Đề thi thử ĐH lần I.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi C’ và D’ lần lợt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD.. Tính diện tích tam giác ABC.. Tìm tọa độ đỉnh C biế
Trang 1Trờng THPT Hà Bắc Đề thi thử ĐH lần I Môn Toán (180)
Phần bắt buộc.
Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số
1
1 2 +
−
=
x
x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I (− 1 ; 2 ) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất
CÂU 2 ( 2 điểm)
1 Giải phơng trình : 2 sin2x − sin 2 x + sin x + cos x − 1 = 0
2 Tìm giá trị của m để phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất :
log ( 6 ) log ( 3 2 2) 0
2 5
,
CÂU 3 ( 1điểm) Tính tích phân: = ∫2 −
1 2
2
4
dx x
x
CÂU 4 ( 1 điểm) Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và
a CD
BC
AB = = = Gọi C’ và D’ lần lợt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD Tính thể tích tích
tứ diện ABC D ’ ’.
CÂU 5 ( 1 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trị bé nhất của biểu thức:
S=cos3A+2cosA+cos2B+cos2C.
Phần tự chọn (thí sinh chỉ làm một trong hai phần : A hoặc B )
Phần A
CÂU 6A ( 2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A ( 1 ; 1 ) , B ( − 2 ; 5 ) , đỉnh C nằm trên đờng
thẳng x − 4 = 0 , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2 x − 3 y + 6 = 0 Tính diện tích tam giác ABC.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có phơng trình : d :
z
y
−
−
=
1
2 và d’ :
1
5 3
2
2
−
+
=
−
=
y
Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau Viết phơng trình mặt phẳng ( α ) đi qua
d và vuông góc với d’
n
n n
n n
C
S = 0 − 2 1 + 3 2− 4 3+ ⋅ ⋅⋅ + ( − 1 ) ( + 1 ) Phần B.
CÂU 6B ( 2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A ( 2 ; − 1 ) , B ( 1 ; − 2 ) , trọng tâm G của tam
giác nằm trên đờng thẳng x + y − 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
13,5
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có phơng trình : d :
z
y
−
−
=
1
2 và d’ :
1
5 3
2
2
−
+
=
−
=
y
Viết phơng trình mặt phẳng (α ) đi qua d và tạo với d’ một góc 300
n n
n
C
S = 0+ 2 1 + 3 2+ ⋅ ⋅⋅ + ( + 1 )
Trang 2Đáp án môn Toán.
Câu 1 1 Tập xác định : x≠−1
1
3 2 1
1
2
+
−
=
+
−
=
x x
x
) 1 (
3 ' +
=
x
Bảng biến thiên:
Tiệm cận đứng : x=−1 , tiệm cận ngang y = 2
1
3 2
;
0
x x
+
) 1 (
3 1
3
0 0
x x x
x
+
= + +
0 ) 1 ( 3 ) 2 ( ) 1 (
)
(
0
x
