Bước đầu tìm hiểu về đường cong trong E

Những hình ảnh về đường thẳng, đường cong, mặt phẳng, hình bằng nhau… được tìm hiểu kĩ hơn dưới góc nhìn của hình học giải tích.. Những kiến thức từ cơ sở đến nâng cao về đường cong được

A – MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học nói chung là một trong những môn học trừu tượng đối với học sinh, sinh viên, nó có vẻ đẹp rất riêng với bề dày phát triển hàng nghìn năm Trước đây, ở chương trình cấp 3 chúng ta đã biết đến nhiều khái niệm hình học dưới góc nhìn (quan điểm hình học) Ơclit Những hình ảnh về đường thẳng, đường cong, mặt phẳng, hình bằng nhau… được tìm hiểu kĩ hơn dưới góc nhìn của hình học giải tích Hình học thực sự phát triển rực rỡ lên tới đỉnh cao với một trong những chuyên ngành của nó là hình học vi phân Nơi đây là sự hội tụ của nhiều tinh hoa, thủ thuật, phương pháp tính toán trong hình học Có rất nhiều kiến thức được trình bày tỉ mỉ, rõ nét về hình ảnh của một vật thể hình học Lí thuyết

về đường cong là một trong những phần như vậy Những kiến thức từ cơ sở đến nâng cao về đường cong được tổng hợp, phân tích đầy đủ giúp chúng ta có thể thấy rõ được hình ảnh, tính chất cũng như ý nghĩa hình học của nó

Thế nhưng những lí thuyết về đường cong trên vẫn còn quá xa lạ, gây nhiều khó khăn cho các bạn học sinh, sinh viên khi tìm hiểu về nó Học phần thuộc hình học cao cấp này vẫn mang quá nhiều sắc thái về chuyên môn và nhiều vấn đề quá sâu sắc khiến người đọc khó hiểu

Làm sao để viết được những vấn đề sâu sắc về đường cong dưới những ngôn

từ đơn giản để người đọc có thể hiểu và hình dung được nó? Làm sao cho hình học phát triển toàn diện ở tất cả mọi khía cạnh vẫn là những dấu hỏi lớn mà nhiều nhà toán học đang tìm câu trả lời

Là một sinh viên toán và cũng là những người yêu toán Với lòng ham muốn học hỏi và tìm hiểu về vẻ đẹp của các đường cong trong không gian Cũng để một phần giúp hình học trở nên gần gũi và dễ hiểu hơn với người đọc chúng tôi quyết

định nghiên cứu đề tài “ Bước đầu tìm hiểu về đường cong trong E n ”

Do khuôn khổ kiến thức cũng như sự hạn chế về tài liệu đề tài trên đây chỉ

hệ thống sơ bộ về lí thuyết đường trong En cùng những vấn đề liên qua n Đ i cùng với nó là sự phân dạng một số bài tập và phương pháp giải của chúng

Trong quá trình thực hiện đề tài, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô, bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lí thuyết, tìm hiểu, phân dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho một số dạng bài toán về đường cong trong En

3 Đối tượng nghiên cứu

Lí thuyết về đường cong và một số vấn đề liên quan

4 Giả thuyết khoa học

Nếu hệ thống đầy đủ lí thuyết về đường cong, (cung) trong En các đặc trưng của bài toán về cung tham số hóa, cung song chính quy… và phân loại các bài tập rõ ràng thì sẽ giúp học sinh giải quyết được nhiều bài tập trong phần cung trong En

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu

6 Cấu trúc đề tài.

Nội dung chính của đề tài gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở lí thuyết

1.1 Đường tham số

1.2 Đường tham số trong E2

1.3 Định lí cơ bản của lí thuyết đường trong E3

Chương 2: Một số bài toán về đường cong trong En

2.1 Các bài toán về cung chính quy

2.2 Cung song chính quy

2.3 Cung trong E2

2.4 Định lí cơ bản của lí thuyết đường

B – NỘI DUNG Chương 1 – CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.1 Đường tham số

1.1.1 Định nghĩa đường tham số

Định nghĩa 1: Cho ánh xạ r : I → Rn

với I ⊂⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường

thẳng thực hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực ) Gọi C =rr(I)⊂ Rn, ảnh của toàn bộ tập I Khi đó (C, r ) được gọi là một đường tham số (parametrized curve) với tham số hóa c và tham số t C được gọi là vết của đường tham số

