Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích.. Công thức biến đổi tích thành tổng.. Công thức biến đổi tổng thành tích... Phơng trình lợng giác cơ bản Bài 1: Giải các phơng trìn
Trang 1Nông Văn Đàm
Tài liệu tham khảo
Hàm số lợng giác của một số cung đặc biệt
0
6 30
2
3 2
3 3
3
0
4 45
2
2 2
0
3 60
2
1 2
3
0
2 90
0
2
2
1 2
3
0
3
2
0
5
3
3
0
180
Công thức lợng giác I- Công thức lợng giác
1 Công thức cộng
cos(a b) cosa.cos b sin a.sin b (1) cos(a b) cosa.cos b sin a.sin b (2) sin(a b) sin a.cos b co sa.sin b (3) sin(a b) sin a.cos b co sa.sin b (4)
tan a tan b
1 tan a.tan b tan a tan b
1 tan a.tan b
a, b
2
2 Công thức nhân đôi
Công thức nhân đôi
Trang 2Nông Văn Đàm
2
a 2
b
2
sin 2a 2sin a.cosa (7)
2 tan a
C
ông thức hạ bậc
III Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích.
1 Công thức biến đổi tích thành tổng.
1 cosa.cosb cos(a b) cos(a b) (13)
2
1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b) (14)
2
sin a.cos b sin(a b) sin(a b) (15)
2
2 Công thức biến đổi tổng thành tích.
*) Công thức:
*) Các hệ thức cơ bản
2
1
2
1
sin
Z
+ 2 1 cos2a
2
+ 2 1 cos2a
2
2
2
2
sin a 1 cos2a
cos a 1 cos2a
2
Trang 3Nông Văn Đàm
c tan cot 1 , k , k
2
Z.
3 Giá trị LG của cung có liên quan đặc biệt.
3.1- Cung đối nhau: & .
cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cot( ) cot
3.2- Hai cung bù nhau & .
sin( ) sin tan( ) tan
cos( ) cos cot( ) cot
3.3-Cung hơn kém :&
sin( ) sin tan( ) tan
cos( ) cos cot( ) cot
3.4- Cung phụ nhau: &
2
sin co s
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
I - Các công nghiệm phơng trình lợng giác cơ bản thức
1) sinu = sinv 2
2
u v k
k
2) cosu = cosv 2
2
u v k
k
3) tanu =tanv u v k ( k ) 4) cotu =cotv u v k k ( )
*) chú ý: các trờng đặc biệt
a sinu = 0 u k k ( ) b sinu =1 2 ( )
2
2
2
e cosu =1 u k 2 ( k ) f cosu =-1 u k2 ( k )
4
h tanu = 0 u k k ( )
4
k cotu =1 ( )
4
II-phơng pháp giải một số phơng trình lợng giác thờng gặp
1. Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác
*)Dạng1 : cos2u + b cos u +c = 0 ; asin2u +bsinu + c = 0 (a0 ; u là biểu thức theo x ) Đặt t= cosu ( hoặc t= sinu ) với điều kiện t 1;1
ta đợc phơng trình : at2 + bt +c = 0 Giải phơng trình này và chọn nghiệm thích hợp và ta có phơng trình to= cosu ( hoặc to= sinu)
*)Dạng2 : a tan2u + b tanu + c = 0 ; a cot2u + b cotu + c = 0 (a0 ; u là biểu thức theo x )
Đặt t=tan u (a) ( hoặc t= cot u ) (b)
ta đợc phơng trình : at2 + bt +c = 0 Giải phơng trình này sau đó thay vào (a) hoặc (b) ta
đợc phơng trình lợng giác cơ bản từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình đã cho
Trang 4Nông Văn Đàm
2 Phơng trình bậc nhất đối với sinu và cosu (u là biểu thức theo x)
Dạng tổng quát : asinu + bcosu = c (1) (a2+b2 0)
+) Điều kiện để phơng trình có nghiệm : a2+b2 c2
+)Điều kiện để phơng trình vô nghiệm : a2+b2 c2
Cách giải : chia cả hai vế phơng trình (1) cho a2 b2
Ta đợc :
2 2
a
sinu + 2b 2
a b cos u = 2c 2
Đặt cos =
2 2
a
; sin = 2b 2
Khi đó ta có : cos sinu + sin cos u = 2c 2
a b sin(u ) = 2c 2
3 Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinu và cosu ( u là biểu thức theo x)
Dang tổng quát : asin2u +bsinu.cosu + ccos2u = d (a,b,c ) (1)
Cách giải 1 : chia cả hai vế của phơng trình cho cos2u0 ta đợc phơng trình bậc hai : (a-d)tan2u + b tanu + c – d = 0 sau đó thử u=
2 k
xem có nghiệm không Cách 2: Dùng công thức hạ bậc :
2 1 cos2a
cos a
2 ;
2 1 cos2a sin a
2 ; sin2x = 2sinxcosx Thay vào phơng trình (1) ta đợc : Asin2x + Bcos2x = C (với A= b, B = c- a, C= 2d–a - c)
4) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx.