Khoảng cách từ I (− 1 ; 2 ) tới tiếp tuyến là
0 2 0
4 0
0 4
0
0 0
) 1 ( ) 1 ( 9
6 )
1 ( 9
1 6 1
9
) 1 ( 3 ) 1
(
3
+ + +
= + +
+
= +
+
+
−
−
−
=
x x
x
x x
x x
d
Theo bất đẳng thức Côsi
6 9 2 ) 1 (
)
1
(
0
2
0
=
≥ + +
x , vây d ≤ 6 Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi
) 1 (
)
1
(
9
0
2 0
2 0
2
0
±
−
=
⇔
= +
⇔ +
=
Vậy có hai điểm M : M(−1+ 3;2− 3) hoặc M(−1− 3;2+ 3)
CÂU 2
1) 2 sin2x − sin 2 x + sin x + cos x − 1 = 0 ⇔ 2 sin2x − ( 2 cos x − 1 ) sin x + cos x − 1 = 0
∆ = ( 2 cos x − 1 )2− 8 (cos x − 1 ) = ( 2 cos x − 3 )2 Vậy sin x = 0 , 5 hoặc sinx=cosx−1
Với sin x = 0 , 5 ta có x π 2kπ
6 +
= hoặc x π 2kπ
6
5
+
=
−
=
−
=
−
⇔
−
=
−
4
sin 2
2 4
sin 1 cos
x=2kπ hoặc x π 2kπ
2
3 +
=
2) log ( + 6 ) + log ( 3 − 2 − 2) = 0 ⇔
2 5
,
2
+
−
−
=
<
<
−
⇔
−
−
= +
>
−
−
⇔
3 8
1 3
2 3 6
0 2
3
2 2
2
x x m
x x
x x
m
x x
Xét hàm số f ( x ) = − x2 − 8 x + 3 , − 3 < x < 1 ta có f ' ( x ) = − 2 x − 8 , f ' ( x ) < 0khi x>−4, do đó f (x ) nghịch biến trong khoảng (− 3 ; 1 ), f ( − 3 ) = 18 , f ( 1 ) = − 6 Vậy hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất khi
18
6< <
− m
CÂU 3 Đặt x = 2 sin t thì dx = 2 cos tdt , khi x = 1 thì
6
π
=
t , khi x = 2 thì
2
π
=
t , vậy:
=2
1
2
6 2
2 2
2
sin
cos 4
π
π
dt t
t dx
x
x
6
2 6 2
6
sin 1
π
π
π π π
π
t t d dt
π
−
CÂU 4 Vì CD ⊥ BC , CD ⊥ AB nên CD ⊥ mp (ABC )và do đó
) ( )
mp ⊥ Vì BC ' ⊥ ACnên BC ⊥ mp (ACD )
Suy ra nếu V là thể tích tứ diện ABC’D’ thì ( ' ' ) '
3
1
BC D AC dt
Vì tam giác ABC vuông cân nên
2
2 ' '
Trang 3Ta có AD2 = AB2+ BD2 = AB2+ BC2 + CD2 = 3a2 nên AD = a 3 Vì BD’ là đờng cao của tam giác vuông ABD nên AD ' AD = AB2, Vậy
3
AD = Ta có
12
2 3
1 3
3 2
2 2
1 '.
'.
2
1 ˆ sin ' '.
2
1
)
'
'
AD
CD AD AC D
A C AD AC D
AC
=
=
2
2
12
2
3
V
36
3
a
CÂU 5 S = cos 3 A + 2 cos A + cos 2 B + cos 2 C=cos 3 A + 2 cos A + 2 cos( B + C ) cos( B − C )
= cos 3 A + 2 cos A [ 1 − cos( B − C ) ]
Vì cos A > 0 , 1 − cos( B − C ) ≥ 0nên S ≥ cos 3 A, dấu bằng xẩy ra khi cos( B − C ) = 1 hay
2
1800 A
C
B = = − Nhng cos 3 A ≥ − 1, dấu bằng xẩy ra khi 3 A = 1800 hay A = 600
Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều
Phần A (tự chọn)
CÂU 6A
1 Ta có C = ( 4 ; yC) Khi đó tọa độ G là
3
2 3
5 1 , 1 3
4 2
G G
y y
y
x = − + = = + + = + Điểm G nằm trên đ-ờng thẳng 2 x − 3 y + 6 = 0 nên 2 − 6 − yC + 6 = 0, vậy yC = 2, tức là
)
2
;
4
(
=