Nếu r là hàm liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞ thì tương ứng ta nói

C là đường tham số liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞

Giả sử rr(t) =(x (t), x (t), , x (t))1 2 n , thì r khả vi lớp Ck, (k = 0, 1, 2,… ) có nghĩa là các hàm thành phần: x : Ii →R khả vi lớp Ck (k = 0, 1, 2, ) Nếu r là khả vi thì vectơ r '(t)ur =(x ' (t), x ' (t), , x ' (t))1 2 n ∈Rn, gọi là vectơ tiếp xúc hay vectơ vận tốc của C tại r(t)r (hay của r tại t )

(*) Khái niệm về đường cong:

Giả sử X là hàm vectơ một biến liên tục từ đoạn hoặc khoảng I ⊆ R vào

n

R Khi ấy tập ảnh: C = {X(t) : t ∈ I} được gọi là đường cong C trong R n

Phương trình X = X(t), t ∈ I được gọi là phương trình tham số của đường

cong C và t là tham số Vì những lý do ứng dụng trong Vật lý, Cơ học, hai trường hợp được quan tâm nhiều nhất là n = 2 và n = 3 Người ta nói đường cong phẳng hoặc đường cong không gian để chỉ các đường cong tương ứng trong hai trường hợp này

1.1.2 Đường tham số chính quy Độ dài đường cong (cung).

Định nghĩa 2: Cho đường tham số r : I →R Nếu r '(t)n ur ≠ 0 thì t (hay r(t)r) gọi là điểm chính quy còn những điểm mà r '(t)ur = 0 gọi là điểm kỳ dị Với mỗi

t ∈ I mà r '(t)ur ≠ 0, chúng ta gọi đường thẳng đi qua r(t)r với vectơ chỉ phương

r '(t)ur là tiếp tuyến của c tại t

Đường tham số r : I → R gọi là đường tham số chính quy nếu mọi điểm n

đều là điểm chính qui, tức là r '(t)ur ≠ 0 với mọi t ∈ I

Định nghĩa 3: Độ dài cung của một đường tham số chính quy r : I → R n

từ điểm t0 đến t, với t0 , t ∈ I, được định nghĩa là số:

dt = −t t

∫

Do đó độ dài cung của c là số đo từ một tham số nào đó Trong trường hợp

t0 = 0, thì s(t) = t Điều này giải thích thuật ngữ tham số độ dài cung

Định nghĩa 5: Cho (I; r(t) ; J; (s)r ) ( ρr ) là hai đường tham số Ta nói (I; r(t)r ) và (J; (s)ρr ) là hai đường tham số tương đương nếu tồn tại vi phôi : I J

λ → biến t a s = λ(t) sao cho rr= ρ λro tức là: rr= ρ λr( (t)), t∀ ∈I

1.1.3 Tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong

Định nghĩa 6: Cho đường tham số (I; rr= r(t)r )

Ta gọi r '(t)ur là vectơ tiếp xúc hay vectơ vận tốc của đường cong tại điểm t0 Nếu t0 là điểm chính qui thì đường thẳng qua điểm rr(t )0 có phương là r '(t )ur 0

được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm r(t )r 0 hay tại điểm t0 Phương trình vectơ của tiếp tuyến tại điểm t0 là: R( )ur τ =rr(t )0 + τr '(t )ur 0

Định nghĩa 7: Cho rr=rr(t) là đường tham số và t0 ∈I

Mặt phẳng pháp tuyến tại điểm r(t )r 0 của đường cong rr=rr(t) là mặt phẳng đi qua điểm r(t )r 0 và vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại rr(t )0 Khi rr=rr(t) là đường cong phẳng, ta gọi đường thẳng pháp tuyến với đường cong tại r(t )r 0 là đường thẳng đi qua rr(t )0 và vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại r(t )r 0

Chú ý: Đường cong có biểu diễn dạng tham số ( , ( ))I r tr với r(t) = (x(t); y(t); z(t))

(X – x)x’ + (Y – y)y’ + (Z – z)z’ = 0Khi đường cong là đường cong phẳng có tham số r(t)r = (x(t); y(t)) thì :Phương trình tiếp tuyến tại rr(t )0 là:

hayY( ) z(t ) y '(t ) x ' y '

(X – x)x’ + (Y – y)y’ = 0.

1.1.4 Cung song chính quy trong E 3 và độ cong, độ xoắn của nó.

Định nghĩa 8: Trong không gian Euclide E3, đường tham số (I, r r(t)r r= )được gọi là:

- Ss ong chính quy tại điểm t0 nếu r '(t )ur 0 và r ''(t )ur 0 không cùng phương hay

r '(t ) r ''(t )ur × ur ≠ 0r

- sS ong chính quy trên I nếu nó song chính quy tại mọi điểm thuộc I.

Ghi chú: Khái niệm song chính quy không phụ thuộc vào tham số tức là

một điểm là song chính quy với một đường cong tham số cho trước thì nó cũng là song chính quy tại điểm tương ứng qua phép biến đổi tham số

Định nghĩa 9: Cho đường tham số (I, r r(t)r r= ) và t0 ∈ I là điểm song chính quy

Mặt phẳng mật tiếp của đường cong r(t)r tại t 0là mặt phẳng đi qua r(t )r 0 với không gian vectơ chỉ phương <r '(t ); r ''(t )ur 0 ur 0 > Nếu r(t)r = (x(t); y(t)) thì phương trình mặt phẳng mật tiếp tại điểm song chính quy t0 ∈ I của đường cong:

trong đó (X, Y, Z) là tọa độ của điểm thay đổi trong E3

Định nghĩa 10: Độ cong của Γ tại điểm s trong tham số hóa tự nhiên

Định nghĩa 11: Cho cung song chính quy định hướng Γ trong E3 có hướng, có trường mục tiêu trực chuẩn thuận {T, N, B} dọc Γ gọi là trường mục

DN

dsDB

Nds

Với k, τ theo thứ tự là hàm độ cong, độ xoắn của Γ.

1.2 Đường tham số trong R 2

Định nghĩa 12: Nếu chọn hệ tọa thích hợp thì mọi đường tham số phẳng

đều có thể xem như là đường tham số trong R2 Chính vì thế trong mục này chúng ta chỉ xét các đường ham số dạng r: I → R2 Giả sử r: I → R2là đường tham số chính qui với ham số độ dài cung trong R2 với định hướng chính tắc Ta đặt: (s) = r’(s) và chọn N(s ) sao cho {T(s ), N(s )} là một hệ trực chuẩn với định thức dương Ta gọi {T, N} là trường mục tiêu Frenet của r Khi đó ta có:

N(s)=k(s)r’’(s) s∀ ∈I.

Ta gọi k (s ) là độ cong đại số của r tại s ( hay của C = r(I)) tại r(s ))

Công thức Frenet trong E2:

kNds

DN

kTds

= +

= −

Định lí 1: Với hàm khả vi k : I → R2có đường tham số r: I → R2 với tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số Hai đường tham số như thế sai khác nhau một phép dời thuận

Định nghĩa 13: Cho hai đường tham số chính qui α, β : I →R2 Ta nói α

là đường túc bế của β và β là đường thân khai của α nếu với mọi t ∈ I, tiếp tuyến của α tại t là pháp tuyến của β tại t (đường thẳng đi qua β(t) với vectơ chỉ phương là n)

*) Cho đường tham số r: I → R2 với tham số độ dài cung Đường tròn mật

tiếp tại s0 ∈I, với k(s )0 ≠ 0, của r là đường tròn tâm 0 0

1.3 Định lí cơ bản của lí thuyết đường trong E 3

Định lý 2: Với các hàm khả vi k (s ) > 0 và (s), sτ ∈I cho trước, tồn tại một đường tham số song chính qui r : I→ R3 sao cho s là độ dài cung, k là hàm

độ cong và τ là hàm độ xoắn của r Hơn nữa hai đường tham số song chính qui như thế sai khác với nhau một phép dời thuận

Định nghĩa 14: Các phương trình k = k(s), τ = τ(s), trong đó s a k(s), (s)

