2 Tìm giá trị của m để hàm số 1 có 3 cực trị, đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị xác định một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 3 4... Viết phương trình đường thẳng ∆ đ
Trang 1ĐỀ THI THƯ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
4 4 ,(1) 2
y= x + mx + m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) khi m= −1
2) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có 3 cực trị, đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị xác định một tam giác
có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 3
4
π
2)Giải hệ phương trình sau:
3 3
Câu III(1 điểm):Tính tích phân:
2 3
2 3
(1 sin )sin
π
=
+
∫
BAD = CạnhSA=4a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho AM=x (0<x<4a).Mặt phẳng(MBC) cắt cạnh SD tại N Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD ra thành hai phần sao cho thể tích của khối chóp SBCMN bằng 5
4 thể tích của khối BCNMAD
Câu V(1 điểm):Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=xyz.Tìm giá trị lớn nhất của :
P
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A, hoặc B).
A Theo chương trình Chuẩn:
Câu VIA(2 điểm):1)Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình :
( ) (2 )2
M(-3;-2) và x A >0
2)Trong không gian tọa độ Oxyzcho hai điểm A(1;4;2), B(− 1;2;4) Viết phương trình
đường thẳng ( )∆ đi qua trực tâmH của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (OAB) sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.(O là gốc hệ trục toạ độ)
Câu VIIA(1 điểm):Tìm số phức z thoả mãn : z 2 i− + =2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu VIB(2 điểm): 1)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hai đường tròn :
1
2
( ) :C x +y +4x−2y−20 0= Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của ( ) ( )C1 ; C và có tâm nằm trên đường thẳng (d) x+6y-6=0.2
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
1 2
x t
=
= −
= − +
x = y− = z
− − và d3:
x+ = y− = z+
Chứng tỏ rằng d d là hai đường thẳng chéo 1; 2
nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d d Viết phương trình đường thẳng 1; 2 ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC
Câu VIIB(1 điểm):Tính tổng :
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT MÔN TOÁN KHỐI 12 LẦN 4 NĂM HỌC 2010-2011
Câu I.1
4 4 ,(1) 2
2
lim
→±∞ = +∞
' 2 ( 4); ' 0
2
x
x
=
Bảng biến thiên:
x −∞ -2 0 2 −∞
'
y − 0 + 0 − 0 +
y +∞ 4 +∞
−4 −4
Hàm số đồng biến trong các khoảng: (−2;0 , 2;) ( +∞)
Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞ −; 2 , 0;2) ( )
Các điểm cực tiểu của đồ thị: ( 2; 4),(2; 4)− − −
Điểm cực đại: (0;4)
+ Điểm uốn của đồ thị:
'' 6 8, '' 0
3
U − U − −
+ Đồ thị:
0,25
0,25
0,25
0,25 Câu I.2
4 4 ' 2 ( 4 ); ' 0
x
=
Để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi
dấu khi x qua 3 nghiệm suy ra điều kiện : 4− m> ⇔ <0 m 0
Cực đại A(0;4m2), hai cực tiểu B( 2 − − −m; 4m C2 ), (2 − −m; 4m2 )
Khi đó tam giác xác định bởi 3 điểm cực trị tạo thành là tam giác cân ABC.Gọi R là
AB AC BC R
S
=
V
Khoảng cách từ cực đại đến đường thẳng qua 2 cực tiểu là :h=8m2, BC =4 −m,
4
ABC
2
Suy ra
1 1 2
m m
=
=
.Kết hợp với điều kiện m<0 ta nhận 1
2
m= −
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu II.1
(1,0 đ) Giải phương trình: 2−sin1xsinπ6 −2x=4sinx− −1 2sin1 x
Điều kiện:sinx≠0 (*)
Với điều kiện (*) ta có:
Trang 3( ) 2
6
π π
Suy ra :2sinx− =1 0 hoặc cos 2x− 3 sin 2x=4sinx+1
2 6
5 2 6
= +
= +
2
7
(Vì sinx≠0)
6
x= +π k π k Z∈
6
x= π +k π k Z∈
; 7
2 , 6
x= π +k π k Z∈
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu II.2
3 3
0
y≠ Chia cả hai vế pt(1) và pt(2) lần lượt cho y3 ≠0;y2 ≠0ta có hệ pt
3 3
3 3
2
2
125
(*)
x x
y y
Đặt u 3 ;x v 5,v 0
y
(*) trở thành
2
u v
uv
+ =
2
u v
=
=
2 1
u v
=
=
Với
1
5 2
2
u v
y y
=
=
Với
2
1 1
5
x
v
y y
=
Vậy hệ pt có hai nghiệm (x;y) là 1 5; ; 2;5
0,25
0,25
0,5
Câu III
(1,0 đ)
2
( sin )sin (1 sin ) sin (1 sin )sin (1 sin )sin
dx
+
Trang 4+ Đặt
sin
u x
du dx dx
dv
x
=
2
x
2
2 3 3
4 2 |
x
x
π π
π
3
I = π + −
0,25
0,25
0,25
Câu IV
(1,0 đ)
D B
A
C
S
M
N
Ta có:
(MBC ) I (SAD) = MN với MN//AD ( Do AD // BC v N à ∈ SD ) Khi đó
2 0
.
S ABCD
a b
S ABC S ACD S ABCD
a b
Mà: .
