Đề thi thử đại học có đáp án

Mặt phẳng α song song với trục hình trụ và cắt nó theo thiết diện ABB’A’.. Biết một cạnh của thiết diện là dây cung của đờng tròn đáy căng một cung 1200.. Tính diện tích toàn phần hình t

Đề thi thử đại học Khối A, B

Môn: toán - Năm học 2009 - 2010

(Thời gian làm bài: 180 phút)

I Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)

Câu I: (2 điểm) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 – 6x2 + 5

2 Tìm m để phơng trình: x4 – 6x2 – log2m = 0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3 nghiệm lớn hơn – 1

Câu II: (2 điểm) 1 Giải phơng trình: 2sin3x – 3 cos3x = sinx – 3 sin2x.cosx

2 Giải hệ phơng trình:









+

= + +

−

+

=

− + +

2 1 1 2

2 1 2

1

y x

y x

Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫4 −

0

2 sin 2

4 sin

π

dx x x

Câu IV: (1 điểm) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình trụ là

4 π Mặt phẳng (α) song song với trục hình trụ và cắt nó theo thiết diện ABB’A’ Biết một cạnh của thiết diện là dây cung của đờng tròn đáy căng một cung 1200 Tính diện tích toàn phần hình trụ và diện tích thiết diện ABB’A’

Câu V:(1 điểm) Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn: x + y + z = π

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=tan

2

x+tan

2

y +tan

2

z

II Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần A hoặc B

A – Chơng trình chuẩn:

Câu VI.A (2 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có phơng trình 1

4 9

2 2

= + y

Viết phơng trình tổng quát đờng thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho 3 điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; 0), C(1; 2; -1)

a Viết phơng trình mặt phẳng (α) qua A, B, C

b Viết phơng trình mặt phẳng (β) qua D(0; 1; 0), biết rằng giao tuyến của (α) và (β) là đờng thẳng d có phơng trình

2

1 2

2 2

1

−

−

=

−

+

=

x

Câu VII.A (1 điểm) Cho tập A gồm 100 phần tử khác nhau Xét các tập con không rỗng chứa một số

lẻ các phần tử rút ra từ tập A Hãy tính xem có bao nhiêu tập con nh vậy

B – Chơng trình nâng cao:

Câu VI.B (2điểm) 1 Trong mặt phẳng Oxy, Cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết điểm M(1; -1) là

trung điểm cạnh BC và G(

3

2

; 0) là trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, Biết đỉnh S(3; 2; 4) B(1; 2; 3), D(3; 0; 3) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng AC và SD

Câu VII.B (1 điểm) Cho hàm số: y =

x

x2

1− (C) Tìm toạ độ điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B và độ dài AB ngắn nhất

- Hết

-Biểu điểm và hớng dẫn chấm

(Gồm 05 trang)

I Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)

Câu I: (2 điểm) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 – 6x2 + 5

Câu Nội dung Điểm

I

1) *) Tự giải

1,0

2) Pt ⇔ x4 – 6x2 + 5 = 5 + log2m

Nhìn vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán ⇔ 0 < 5 + log2m < 5 ⇔ 1/32 < m < 1 1,0

Câu II: (2 điểm) 1 Giải phơng trình: 2sin3x – 3 cos3x = sinx – 3 sin2x.cosx

2 Giải hệ phơng trình:









+

= + +

−

+

=

− + +

2 1 1 2

2 1 2

1

y x

y x

II

1) 2sin3x – 3 cos3x = sinx – 3 sin2x.cosx

⇔ sinx(2sin2x – 1) = 3cosx(cos2x – sin2x)

⇔ cos2x(sinx + 3cosx) = 0

⇔ 





= +

=

0 cos 3 sin

0 2 cos

x x

x





−

=

= 3 tan

0 2 cos

x

x

⇔













+

−

=

+

=

π π

π π

k x

k x

3

2 4

1,0

2)









+

= + +

−

+

=

− + +

) 2 ( 2 1 1 2

) 1 ( 2 1 2

1

y x

y x

ĐK:







≤

≤

−

≤

≤

−

2 1

2 1

y x

Lấy (1) trừ (2) ta đợc: x+1− y+1+ 2−y− 2−x = 0

⇔ x+1x+−y y+1+ 2−y x−+y2−x =0 ⇔ x = y

thế x = y vào (1) : x+1+ 2−x =1+ 2 ⇔ 3+2 x+1. 2−x =3+2 2

⇔ x2 – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 (tm)