τ a τ là hai hàm số (khả vi lớp Cl, l ≥ 0) cho trước trên khoảng J ⊂ R gọi

là phương trình tự hàm của cung song chính quy định hướng trong E3 với độ

cong k, độ xoắn τ xác định bởi các hàm số đó trong một tham số hóa tự nhiên của nó

Chương 2 – MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG CONG TRONG E n

2.1 Các bài toán về cung chính quy

2.1.1 Tham số hóa của một cung

Ví dụ Bài toán 1: Tìm biểu diễn tham số các đường cong sau:

x tty3aaz2t

Vậy phương trình (3) xác định cho ta một đường cong chính quy mọi nơi ngoại trừ điểm (2a; 0; 0) Ta gọi đường xác định bởi hệ (3) là đường Viviani và (1) là phương trình dạng ẩn của nó

Thay t vào r(t)r ta được đường tham số tự nhiên tương đương với đường

tham số đã cho là: (J; p p(t))r r= với J = −( 3;+∞) và p(s) r ln( s 1

Ví dụ Bài toán 4: Chứng minh hai cung tham số sau không tương đương:

α chạy quanh đường tròn cùng chiều kim đồng hồ và (0)α =(0; 1).

3) Cho hai cung tham số sau:

Hãy kiểm tra sự tương đương của chúng

4) Tham số hóa các đường cong sau:

a) x2 = 3y; 2xy = 9z b) z2 = 2ax; y2 = 16xz

2.1.2 Chứng minh một cung là cung chính quy

Ví dụ Bài toán 1: Hãy kiểm tra tính chính quy của đường tham số sau:

Giải:

Ta có r '( )ur θ = −( 4sin cosθ θ + sin ; 2cosθ 2θ − 2sin2θ − cos ; 0)θ

Suy ra r '( )ur θ = 5− 4cosθ ≠ 0;∀ θ ∈[0; 2 ]π nên r '( )ur θ ≠ ∀θ ∈0r [0; 2 ].πVậy rr là đường tham số hóa chính quy

Ví dụ Bài toán 2: Tìm cung chính quy trong E3 xác định bởi tham số hóa : t (t)

ρ a ρ Biết phương trình tiếp tuyến tại mỗi điểm t của nó trong hệ tọa độ

Đề Các vuông góc cho trước Oxyz là:

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có:

Ví dụ Bài toán 3: Tìm điểm kì dị của cung tham số sau:

r(t) =(t − t − 5; 3t +1; 2t −16)r

Giải:

- Dựa vào các công thức cho ở phần I để viết phương trình tiếp tuyến

Bài toán Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến và mặt phẳng pháp tuyến

của đường cong (C) tại điểm chỉ ra:

a) r(t)r = (t3 − t2 −5; 3t2 +1; 2t3 −16) tại điểm t = 2

b) rr(t) =(t4 + t2 +1; 4t3 +5t + 2; t4 − t )3 tại điểm A(3, – 7, 2)

c) r(t)r = (t2 − 2t + 3; t3 − 2t2 + t; 2t3 −6t + 2) tại điểm A(2, 0, – 2).

0

r '(t ) = − = −r '( 1) ( 6; 17; − 7) ≠ 0

Do đó r(t)r chính quy tại điểm A(3;− 7; 2)

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm A(3; − 7; 2) là:

Ta có r '(1)ur = (0; 0; 0) Do đó rr(t) không chính quy tại điểm A(2; 0; – 2) nên cũng không tồn tại tiếp tuyến và pháp tuyến với (C) tại điểm A.

Ví dụ Bài toán 2: Tìm điểm trên đường cong

Trong trường hợp pháp tuyến luôn qua O, tức là O (t)uuuuurρ '(t)ρur = 0 ( t)∀ suy

ra O (t)uuuuurρ =a (const) cung chính quy có ảnh là vòng tròn tâm O

2) Cho đường cong (C): y = y(x) Tiếp tuyến và pháp tuyến của (C) tại điểm M thuộc (C) cắt Ox tương ứng tại T và N Gọi P là hình chiếu của M lên trục Ox.

b) Tìm đường cong lần lượtlựơt có MT = k, MN = l, PT = m, PN = n

3) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm chỉ ra sau đây: a) r(t) (e cos t; e sin t; e ), tt t t

c) r(t)r = (3t – t2; 3t; 3t + t3), biết tiếp tuyến song song với mặt phẳng ( ) : 3xα + + + =y z 2 0

