Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị C của hàm số.. Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng đ: y=—x +m luôn cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A, 8.. Tìm giá trị nhỏ nhất
Trang 12È 17
I PHẲN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm )
Cho hàm số y= xe (0)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng (đ): y=—x +m
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của độ
đài đoạn thẳng AB
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình : v/3cos? x+2sin xcosx ~ V3sin? x-1=0 qd)
2 Giải phương trình : V3x+4-—v/2x+1=Vx+3 (2)
Câu HI (1,0 điểm )
WS @?Xdx
Tinh I= ba š Câu IV (1,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam tam giác cân tại A và có
AB = AC = a, mặt phẳng (S8C) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = SB = a,
SC = x Ching t6 rằng 8C là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Hãy xác định tâm và bán kính mặt câu ngoại tiếp hình chóp đã cho
Câu V ( 1,0 điểm )
Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x.(1— y) = y4-x?
Tìm giá trị lớn nhất , giá tri nhỏ nhất của tỉ số ^
ỷ
IL PHAN RIENG (3,0 diém )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phân ( phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn :
Câu VLa (2,0 điểm)
1 Cho đường tròn (C):x? + y? -6x+2y+6=0 và điểm A(I; 3) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A; Goi 8, C là các tiếp điểm của các tiếp tuyến trên Tính diện tích của tam giác A8C
Trang 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (z):xz-y+z-5=0
và đường thẳng (A):—=—“=<
Ẽ s(A) 1 2 2:
Viết phương trình đường thẳng (đ) đi qua điểm A(3;—1; 1), nằm trong mặt phẳng (z) và hợp với đường thẳng (A) một góc 450
Câu VILa (1, 0 điểm )
Tính tổng
5 =100C (3) ~10Ic}m 2) +«=IsscRiE) +aaoci (2)
2 Theo chương trình nâng cao :
Câu VIb ( 2,0 điểm )
1 Cho hypebol (H):9x? -16y? =144 Tìm điểm & thuộc hypebol (H) Biết điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120°
2 Trong không gian với hệ tọa độ Øxyz cho hai đường thẳng
Chitng minh ring (d,)va (d,)chéo nhau; Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (4) và (4;)
Cau VII b (1, 0 điểm )
Tìm hệ số của xŸ trong khai triển thành đa thức của :
P(x)=[I+z*(I-z)Ÿ
Câu I
1 Phần khảo sát chỉ tiết bạn đọc tự làm , dưới đây là bảng biến thiên và đổ thị
(C) của hàm số
+ Bảng biến thiên :
Trang 3
_œ:
+ Đề thị (C) :
2 Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (4) là: i
mt @
& g(x) =x? —mx+m-2=0 ()
x#1
(*) c6 A =m? -4(m-2) =(m-2)' +4>0,¥m
Và g(1)=~1#0 Nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Hay (C) và (4) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
+ừxg =
Gọi 2 giao điểm là A(xA:yx) B(xp ; „am no
Tac6: AB’ =(xp -x) +(y4 ~yg}” =2(xp =x)
=2(xp +x)’ ~Bx4.xy =2m2 -8(m—2)=2(m-2) +8
Do đó khi m = 2 thì AB„„ =22
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
(1) va( #822) sinae—Ja( 82) -1-0
© V3cos2x+sin2x=1 co Boosts tsinze=4
sin” cos2x+cos£ sin2x =4 © sn( 2x +) =sin=
eo} 3 (kez) | 2 (kez)
a Sa
Trang 42.2) ©2x+l+lJx+3=v3x+4
2x+120
<4x+320
2x+1+x+3+242x+1)(x+3)=3x+4
1
x=-3
taped
Cault pat r=Ve*-1>2 =e" -1 °[
-©
e*dx =2t.dt
Đổi UX In2 InS
¡ cận: t 1 2
cape ahem =2 +Ù)&t =2|—+: —
A
Câu IV
* Chứng tỏ rằng 8C là đường kính của
đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC
Gọi H là trung điểm của BC
=AH L BC =(SBC) (ABC)
(SøC)L MS)
Ma AC = AB= AS =a=>>HC=HB=HS $s
Nên đường tròn ngoai tiép ASBC cé tam la H và đường kính BC
* Hãy xác định tâm và bán kính mặt câu ngoại tiếp hình chóp đã cho
Theo trên ta có Ở là tâm đường tròn ngoại tiếp AS8C ,AH 1 (SBC) nên
AH là trục của đường tròn ngoại tiếp ASBC Gọi M là trung, điểm của AB,
trong AABH kẻ đường trung trực của cạnh AB cất AH tai O thì
OA =OB=OC =OS_, nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp đã
cho, mặt câu có bán kính R.= OA Vì AAMO ~ AAHB = C4 - 21, AB AH
Trang 5
2
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm O , ban kinh R=OA = S
3a
Câu V
Điều kiện: -2<x<2
Để tổn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ^ thì x#0;y #0
y
Ta có : x(l—y)=y.J4—x? ©š*=x+4-x?