Vậy hệ có 2 nghiệm x = y = 0 và x = y = 1

1,0

Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫4 −

0

2 sin 2

4 sin

π

dx x x

Câu Nội dung Điểm

III

I = ∫4 −

0

2 sin 2

4 sin

π

dx x

x =

∫4 +

0 3 cos2

2 cos 2 sin 4

π

dx x

x x

Đặt: t = 3 + cos2x ⇒ dt = -2sin2xdx

Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 4

với x = π/4 ⇒ t = 3

Khi đó : I = ∫3 − −

4

) 3 ( 2

t

dt

∫4 − = −

4 /) ln/

6 2 ( )

6 2

3 ln

1,0

Câu IV: (1 điểm) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình trụ là

4 π Mặt phẳng (α) song song với trục hình trụ và cắt nó theo thiết diện ABB’A’ Biết một cạnh của

thiết diện là dây cung của đờng tròn đáy căng một cung 1200 Tính diện tích toàn phần hình trụ và diện tích thiết diện ABB’A’

IV

*) Ta có thiết diện qua trục là hình vuông nên h = 2R

Sxq = 2πR h ⇒ 4π = 2π R 2R ⇔ R = 1

Stp = Sxq + 2.Sđáy = 4π + 2.π.R2 = 6π

*) Thiết diện ABB’A’ là hình chữ nhật

Góc A’O’B’ = 1200⇒ A’B’ = 2R.sin1200 = R 3 = 3

Mặt khác AA’ = h = 2R = 2

Vậy Sthiết diện = AA’.A’B’ = 2 3

0,5 0,5

Câu V:(1 điểm) Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn: x + y + x = π

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=tan

2

x+tan

2

y +tan

2

z

Câ

V *) áp dụng côsi ta có :

2 tan 2 tan 2 2

tan 2 tan2 x+ 2 y ≥ x y

2 tan 2 tan 2 2

tan 2 tan2 y + 2 z ≥ y z

2 tan 2 tan 2 2

tan 2 tan2 z + 2 x ≥ z x

⇒

2 tan 2

tan 2 tan 2

tan 2 tan 2

tan 2

tan 2

tan 2 tan2 x+ 2 y + 2 z ≥ x y+ y z + z x = 1

(dễ dàng chứng minh : 1

2 tan 2

tan 2 tan 2

tan 2 tan 2 tanx y + y z + z x = )

*) Ta có :

) 2

tan 2

tan 2

tan 2

tan 2

tan 2 (tan 2 2

tan 2

tan 2

tan 2

tan 2

tan 2

2

x z z

y y

x z

y x

z y









⇒

2

2

tan 2

tan 2









 x+ y+ z

≥ 3 hay tan

2

x

+tan 2

y

+tan 2

z

≥ 3 Dấu bằng xẩy ra ⇔ x = y = z = π /3

1,0

Vậy Pmin = 3

II Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần

2)

1 – Theo chơng trình chuẩn:

Câu VI.A (2 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có phơng trình 1

4 9

2 2

= + y

Viết phơng trình tổng quát đờng thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho 3 điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; 0), C(1; 2; -1)

a Viết phơng trình mặt phẳng (α) qua A, B, C

b Viết phơng trình mặt phẳng (β) qua D(0; 1; 0), biết rằng giao tuyến của (α) và (β) là đờng

thẳng d có phơng trình

2

1 2

2 2

1

−

−

=

−

+

=

x

VI.a

1) *) Điểm M nằm trong (E) nên mọi đờng thẳng qua M đều cắt (E) tại hai điểm A,

B

*) M(1; 1) là trung điểm AB ta có xA + xB= 2 , yA + yB = 2

nên: x2 A = (2 – xB) 2 , y2 A = (2 – yB) 2.

