kien thuc co ban giaitich ngau nhien

1 Các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên 31.1.. Nếu {ξn}hội tụ hầu chắc chắn về ξ thì {ξn}hội tụ theo xác suất về ξ.. Nếu {ξn}hội tụ theo bình phương trung bì

1 Các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên 3

1.1 Các tính chất của hàm phân phối 3

1.2 Độ đo hữu hạn là một hàm liên tục 4

1.2.1 Độ đo hữu hạn là một hàm liên tục bên trái 4

1.2.2 Độ đo hữu hạn là một hàm liên tục bên phải 5

1.3 Định lý Radon-Nicodym 5

1.4 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện 7

1.5 Quan hệ giữa các kiểu hội tụ 9

1.5.1 Nếu {ξn}hội tụ hầu chắc chắn về ξ thì {ξn}hội tụ theo xác suất về ξ 9

1.5.2 Định lý 9

1.5.3 Định lý 10

1.5.4 Nếu {ξn}hội tụ theo bình phương trung bình về ξ thì {ξn}hội tụ theo xác suất về ξ 10

1.5.5 Nếu {ξn}hội tụ theo xác suất về ξ thì {ξn}hội tụ yếu về ξ 10

1.5.6 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất 11

1.5.7 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ h.c.c 12

1.6 Định lý hội tụ đơn điệu (B.Levy) 12

1.7 Định lý: 13

1.8 Bổ đề Fatou: 14

1.9 Định lý hội tụ bị chặn (Lebesgue) 15

1.10.Chứng minh các bất đẳng thức 15

1.10.1.Bất đẳng thức Holder: 15

1.10.2.Bất đẳng thức Minkovski: 16

1.10.3.Bất đẳng thức Jensen: 17

1.10.4.Bất đẳng thức Chebyev: 18

1.11.Bổ đề Borel-Cantelli (luật 0-1) 18

1.12.Định lý Fubini 19

1.13.Định lý 1.10 (Tiêu chuẩn đủ Kolmogorov cho tính liên tục) 20

1.14.Nếu {ξt}t∈T là quá trình gia số độc lập thì {ξt}t∈T là quá trình Markov 21

1.15.Chứng minh các tính chất của thời điểm Markov 21

1.16.Ví dụ về thời điểm Markov 23

2 Martingale trên khoảng thời gian rời rạc và liên tục 24 2.1 Một số ví dụ về Martingale 24

2.2 Định lý 26

2.3 Định lý 2.3 26

2.4 Hệ quả 2.5 (bất đẳng thức Kolmogorov) 27

2.5 Hệ quả 2.6 27

2.6 Hệ quả 2.7 28

2.7 Một số bài tập trang 146 trong sách Các mô hình xác suất và ứng dụng 29

3 Quá trình Wiener - Tích phân ngẫu nhiên Ito - Phương trình vi phân ngẫu nhiên 31 3.1 Một số bài tập trang 165 trong sách Các mô hình xác suất và ứng dụng 31

3.2 Giải phương trình vi phân ngẫu nhiên 33

Các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác

suất và quá trình ngẫu nhiên

1.1 Các tính chất của hàm phân phối

a) Trước hết ta chứng minh tính chất: Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B)

Thật vậy, Ta có: B = A ∪ (B \ A) Do đó: P (B) = P (A) + P (B \ A) ≥ P (A)

c) Lấy dãy {xn} thỏa x1 > x2 > ã ã ã > xn> ã ã ã và xn & −∞

Ta thấy Cn = (−∞, xn) & ∅

Do đó P ξ−1(Cn) & P ξ−1(∅) = 0

Tức là: Fξ(−∞) = lim

x→−∞Fξ(x) = 0Tương tự lấy dãy {xn} thỏa x1 < x2 < ã ã ã < xn< ã ã ã và xn % +∞

Thì Dn = (−∞, xn) % (−∞, +∞)

Do đó: P ξ−1(Dn) % P ξ−1(−∞, +∞) = 1

Tức là: Fξ(+∞) = lim

x→+∞Fξ(x) = 1

1.2 Độ đo hữu hạn là một hàm liên tục

Giả sử à : F → R là độ đo hữu hạn

1.2.1 Độ đo hữu hạn là một hàm liên tục bên trái

Chứng minh Giả sử có dãy {An} ⊂ F thỏa A1 ⊂ A2 ⊂ ã ã ã ⊂ An⊂ ã ã ã và An % A

1.2.2 §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn ph¶i

Chøng minh Gi¶ sö A1 ⊃ A2· · · ⊃ An ⊃ · · · vµ An & A

c) E(aξ1+ bξ2|G) = aE(ξ1|G) + bE(ξ2|G)(P-h.c.c);

d) Nếu ξ là G-đo được và ∃E(ξη), ∃E(η) thì E(ξη|G) = ξE(η|G) (P-h.c.c);

e) Nếu G1 ⊂ G2 thì E[E(ξ|G2)|G1] = E(ξ|G1)(P-h.c.c);

f) Nếu G và ξ độc lập thì E(ξ|G = Eξ (P-h.cc);

g) E(ξ|Gmin) = Eξ, E(ξ|Gmax) = ξ; với Gmin = {∅, Ω}, Gmax = 2Ω

A

[aE(ξ1|G) + bE(ξ2|G)]

⇒ E(aξ1+ bξ2|G) = aE(ξ1|G) + bE(ξ2|G)(P-h.c.c)

d) • Giả sử ξ, η ≥ 0 :

* TH1: ξ = Pn

k=1

xkχAk, trong đó xk∈ R, Ak = {ω : ξ(ω) = xk} ⊂ GKhi đó: ∀A ∈ G ta có:

* TH2: ξ là G−đo được bất kỳ Khi đó: ∃{ξn} bậc thang thỏa ξn→ ξ

Theo TH1 ở trên thì ξnE(η|G) = E(ξnη|G)

Mà ξnE(η|G) → ξE(η|G) E(ξnη|G) → E(ξη|G)

Do tính duy nhất của giới hạn ⇒ ξE(η|G) = E(ξη|G) (P-h.c.c)

•Trường hợp ξ, η tùy ý:

ξ = ξ+− ξ−

η = η+− η−E(ξη|G) = E[(ξ+− ξ−)(η+− η−)|G)]

= E(ξ+η+|G) − E(ξ+η−|G) − E(ξ−η+|G) + E(ξ−η−|G)

= ξ+E(η+|G) − ξ+E(η−|G) − ξ−E(η+|G) + ξ−E(η−|G)

= ξ+E[(η+− η−)|G] − ξ−E[(η+− η−)|G]

= (ξ+− ξ−)E[(η+− η−)|G]

= ξE(η|G)e) ∀A ∈ G1 ta có: A ∈ G2

R

AE[E(ξ|G2)|G1]dP = RAE(ξ|G2)dP =RAξdP =RAE(ξ|G1)dP

⇒ E[E(ξ|G2)|G1] = E(ξ|G1)(P-h.c.c)

g) Với A ∈ Gmin thì A = ∅ hoặc A = Ω

•Với A = ∅ thì: RAE(ξ|Gmin)dP = R

AξdP = 0 = R

AEξdP

•Với A = Ω thì: RAE(ξ|Gmin)dP =RAξdP = Eξ =RAEξdP

⇒ E(ξ|Gmin) = Eξ (P-h.c.c)

∀A ∈ Gmax ta có: RAE(ξ|Gmax)dP =RAξdP

Vì ξ là Gmax−đo được nên E(ξ|Gmax) = ξ (P-h.c.c)

1.5 Quan hệ giữa các kiểu hội tụ

{ξn} là dãy đại lượng ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên

1.5.1 Nếu {ξn} hội tụ hầu chắc chắn về ξ thì {ξn} hội tụ theo xác suất về

Ph¶n chøng, gi¶ sö ξn 9 0(P − h.c.c)

⇒ ∃ > 0 : P {S

k≥n

{ξk ≥ }} > δ > 0V× {ξn} &nªn S

Tương tự, ta xét Fn(x) = P {ξn< x} = P {ξn< x; ξ < x00} + P {ξn< x; ξ ≥ x00}

≤ F (x00) + P {|ξn− ξ| > x0 − x0}

1.5.6 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất

Định nghĩa.Dãy {ξn}được gọi là dãy Cauchy theo xác suất nếu: ∀ > 0

1.5.7 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ h.c.c

Định nghĩa.Dãy {ξn}được gọi là dãy Cauchy P-h.c.c nếu: ∀ > 0

Điều kiện đủ.Giả sử {ξn} là dãy Cauchy theo nghĩa P-h.c.c

Ta có một kết quả: Nếu {ξn} là dãy Cauchy theo nghĩa P-h.c.c thì với xác suất 1, các{ξn(ω)}là dãy Cauchy trong R

Do đó: ξn(ω) → ˜ξ(ω)nào đó Đặt

ξ(ω) =

( ˜ξ(ω) tại ω mà giới hạn tồn tại

0 tại ω mà giới hạn không tồn tạiKhi đó: ξn

1 = 0 ⇒ ξ1 ≥ 0 ⇒ ξn+ ξ1− = ξn ≥ ξ1 ≥ 0, ∀n ≥ 1+) Víi ξ−

A

(ξ + ξ1−)dP

=Z

A

E[(ξ + ξ1−)|G]dP

=Z

Nếu dãy {ξn}n≥1khả tích đều thì:

a) E(lim ξn|G) ≤ lim E(ξn|G)

b) E(lim ξn|G) ≥ lim E(ξn|G)

b) Tương tự ta cũng có:

sup

m≥n

ξm & lim ξn(sup ξm)+≤ η+= η

⇒ E(sup

m≥n

ξm)+≤ Eη < +∞

1.9 §Þnh lý héi tô bÞ chÆn (Lebesgue)

NÕu d·y ξn → ξ(P-h.c.c) vµ ∃η ∈ L1 : |ξn| ≤ ηth× E(|ξn− ξ||G)−−→ 0h.c.c

, a, b > 0vµo (1.2) ta ®­îc:

b − 1 ≥ p[(a

b)

1 p

 |ξ|

kξkp

p

+ 1q

E(|ξ|p)(kξkp)p +

1q

E(|η|q)(kηkq)q ≥ E|ξ.η|

kξkp.kηkqHay 1 = 1

p

E(|ξ|p)E(|ξ|p) +

1q

E(|η|q)E(|η|q) ≥ E|ξ.η|

kξkp.kηkq+) NÕu kξkp.kηkq= 0 ⇔ E(|ξ|p)E(|η|q) = 0

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö E(|ξ|p) = 0

⇒ E|ξ + η|p ≤ E(|ξ||ξ + η|p−1) + E(|η||ξ + η|p−1) (2.3)LÊy q > 1 : 1

f (ξ) − f (Eξ) ≥ k(Eξ)(ξ − Eξ)

⇒ E[f (ξ) − f (Eξ)] ≥ k(Eξ)E(ξ − Eξ) = 0VËy Ef(ξ) ≥ f(Eξ)

1.10.4 Bất đẳng thức Chebyev:

P {|ξ| > a} ≤ E|ξ|

a , ∀ξ ∈ L

1, ∀a > 0Chứng minh

E|ξt|dt = ER

S

|ξt|dtChøng minh

(V× S ®o ®­îc trªn T = [0, +∞) nªn S = [a, b], víi 0 ≤ a ≤ b < +∞

Ph©n ho¹ch ®o¹n [a, b] thµnh n ®o¹n nhá:

a = x0 < x1 = a + h < · · · < xn= a + nh = b, víi h = b − a

nV× R

S

|ξt|dt < ∞(P − h.c.c) nªn:

In = 1h

1.14 Nếu {ξt}t∈T là quá trình gia số độc lập thì {ξt}t∈T là quá

trình Markov

1.15 Chứng minh các tính chất của thời điểm Markov

Trong phần này những bổ đề mà thầy đã chứng minh rõ trong giáo trình thì ghi là "Rồi".

Chứng minh • τ1∧ τ2 là thời điểm Markov: Rồi

• τ1∨ τ2 là thời điểm Markov, thật vậy:

∀t ∈ T : {τ1∨ τ2 ≤ t} = {τ1 ≤ t} ∩ {τ2 ≤ t} ∈ Ft

• τ1+ τ2 lµ thêi ®iÓm Markov, thËt vËy:

τn còng lµ thêi ®iÓm Markov

b) NÕu thªm gi¶ thiÕt dßng {Ft}liªn tôc ph¶i th× inf

n≥1τn, lim τn, lim τncòng lµ c¸c thêi ®iÓmMarkov

1.16 Ví dụ về thời điểm Markov

Ví dụ 1 Giả sử {(ξt, Ft)}t∈T là quá trình ngẫu nhiên liên tục phải, dòng {ξt}liên tục phải,

C là tập mở trong R Khi đó τC := inf{t ≥ 0 : ξt∈ C}là thời điểm Markov

Martingale trên khoảng thời gian rời rạc

Chứng minh • Nếu X, Y là super Martingale thì U là super Martingale: rồi

• Giả sử X, Y là sub Martingale Khi đó: ∀n ≥ m, ta có:

E(vn|Fm) ≥ E(xn|Fm) ≥ xmE(vn|Fm) ≥ E(yn|Fm) ≥ ym

Ví dụ 4 Cho dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập {ηn ∈ L}n≥1, Eηn = 1, pn :=

Chứng minh ∀n ≥ m, áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có:

E(f (xn)|Fm) ≥ f (E(xn|Fm)) ≥ f (xm)

⇒ Y := {(f (xn), Fn)}1≤n≤N là sub Martingale

Ta có f(x) = |x|p, với p ≥ 1 là hàm lồi Do đó {|xn|p, Fn}là sub Martingale

⇒ E|xn|p ≥ E|xm|p, ∀n ≥ m(sẽ chứng minh sau), nghĩa là {E|xn|p}1≤n≤N khônggiảm

2.2 Định lý

Nếu {(xn, Fn)}là sub Martingale thì dãy {Exn}không giảm

Chứng minh Với m ≤ n, ta có: Exm ≤ E(E(xn|Fm)) = Exn Vậy {Exn} là dãy khônggiảm

2.4 Hệ quả 2.5 (bất đẳng thức Kolmogorov)

Giả sử X := {(xn, Fn)}1≤n≤Nlà Martingale bình phương khả tích Khi đó: {(x2

n, Fn)}1≤n≤N

là sub Martingale và ∀λ > 0 ta có: P {max

n≤N|xn| ≥ λ} ≤ Ex

2 N

λ2 Chứng minh Ta có: {(x2

a , ∀a > 0Lấy a = λ2 ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Tổng quát: Nếu X := {(xn, Fn)}1≤n≤N là Martingale với E|xn|p < ∞, ∀n, p ≥ 1thì{(|xn|p, Fn)}1≤n≤N là sub Martingale và ∀λ > 0 ta có: P {max

n≤N |xn| ≥ λ} ≤ Ex

P N

Chứng minh Ta có: {(|xn|, Fn)}1≤n≤N là sub Martingale.

áp dụng bất đẳng thức trong định lý 2.4 ta được:

c) Nếu X := {(xn, Fn)}1≤n<∞là sub Martingale thì: sup

a) Giả sử {(xn, Fn)}1≤n<∞ là sub Martingale âm

Khi đó: sup

n≥1

Ex+

n = 0.Vậy theo định lý 2.6, ta suy ra tồn tại x∞ = lim

n→∞xn (P-h.c.c)Tương tự, nếu {(xn, Fn)}1≤n<∞ super Martingale dương thì {(−xn, Fn)}1≤n<∞ là subMartingale âm

Do đó theo trên thì −x∞= lim

n→∞(−xn)(P-h.c.c) Hay x∞ = lim

n→∞xn (P-h.c.c)b) Giả sử X := {(xn, Fn}1≤n<∞là sub Martingale âm

Để chứng minh X := {(xn, Fn)}1≤n≤∞cũng là sub Martingale âm, thì ta chỉ cần chứngminh E(x∞|Fm) ≥ xm là đủ

Thật vậy, áp dụng kết quả a) và bổ đề Fatou, ta có:

Do đó theo kết quả trên, {(−xn, Fn)}1≤n≤∞là sub Martingale âm.

Vậy {(xn, Fn}1≤n≤∞là super Martingale dương

•Với xn ≤ 0 ⇒ E|xn| = −Exn

Vì {(xn, Fn)}1≤n<∞ là sub Martingale nên {Exn}là dãy không giảm

⇒ Exn≥ Ex0 hay ⇒ E|xn| = −Exn≤ −Ex0 < ∞

2.7 Một số bài tập trang 146 trong sách Các mô hình xác

suất và ứng dụng

1 Giả sử τ là thời điểm dừng đối với {Fn} Với mỗi n, ký hiệu ν(n) là số nguyên bé nhất

psao cho {τ = n} ∈ Fp Chứng minh ν(n) là thời điểm dừng

• P {X1 > λ} ≤ 1

λEX

+

1 = 1λ

Chøng minh ¸p dông hÖ qu¶ 2.5, ta cã:

Quá trình Wiener - Tích phân ngẫu nhiên Ito - Phương trình vi phân ngẫu nhiên

3.1 Một số bài tập trang 165 trong sách Các mô hình xác

(b) Kiểm tra E(Xt|Fs) = Xs, ∀t ≥ s

2 Chøng minh Mt = Wt2 − tlµ martingale Mtcã ph¶i lµ qu¸ tr×nh Wierner kh«ng?ThËt vËy,

= 3Ws(t − s) + Ws3− 3tWs

= Ws3− 3sWs = Ns

4 Giả sử {Xt}, t ≥ 0là quá trình gia số độc lập với X0 = 0, EXt = 0, F (t) = E|Xt|2 < ∞.Chứng minh F (t) là hàm không giảm.

∂yt

∂ξt =

∂2yt

∂ξ2 t

= ytTheo công thức Ito ta có:

dyt= (C

0(t)C(t)yt+ yta(t) +

∂ξt =

∂2yt

∂ξ2 t

= ytTheo c«ng thøc Ito ta cã:

dyt= (C

0(t)C(t)yt+ yta(t) +

yt= C(t).eξt

= ytTheo c«ng thøc Ito ta cã:

dyt= (C

0(t)C(t)yt+ yta(t) +

dyt= (C

0(t)C(t)yt+ yta(t) +

1

2ytb

2(t))dt + ytb(t)dWt

∂2yt

∂ξ2 t

= m(m − 1)Cm2.y

m−2 m

t

Theo c«ng thøc Ito ta cã:

dyt= (C

0(t)C(t)yt+mC

1

m.y

m−1 m

t b2(t))dt+mCm1 y

m−1 m

m−1 m

t a(t) +12m(m − 1)Cm2.y

m−2 m

t b2(t) = 1

mCm1.y

m−1 m

t b(t) = 1Chän b(t) = 1

t = 1Chän m = 1 : C0(t)

C(t)yt+ a(t) = 1

dyt= (yt+ et)dt + etdWt

y0 = uGäi nghiÖm yt cã d¹ng:

t

∂2yt

∂ξ2 t

= m(m − 1)Cm2.y

m−2 m

t

Theo c«ng thøc Ito ta cã:

dyt= (C

0(t)C(t)yt+mC

1

m.y

m−1 m

t b2(t))dt+mCm1 y

m−1 m

m−1 m

t a(t) +12m(m − 1)Cm2.y

m−2 m

t b2(t) = yt+ et(1)

mCm1.y

m−1 m

(2) ⇒

(

m = 1C.b(t) = et

t + m − 1

2m y

m−2 m

t )dt + y

m−1 m

t dWt

y0 = u (u > 0 h.c.c nÕu m = 2k, k ∈ NGäi nghiÖm yt cã d¹ng:

t

∂2yt

∂ξ2 t

= n(n − 1)Cn2.y

n−2 n

t

Theo c«ng thøc Ito ta cã:

dyt= (C

0(t)C(t)yt+ nC

1

n.y

n−1 n

t b2(t))dt + nCn1.y

n−1 n

t b(t)dWt

So s¸nh víi dyt = (y

m−1 m

t + m − 1

2m y

m−2 m

t )dt + y

m−1 m

t a(t) +12n(n − 1)Cn2.y

n−2 n

t b2(t) = y

m−1 m

t +m − 1

2m y

m−2 m

t

nCn1.y

n−1 n

t b(t) = y

m−1 m

ma(t) = 1

∂2yt

∂ξ2 t

= m(m − 1)Cm2.y

m−2 m

t

Theo c«ng thøc Ito ta cã:

dyt= (C

0(t)C(t)yt+mC

1

m.y

m−1 m

t h2(t))dt+mCm1.y

m−1 m

m−1 m

t g(t) +12m(m − 1)Cm2 y

m−2 m

t h2(t) = a(t)yt+ b(t)

mCm1.y

m−1 m

t h(t) = n(t)Chän m = 1 Ta suy ra:

eR a(t)dth(t) = n(t)

eR a(t)dt

⇒ yt = ξt.eR a(t)dt

y0 = ξ0.eR a(t)dt = u.eR a(t)dt ⇒ ξ0 = u.e−R a(t)dt

VËy yt= ξt.eR a(t)dt, víi