y
x
Dat —=h.(h#0)
y
Dễ thấy ñ(x) = x+4— xŸ là một hàm số liên tục trong đoạn [- 2 2]
Ta có ñ'(x)=1——=Š 5 =h'(zx)=0e4~x? =xex=2
x
Tee
Matkhéc: A(-2)=-2, h(2)=2, h(V2)=2V2
1
Suy ra ety tele khi x=VW2=y=š ya
pit [N= khi x=-2>y=1
1 y=
Vậy: Giá trị lớn nhất của “ là: 2/2 khi x=J2 > y= 5
Giá tri nhỏ nhất của ~ 1A: -2 khi x=-2=>y=l
y
1 PHAN RIENG
1 Theo chương trình Chuẩn :
Câu VIa
1 Đường tròn (C):x? + y°~6x +2y+6=0 có tâm 1(3;-1), R=2
* Đường thẳng đi qua A(1; 3) có phương trình :
(Ä): m(x~1)+n(y~3)=<0 © mừ + ny —m ~3n =0, (mỄ + n2 z0)
Trang 6(A) tiếp xúc với (C) © đ(1 : A)= R
Bm~—n —m ~3n|
Im? + n?
= |m—2n|= Vm? +n? <> n(3n—4m)=0
n=0>m=1
=2
nna ned
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu câu bài toán :
(4,):x-1=0 ; (Az):3x+4y~15=0
* Gọi 8 là tiếp điểm của tiếp tuyến (A,):x—1=0 với (c), suy ra tọa độ
của B là nghiệm của hệ phương trình :
ky +(@+IŸ "` sãHn3—¬-Áb
Goi C là tiếp điểm của tiếp tuyến (A;) với (C) suy ra C là hình chiếu vuông góc của /(3;~1) trên (A;)=>Œ€=(A;)©(4)_, trong đó (4)là đường thẳng đi qua / và vuông góc với (A>)
=> (d):4(x-3)-3(y +1) =0 4x-3y-15=0
21
3x+4y-15=0 [7 5
C=(A;)¬(4)=€ ee sco 3
Ns
Goi (d') là đường thẳng BC => (4):Š— =2 ©x-2y-3=0
Diện tích của tam giác ABC :
S, AAbC =—BC.d(A,d')=-—= =7 (A.4) 25 da == SER Tes, (dvdt) )
Cách khác:
Ta biết tiếp tuyến của (C)ai tiếp điểm M(x¿;yo)có dạng :
Xq-X + YoY —3(Xy +x) +(Yo +y)+6=0 (d) (cần chứng minh lại)
vi (4) qi qua A(1;3)=> x9 +3y9 ~3(xọ + 1)+(yọ +3)+6 =0
&©~2xg +4yạ +6=0 © xụ =2yo —3=0
Trang 7Vì B, C là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A nên tọa độ của chúng phải thỏa phương trình : (đ'):x—2y—~3=0
°
x-2y-3=0 y=-l
21 x=
Do đó 2=(A)¬(4)2:{
C=(A (A;)¬(4)= d@')>C: lệ: S‡ ¿
}=
Diện tích của tam giác ABC :
18 |l-6-3| 1 8 8 32
Sapc sục *SBCA(A.4)=2 PT l s =LBCA4(A,4)=1-5, ase (avd (đvd)
Đường thẳng (A) có vectơ chỉ phương a 72 ẤT
Gọi # =(a ; b; e) là vectơ chỉ phương của đường thẳng (a)
Ta có:
* (4)c(ø)= w.n =0©a-b+e=0©b=a+ec ()
® (4) hợp với (A) một góc 45” nên ta có
cos459 = [=z| _ Ja+2z+2a| _ at
[fe] Video v2
© 2(a+2b+2c)' =9(a? +5? +c°)
e 2[a+2(a+e)+2c] =9[a*+(a+c) +e°
c=0>a=b=1
© ayes) c(7c+15a)=0< c=_ =a= 7;e=~l5;b=-~8
Do đó có 2 véc tơ ø =(1;1;0), ø; =(7;—8; —15)
Vậy có 2 đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán
(4)):sy=-l+t 5 (d,):}y=-1-8t'
Trang 8Câu VII.a
Ta có :
100
(2 + x) =Cbuz?99 + CLox!9 x + Chạx S6, x2 + CjọX X” + Gia go
=Cbax?? + Chax 9 + Cjax 9Ế + + CloZ! + Cng x0 Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta có :
99
100(x? + x) (2x+1)=
= 200.C%9 x! +199.Chyg x! + + 101.Cjo# 99 + 100.Cj00x””
Thay x=-2 „ ta được :
0= 200Clu(= 5) +I99€lx(~2] +-+101.0%(-3) +I00j(~ 3)
-200.¢o( 5) +199Cho( 3) ~~ s101.¢%() -100.01%() =0
vi Cha =Cla -È ,0<k <100, suy ra ta có :
tooclu(Ï -101.C4a(3) + -199.680( 3) +2o0cif Ì =0
Vậy ta được: S=0
2 Theo chương trình nâng cao :
Cau VLb
1 Giả sử ae y)€(H) Áp dụng định lí cosin trong tam giác J,M;, ta có:
= MF? + MF? —2MF MF,.cos120°
° vn =MF + MF} + MR,.MF;
© RFỆ =(MR, - MF,)” +3MF,.MF,
«(2c)? =(a) + 3|a + ex|.|a—ex]
16-2222
16
e la? -—#
a
© 4c? =4a? +3 = 100 = 64 +3)
Trang 9
Vậy có bốn điểm cần tìm là:
u,{ 87 33 u,{ 87 3⁄3
2 * Chứng minh ring (d,) va (d+) chéo nhau
(di) đi qua điểm 4(7 ; 3; 9) va c6 vecto chi phyong a =(1;2;1) (4;) đi qua diém B(3; 1; 1) va c6 vecto chỉ phương ở =(~7 ;2; 3) Tab: AB=(~4;-2;-8) và [ a,b ]=(8;4;16)
Suy ra: [ 4, ð |4 =8.(~4) + 4(~2) + 16.(~8) = —I68 z 0
Vậy (đ,) và (d;) chéo nhau
* _ Tính khoảng cách giữa (d,) va (đ›)
[z.*]23 |-168|
26.4)* TẾT "vang SG:
Câu VH.b
Ta có : P(x)=[tI+z?(I _9Ƒ =(1+22 _#}
= 3 z Con (Aya
Do đó hệ số của x” là (~1)”.Cÿ.C' khi 2k +m =8, (0<m <k<8)
m=0>k=4
=8-2k,(0<m<k<8
Vay hé sd cita sé hang chita x* a: (-1)” Cf.C9 + (-1)° C3.c? =238.