Vì A, B ∈ (E) nên 1

4 9

2 2

= + A

A y x

4 9

2 2

= + B

B y x

⇒

4 9

2 2

B

B y

x + - (

4 9

2 2

A

A y x

+ ) = 0 ⇔

4 9

2 2

B

B y

x + - (

4

) 2 ( 9

) 2

B

−

) = 0 ⇒ 4xB + 9yB – 13 = 0

*) Tơng tự ta có: 4xA + 9yA – 13 = 0

Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là: 4x + 9y – 13 = 0

1,0

2) a Ta có AB = (1; -1; -1) , AC = (1; 1; -2)

⇒ [AB,AC] = (3; 1; 2) ⇒ pt (α): 3x + y + 2z – 3 = 0

b Ta có VTCP của d là: u =(1; -1; -1) và qua điểm E(1; -2; 1) d

⇒ DE = (1; -3; 1) ⇒ VTPT của (β) là n.=[DE,u d]= (4; 2; 2)

Vậy phơng trình mp(β): 2x + y + z – 1 = 0

0,5 0,5

Câu VII.A (1 điểm) Cho tập A gồm 100 phần tử khác nhau Xét các tập con không rỗng chứa một số

lẻ các phần tử rút ra từ tập A Hãy tính xem có bao nhiêu tập con nh vậy

VII.a *) Số tập con gồm k phần tử đợc lấy từ A là C100k ⇒ Số tất cả các tập con không rỗng

chứa một số lẻ các phần tử rút ra từ tập A là:

99 100

97 100

3 100

1

100 C C C C

100 99 99 100 4

4 100 3 3 100 2 2 100

1 100

0

100 C x C x C x C x C x C x

100

99 100

4 100

3 100

2 100

1 100

0

100

99 100

4 100

3 100

2 100

1 100

0

100

97 100

3 100

1

(

2C +C + +C +C =

⇒ 2S = 2100⇒ S = 299

1,0

Câu Nội dung Điểm

B – Theo chơng nâng cao:

Câu VI.B (2điểm) 1 Trong mặt phẳng Oxy, Cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết điểm M(1; -1) là

trung điểm cạnh BC và G(

3

2; 0) là trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, Biết đỉnh S(3; 2; 4) B(1; 2; 3), D(3; 0; 3) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng AC và SD

VI.b

1)*) Vì G là trọng tâm ∆ABC và M là trung điểm BC nên

MA 3= MG ⇒ ⇒ A(0 ; 2)

*) Phơng trình BC đi qua điểm M(1 ; -1) và vuông góc với

MA(−1;3) là : -x + 3y + 4 = 0 (1)

*) Ta có MB = MC = MA = 10 ⇒ toạ độ B, C thoả mãn

pt : (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10 (2)

Giải hệ (1) và (2) ta đợc toạ độ đỉnh B(4 ; 0) và C(-2 ; -2)

1,0

2)Ta có AC ⊥ BD và AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ (SBD)

Kẻ KH ⊥ SD thì HK là đờng vuông góc chung

của AC và BD

Ta có H(2; 1; 3) ,SH2 = 3 ; HD2 = 2

2

3 2

2

=

=

HD

SH KD

2

3

−

= ⇒ K(3;

5

4 ; 5

17 )

Pt đờng vuông góc chung:

2

3 1

1 5

−

−

=

x

1,0

Câu VII.B (1 điểm) Cho hàm số: y =

x

x2

1− (C) Tìm toạ độ điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B và độ dài AB ngắn nhất

VII.b *) TXĐ: D = R \{0}

Ta có: y’= -1 – 12

x

+) Tiệm cận đứng x = 0, tiệm cận xiên y = -x

*) Phơng trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) là ∆ : y = − − 2

0

1 1

x (x – x0) – x0 + 0

1

x

*) Toạ độ giao điểm A, B của tiếp tuyến với hai đờng tiệm cận là:

A(0:

0

2

x ) , B(2x0; -2x0)

AB2 = 8x0 + 2

0

4

x + 8 ≥ 8 2 + 8

1,0

H B

C

A

D S

K

Dấu bằng xẩy ra khi: 8x0 = 2

0

4

x ⇔ x0 =

2

1 ⇔ x = 4

2

1

±









 − +4

4

2

1

; 2

1









− −4

4

2

1

; 2

1 '

M

Hớng dẫn chung

ợ Trên đây chỉ là các bớc giải và khung điểm bắt buộc cho từng bớc, yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lý mới đợc công nhận cho điểm

ợ Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm

ợ Chấm từng phần Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn