định hướng rxác định bởi r 1: IE , : Jn  I là một vi phôi đảo hướng, gọi là có được từ r do đảo hướng

uu (hay đường toạ độ v qua u , v0 0)

Khi r_khả vi, điểm u , v0 0 được gọi là điểm chính quy của r nếu

1.4.3 Mặt phẳng tiếp xúc, pháp tuyến

Tại điểm chính quy u , v0 0 của mảnh tham số r, gọi 2_phẳng trong En

đi qua r u , v 0 0với không gian vectơ chỉ phương r u , v , r u , vu 0 0 v 0 0 là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại u , v0 0( cũng có khi nói tại

Hai mảnh tham số r, r trong E với n r : UEnvà r : U  Enđược gọi

là tương đương nếu có vi phôi : U  để U r r và quan hệ này là một 0

quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương đó gọi là một mảnh trong E và n

r còn gọi là một tham số hoá của mảnh

Ta có thể nói đến khái niệm điểm chính quy của mảnh, tiếp diện của mảnh tại một điểm chính quy của nó

Nếu trong định nghĩa quan hệ tương đương nói trên, đòi hỏi  là một vi phôi bảo tồn hướng thì ta có thể nói đến mảnh định hướng, khi đó nếu n = 3

và mảnh chính quy thì vectơ đơn vị

và phương của nó chính là phương của pháp tuyến của mảnh tại điểm đó

thì r u, v   I v.

Từ đó ta có ảnh  2

r R là đường thẳng qua I có vectơ chỉ phương là 

Nếu      k  0, k 0

Nếu hệ   ,

độc lập tuyến tính (các vectơ khác 0

) khi đó:  2

r R là mặt phẳng qua I có không gian vectơ chỉ phương là  ,

, khi   ,

phụ thuộc tuyến tính thì mọi điểm của mảnh đều là điểm kì dị

iii r là một đồng phôi lên ảnh E với r : UEn

b Tham số hoá của mảnh hình học

Để nghiên cứu các mảnh hình học người ta thường dùng một kiểu mảnh tham số gọi là mảnh tham số kiểu đồ thị được định nghĩa như sau: giả

sử trong E cho một hệ toạ độ afin n x , x ,1 2 , xn và U là một tập mở trong mặt phẳng 2      

i j

R  x , x , iJ thì một mảnh tham số r : UEn có biểu thức toạ độ dạng

 i j  1 i j 2 i j n i j 

r x , x  f x , x ,f x , x ,,f x , xtrong đó f x , xi i jx ,f x , xi j i jxj, được gọi là mảnh tham số kiểu đồ thị (hai toạ độ x , x được lấy làm hai tham số) i j

Chương 2 CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA MẶT TRONG E VÀ ỨNG DỤNG n

2.1 Đa tạp hai chiều

Ví dụ

a Mỗi mảnh hình học là một đa tạp hai chiều

b Một hợp của những mảnh hình học rời nhau (tức là đôi một không giao nhau) là một mặt hình học

2.1.2 Tiêu chuẩn nhận biết

Tiêu chuẩn 1: tập SE3là đa tạp hai chiều trong E khi và chỉ khi 3

p S

  đều tồn tại một lân cận mở chứa p trong S là một mảnh hình học có tham số hoá kiểu đồ thị tương đương với mảnh tham số r1r \ u1(với u là 1một tập mở trong U, S1 r u 1

Tiêu chuẩn 2: tập SE3là đa tạp hai chiều trong E3 khi và chỉ khi với mỗi điểm pS có tập mở pWE3 và hàm số khả vi  trên W thoả mãn:

i   1   

0

W S    p

ii   x, y, z\ x, y, z W0

Thật vậy, nếu S là đa tạp hai chiều trong E3 với tọa độ afin (x , x , x )1 2 3

thì mỗi pS có lân cận mở là đồ thị của hàm số (x , x )1 2 (x , x )1 2 x3 (nếu cần, đổi chỉ số các tọa độ) khi đó lấy  là hàm số

có thể giải ra (địa phương) đối với x3, x3 (x , x )1 2 , và ta được một lân cận

của p trong S là đồ thị của hàm số đó Vậy theo tiêu chuẩn 1, S là một đa tạp hai chiều trong E3