2.1.4 Tính độ dài cung chính quy

*) Tìm độ dài cung giữa hai điểm t1; t2 với r(t)r cho trước:

r '(t) 2a b 2a b cosat cos bt 2a b sin at sin bt 2a b (1 cos(a b)t)

r '(t) 4a b 2a b cos(a b)t 2a b cos(a b)t 2ab

l c'(t) dt 9cos t sin t 9sin tcos t 4sin 2tdt

525cos t sin tdt sin 2tdt

4

5sin 2tdt sin 2tdt sin 2tdt sin 2tdt2

5cos 2t 2 cos 2t cos 2t 2 cos 2t 3

a) Viết công thức tính độ dài cung của một cung đoạn con của nó.

b) Cũng câu hỏi đó đối với hệ tọa độ cầu (r; ; ), (rϕ θ >0).

3

d(z )( ') *

và (C) Suy ra bài toán đã cho có dạng (*)

+) Giải bài toán theo các bước ở dạng (*)

Ví dụ Bài toán 1: Tìm độ dài cung

Ví dụ Bài toán 2: Tìm độ dài cung helix (C): r(t)r =(3a cos t; 3a sin t; 4at)

Từ giao điểm của (C) với mp(Oxy) đến một điểm bất kì

Giải:

Trước tiên ta tìm giao điểm của (C) với mp(Oxy): 4at = ⇒ =0 t 0

Ta có: r(t)r = (3a cos t; 3a sin t; 4at)

r '(t) ( 3a sin t; 3a cos t; 4a)

r '(t) 9a sin t 9a cos t 16a 5a

Ví dụ Bài toán 3: Tìm độ dài cung (C)

+) Đưa (C) về cung tham số rr=rr(t)

Ta đưa được bài toán về dạng (*)

+) Giải bài toán dạng (**)

Ví dụ Bài toán 1: Tìm độ dài cung (C):

2

3 2

x

y

2a

xz

Ta có (C) =

2

3 2

xy2axz6a

z2x

2 2

axz

64azy

2 2

axz

64azy

az

Giao điểm của cung (c) và mặt phẳng x = 4a2 là nghiệm của phương trình:

4

2 2

Độ dài đường cong cần tìm là:

Ta có một tham số hóa của đường Hyperbola là rr(t) =(a 1 t , bt+ 2 )

2 2

2 2 2

Độ dài cung Hyperbola x22 y22 1

a − b = phần phía trên trục hoành được tính

theo công thức:

2 2

2 2 [a 2; a 5]

1) Tính độ dài các cung sau:

a) r(t)r = (e cos t; e sin t; e )t t t với t [0; 5].∈

b) ρr(t) =(e ; sin t; t)t với t [1; ].∈ π

c) c(t) = (acosht; asinht; at) a> 0 trong khoảng [0; b]

2) Tìm độ dài cung (C) c : a(t sin t), a(1 cos t), 4a cos t

3) Tìm giao độ dài đường cong

2

3

2az

Phương pháp giải chung:

Chọn tham số hoá r(t)r = (x(t); y(t); z(t)) của (C) và

Chon tham số hoá r(t)r = (x(t); y(t); z(t)) của (C) và r(t )r 0 = M (0; 0; 1)0

Lấy đạo hàm cấp 1 của (1) ta được: x.x ' y.y ' z.z ' 0

Phương trình mật tiếp của (C) tại điểm M0(0; 0; 1):

Chon tham số hoá r(x)r =(x; x ; f (x))n của (C)

Đặt M = (x; x ; f (x)) Cn ∈ ⇒ P(0; x ; 0)n do P là hình chiếu của M trên Oy

⇒ ur × ur = r (Mâu thuẫn với ⇒ r '(x) r ''(x)ur ×ur ≠ 0r) Do đó n 1≠ .

Giải phương trình Euler cấp 2 thuần nhất:

Nghiệm tổng quát f(x) = ax + bxn – 1, a, b = const

Vậy f(x) = ax + bxn – 1, a, b = const thì mặt phẳng mật tiếp tại các điểm M đều đi qua hình chiếu của nó với Oy