C Ta có AB = ( − 3 ; 4 ) , AC = ( 3 ; 1 ), vậy AB = 5, AC = 10, AB AC = − 5
2
1
2
−
=
−
2 15
2.Đờng thẳng d đi qua điểm M ( 0 ; 2 ; 0 ) và có vectơ chỉ phơng u ( 1 ; − 1 ; 1 )
Đờng thẳng d’ đi qua điểm M ' ( 2 ; 3 ; − 5 ) và có vectơ chỉ phơng u (' 2 ; 1 ; − 1 )
Ta có MM = ( 2 ; 1 ; − 5 ), [ ] u ; u ' = ( 0 ; 3 ; 3 ), do đó [ ] u ; u ' MM ' = − 12 ≠ 0 vậy d và d’ chéo nhau
Mặt phẳng ( α )đi qua điểm M ( 0 ; 2 ; 0 ) và có vectơ pháp tuyến là u (' 2 ; 1 ; − 1 ) nên có phơng trình:
0 )
2
(
2 x + y − − z = hay 2x+y−z−2=0
n n
n n
x = + + + ⋅ ⋅⋅ +
1
( 1 + ) = 0 + 1 2 + 2 3+ ⋅ ⋅⋅ + n n+ 1
n n
n n
n C x C x C x C x x
Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :
( 1 + x )n+ nx ( 1 + x )n− 1= n n
n n
n
C0 + 2 1 + 3 2 2+ ⋅ ⋅⋅ + ( + 1 ) Thay x=−1vào đẳng thức trên ta đợc S
Phần B (tự chọn)
CÂU 6B
1 Vì G nằm trên đờng thẳng x + y − 2 = 0 nên G có tọa độ G = ( t ; 2 − t ) Khi đó AG = ( t − 2 ; 3 − t ),
)
1
;
1
( − −
=
2
1
2
−
− +
−
=
−
2
3
2 t −
Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 13 , 5 : 3 = 4 , 5 Vậy 4 , 5
2
3 2
=
−
ra t=6 hoặc t =−3 Vậy có hai điểm G : G1= ( 6 ; − 4 ) , G2= ( − 3 ; − 1 ) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
) (
x = − + và yC = 3 yG− ( ya + yB)
Với G1= ( 6 ; − 4 ) ta có C1=(15;−9), với G2= ( − 3 ; − 1 )ta có C2 =(−12;18)
2.Đờng thẳng d đi qua điểm M ( 0 ; 2 ; 0 ) và có vectơ chỉ phơng u ( 1 ; − 1 ; 1 )
Trang 4Đờng thẳng d’ đi qua điểm M ' ( 2 ; 3 ; − 5 ) và có vectơ chỉ phơng u (' 2 ; 1 ; − 1 ).
Mp(α ) phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và
2
1 60 cos ) '
; cos( n u = 0 = Bởi vậy nếu đặt n = ( A ; B ; C ) thì ta phải có :
= + +
−
+
=
+
−
2
1 6
2
0
2 2
A
C B
A
C
B
A
⇔
=
−
−
+
=
⇔
+ + +
=
+
=
0 2
) ( 6
3
C A B C
C A A A
C A B
Ta có 2 A2− AC − C2 = 0 ⇔ ( A − C )( 2 A + C ) = 0 Vậy A = C hoặc 2 A = − C
Nếu A = C,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B = 2, tức là n = ( 1 ; 2 ; 1 ) và mp (α )có phơng trình
0 )
2
(
x hay x+2y+z−4=0
Nếu 2 A = − C ta có thể chọn A = 1 , C = − 2, khi đó B = − 1, tức là n = ( 1 ; − 1 ; − 2 ) và mp ( α )có phơng trình
0 2
)
2
x hay x−y−2z+2=0
n n
n n
x = + + + ⋅ ⋅⋅ +
1
( 1 + ) = 0 + 1 2 + 2 3+ ⋅ ⋅⋅ + n n+1
n n
n n
n C x C x C x C x x
Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :
( 1 + x )n+ nx ( 1 + x )n− 1= n n
n n
n
C0 + 2 1 + 3 2 2+ ⋅ ⋅⋅ + ( + 1 ) Thay x=1vào đẳng thức trên ta đợc S