.
4
4
S MBC
S ABC
.
12
S MBC
ab a x
2
.
S MNC
S ADC
.
3 4 48
S MNC
48
S BCNM SMBC SMNC
48
BCNMAB
-Theo giả thiết có .
5 4
S BCNM BCNMAB
4a
3
32a
3
KL : x = 4a
3
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu V
P
P
1+a =ab bc ca a+ + + = +(a b a c)( + ) Với các đẳng thức tương tự ta có
0,25 0,25
Trang 52 2 2
P
7
b c= = a.Hay
4
0,25
0,25
Câu
VIA.1
(1,0 đ)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương
Xác định tạo độ các đỉnh của hình vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M(-3;-2) và x A >0
Phương trình đường thẳng đi qua M(-3;-2) có dạng ax by+ +3a+2b=0.Đường tròn
(C) có tâm I(2;3) và bán kính R= 10 nên:
2 2
+
Hay b=-3a Do đó pt (AB) là x-3y-3=0 hoặc pt (AB) là 3x-y+7=0
TH1:(AB) x-3y-3=0 Gọi A(3t+3;t) vì A có hoành độ x A >0 nên t>-1 và do
2 2 2 20
1
t
t
=
chọn t=1.Suy ra A(6;1)⇒C(-2;5) và B(0;-1) ⇒D(4;7)
TH2:(AB) 3x-y+7=0 Gọi A(t;3t+7) vì A có hoành độ x A >0 nên t>0 và do
2
t
t
=
0,5
0,25 0,25
Câu
VIA.2
(1,0 đ)
Trong không gian tọa độ Oxyzcho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua trực tâmHcủa tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
(OAB) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (OAB) sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất
1;4;2
, 12, 6,6 1;2;4
OA
OB
uuur
r uuur uuur uuur
mặt phẳng (OAB 2) : x y z− + =0
( , , )
H a b c là trực tâm tam giác OAB nên :
0
5
2 ( 1) 2( 4) 4( 2) 0 5
2
a
c
=
∈
uuur uuur
uuur uuur
( )
2 5 :
2 5 2
x t
=
= +
Với mọi điểm K ta đều có:
0,25
0,25
Trang 6( ) (2 )2 ( )
MA +MB = uuur uuuurKA KM− + KB KMuuur uuuur− =KA +KB + KM − KM KA KBuuuur uuur uuur+
Chọn K(0;3;3) là trung điểm AB nên MA2+MB2 =2KA2+2KM2
MA +MB nhỏ nhất khi KM ngắn nhất khi đó M là hình chiếu của Ktrên mặt phẳng (OAB)
( ; ; ) ( ; 3; 3) / / (2; 1;1)
(2 ;3 ;3 )
M∈ OAB ⇒ − − + + = ⇒ =t t t t
Vậy M(0;3;3)
0,25
0,25
Câu
VIIA
(1,0 đ)
Gọi số phức z=a+bi
Theo bài ra ta có: ( ) ( ) (2 )2
a b a b
= −
= − −
⇔
= +
= − +
Vậy số phức cần tìm là: z=2− 2+(− −1 2)i; z= z=2+ 2+(− +1 2)i
0,25 0,25
0,25
0,25 Câu
VIB.1
(1,0 đ)
Gọi A,B lần lượt là giao điểm của hai đường tròn ( )C và 1 ( )C suy ra toạ độ của A và 2
B thoả mãn hệ :
2 2
4 1
1
3
x x
y x
x
y
=
⇔ == − ⇔ =
.Vậy A(2;4) ,B(1;-3)
Gọi I là tâm của đường tròn cần tìm vì I∈ V:x+6y-6=0.Theo giả thiết thì đường tròn ( C) cần tìm đi qua 2 điểm A,B nên ta có:IA=IB=R
(Có: IAuur=(6a−4; 4−a), IBuur=(6a− − −5; 3 a))
⇔ (6a−4)2+ −(4 a)2 = (6a−5)2+ − −( 3 a)2 =R
⇔(6a−4)2+ −(4 a)2 =(6a−5)2+ − −( 3 a)2
⇔36a2−48a+ + −16 16 8a a+ 2 =36a2−60a+25 9 6+ + a a+ 2
⇔ 2a = -2 ⇔ a = -1
Lúc đó : I(12; -1), R= 100 25 5+ =
Vậy :(C ): (x - 12)2 + (y + 1)2 = 52
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu
VIB.2
1 2
x t
=
= −
= − +
suy ra d đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp 1
Trang 71(1; 1;2)
x= y− = z
− − suy ra d đi qua điểm B(0;2;0) và có một 2
vtcp uuur2(1; 3; 3)− − Ta có uuurAB(0; 2;1)− và u uur uur1, 2 = (9;5; 2− ) suy ra
1 2
uuur ur uur
.Vậy d và 1 d là hai đường thẳng chéo 2
1 2
,
55
,
AB u u
d d d
u u
uuur ur uur
ur uur
+)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)
A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔B là trung điểm của AC
( 1 5 ) 2
− + + − + = −
Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0
Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)
x = y− = z
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu
VIIB
(1,0 đ)
Tacó
2010
0
k
=
2010
0
k
=
2
Lấy tích phân 2 vế của (1) với cận từ 1 đến 2 ta được:
2
2011 2011
4022
0,5
0,5