Ví dụ

Chứng minh rằng:  

2 2 3

Vây theo tiêu chuẩn nhận biết ta có S là đa tạp hai chiều

2.1.3 Trường vectơ tiếp xúc của mặt S

Ta gọi trường vectơ X : SUp S p T En

p X p p, X p  

(với X

là hàm vectơ X : SEn





) là một trường vectơ tiếp xúc trên S

Không gian tất cả các vectơ tiếp xúc với S tại p Kí hiệu: T S tức là: p

Chứng minh Lấy tham số hóa địa phương r : U S

(u, v)r(u, v)tại p của S và giả

sử pr(u , v )0 0 Giả sử v r (u , v )u' 0 0  r (u , v )v' 0 0 Lấy cung : J U

Bổ đề 2 Cho mặt S trong E3, một hàm vectơ : SE3

khả vi trên S, một điểm pS và vectơ vT Sp Giả sử  , : JS là hai cung thỏa mãn

của S tại p Cho : JS thì tồn tại cung : JU sao cho   r

Đặt (t)(u(t), v(t)), u(t )0 u , v(t )0 0 v ,0   .r : (u, v)(u, v) Khi đó ( ) '(t )  0   ( r )(t ) 0   ( )(t ) 0 0 'u(vu , v ).u '(t )0 0 0  'v(u , v ).v '(t )0 0 0

Tương tự với thì có cung : J U sao cho    r.

t(t)

sao cho p (t ),0   '(t )0 Từ đó ta có cung tham số: JU

t(u(t), v(t))

sao cho    r

Kí hiệu D n (n.r ) '(t ) 0 và gọi vectơ này là đạo hàm của n theo vectơ 

(theo bổ đề 2 thì D n không phụ thuộc vào cách chọn  và do đó không phụ thuộc vào cách chọn  )

Vì n.r.  1 nên (n.r )' (n.r ) tức là D n n Do đóD n T Sp Vậy có thể lập ánh xạ h : T Sp p T Sp

Cho  T Sp ta viết được:

 r.p   t0 r u tu  0 r v tv  0 trong đó r : U là tham số hoá Sđịa phương của S tại p còn : J U

b Ánh xạ Weingarten là một tự đồng cấu đối xứng tức là

h     .h Thật vậy

Ta có R , Ru v là cơ sở của T S Để chứng minh p h là tự đồng cấu đối pxứng khi và chỉ khi:

hpRu.Rv hpRv.Ru

có hpRu.Rv h pR Ru v

 n.ru.rv (1)

r u, v  a cos u.cos v,a cos u.sin v,a sin u , a 0

Lấy tại 0,0, 1 hướng của E xác định bởi mục tiêu trực chuẩn đã cho 3Kiểm tra thấy rằng:

Xem r là tham số hoá địa phương tại p Ta có

ru   a sin u.cos v, a sin u.sin v,a cos u 

v

r  acosu.sin v,acosu.cosv,0

Khi đó n  cos u.cos v, cos u.sin v, sin u  

Suy ra h này là phép vị tự tuyến tính tỉ số p 1

a Ma trận của h đối với p

cơ sở rurv của T S là p

10aA

10a

2.2.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình

Theo chứng minh trên ta có h là tự đồng cấu đối xứng, theo lý thuyết pđại số tuyến tính thì đều chéo hoá được tức là luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn của T S để sao cho trong cơ sở ấy p h có dạng chéo p

Ta gọi mỗi giá trị riêng của h là độ cong chính tại điểm p của mặt S, pmỗi vectơ riêng của h gọi là một phương chính của mặt S tại p p

Ta gọi định thức của h là độ cong Gauss của mặt S tại p Kí hiệu: p

 

K p

Ta gọi nửa vết của ánh xạ h là độ cong trung bình của mặt S tại p Kí phiệu: H p  

Theo nhận xét trên thì có hai khả năng sau:

i h có hai giá trị riêng phân biệt kí hiệu: p k , k  Khi đó, mat 1 2 h p

1 2

ii h có hai giá trị riêng bằng nhau là k Khi đó, mat p h trong cơ sở p

trực chuẩn các vectơ riêng là A k 0

K p H p  k Ta gọi các điểm này trên mặt S là điểm rốn Nếu k 0 thì ta gọi điểm rốn là điểm cầu

Nếu k 0 thì ta gọi điểm rốn đó là điểm dẹt

2.3 Các dạng cơ bản của mặt trong E và ứng dụng n

2.3.1 Dạng cơ bản của mặt S trong E n

Với mỗi p S ta gọi các ánh xạ

Gọi E, F, G là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng I

Gọi L, M, N là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng II

Chú ý rằng khi tham số hóa r tương thích với hướng của S thì

tự là độ cong Gauss và độ cong trung bình của S tại p

Đặt IIIp  ,  hp  hp  thì ta được dạng song tuyến tính đối xứng trên T S; nó gọi là dạng cơ bản thứ 3 của S tại p; công thức trên trở thành p

III 2H p II K p I  0Chứng minh

Ánh xạ h của đa tạp hai chiều có hướng S trong p 3

Nếu h có 2 giá trị riêng thực phân biệt p k , k Gọi 1 2 e , e 1 2

là hai vectơ riêng đơn vị ứng với k , k thì 1 2 e ,e 1 2

là cơ sở trực chuẩn không gian T S p

Ta có X'u (a cos v,a sin v, 2u), X''uu (0, 0, 2)

X'v  ( au sin v, au cos v, 0), X''vv  ( au cos v, au sin v,0)

2.3.2.1 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình

Lấy một cơ sở   của ,  T S Giả sử p

lấy  Ru p ,  Rv p tại pr u, v  ta suy ra:

 

2 2

Bài 1: Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình tại mọi điểm bất kỳ

trên mặt yên ngựa

Bài 2: Trong E cho đường tròn (P) có phương trình tham số trong hệ 3

r bsin u cos v, bsin u sin v, b cos u

r a cos u sin v, a b cos u cos v,0

r b cos u cos v, b cos u sin v, bsin u

r bsin u sin v, bsin u cos v,0

r a b cos u cos v, a b cos u sin v,0

Bài 4: Chứng minh rằng điểm p là điểm rốn của mặt S trong E khi và chỉ khi   2 

Định lý: Cho mặt định hướng S trong 3

E , điểm p S , tham số hóa tương thích hướng tại p là r : US, u, v r u, v  Khi đó vectơ

Vì EGF 0, a b  nên 0 aEbF và aF bG không đồng thời bằng 0 Do đó hệ hai đẳng thức này tương đương với

Điểm p là điểm rốn khi và chỉ khi tại điểm đó mọi vectơ

var br  đều chỉ phương chính, tức là định thức nêu trong định lý 0bằng 0 với mọi cặp số thực a, b  0, 0 Điều này tương đương với điều nói rằng hai dòng cuối của định thức tỷ lệ với nhau tức là E : F : GL : M : N

b Tìm độ cong chính ứng với phương chính đã cho

Định lý

Cho mặt định hướng S trong E , điểm 3 p S , một tham số hóa tương thích hướng tại p là r : US, u, v r u, v  Nếu varu' brv' 0

là một vectơ chỉ phương chính tại p thì độ cong chính tương thích với phương v

là:

a L 2abM b Nk

a E 2abF b G



là độ cong pháp dạng của S tại p

theo phương v và kí hiệu là k v  Vậy   p 

u v

v a r br là vectơ khác

0

thuộc T S thì dễ thấy rằng:

r a sin u,a cos u,0

Bài 2: Trong E với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt S xác định 3bởi phương trình ẩn ezcosxcos y0 với điều kiện cosx cos y 0