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (2)
Cách giải :
Đặt t = sinx + cosx = 2sin(x +
4
) t2 = 1+2sinxcosx, t 2
(2) At2 + Bt + C = 0 ( với A = b ; b =2a ; C = -b- 2c)
Giải ra t, suy ra phơng trình cơ bản
Chú ý: Trờng hợp a(sinx – cosx )+ bsinxcosx = c
Ta đặt t=sinx – cosx và giải tơng tự
III-Các bài tập cơ bản.
A Phơng trình lợng giác cơ bản
Bài 1: Giải các phơng trình sau đây :
a cos(x+
4
) = 0 b tan(
3
- 2x) = 0
c Cot(4x +
3
) = 1 d sin(2x
-4
) = 0
e.sin sin 2x 1 f 2
cos cos( )
Bài 2 Giải các phơng trình sau đây :
a 2cos(3x-
3
) = 3 b 3tan(x-
3
) - 3= 0
c sin(2x +
4
) + sinx = 0 d cos(3x-
3
) + cosx = 0 Bài 3 Giải các phơng trình sau đây :
a tan( 4x +
3
) + cot(2x +
4
) = 0 b sin2(3x-
3
) = cos2(
4
- x)
Trang 5Nông Văn Đàm
c sin(3x +
3
) + sin(
3
- 3x) = 3 d cos(3x +
3
) + sin(3x +
6
) = 2 Bài 4 Giải các phơng trình sau:
a sin 5 cos5
0 sin cos
x x b
tan( )
tan 2 tan( )
3
x x
x x
c cos6x.cos2x = sin7x.sin3x d cos2x + cos23x + cos4x = 2
B Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 5: Giải các phơng trình sau ;
a Sin2x + 3cos2x = 1 b 2sin2x + 3 Sin2x = 3
c sinx + 3cosx + 2sin(
6
- x) = 2 ( x0 ; 3 );
C phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác
Bài 6 : Giải phơng trình
a sin22x + 3sin2x – 4 = 0 b 4 cos22x -2(cos2x - 2)cos2x - 6 = 0
c 2cos2(3x
-3
) – sin (3x -
3
) = 0 d 3tan2(3x
-3
) - 4 3tan(3x
-3
) = 0
D Phơng trình đẳn cấp đối với sinx và cosx.
Bài 7: Giải các phơng trình sau:
a 4sin2x + 3 Sin2x + 2 cos2x = 4
b 3sin2x - 3cosxsinx +2cos2x – 2 = 0
c 2 3cos2x + 6sinx.cosx = 3 + 3
Các hệ thức lợng trong tam giác và giải tam giác
A Kiến thức cần nhớ:
Trang 6Nông Văn Đàm
Cho tam giác ABC có BC =a, CA =b, AB =c; đờng cao AH =h a và các đờng trung tuyến
AM =m a , BN =m b , CP=m c
1 Định lí côsin
a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A
b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos B
c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C
Hệ quả:
Cos A =
bc
a c b
2
2 2 2
Cos B =
ac
b c a
2
2 2 2
Cos C =
ab
c b a
2
2 2 2
3.Độ dài đờng trung tuyến của tam giác
m 2
a =
2
2
b
-4
2
a
=
4
) (
2b2 c2 a2
;
m 2
b =
2
2
-4
2
4
) (
2 a2 c2 b2
;
m 2
c =
2
2
-4
2
4
) (
2a2 b2 c2 .
2 Định lí sin
A
a
B
b
C
c
sin =2R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
4.Các công thức tính diện tích tam giác
S =
2
1
ab sin C =
2
1
bc sin A =
2
1
ca sin B;
S =
R
abc
4 với R là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
S = pr với p =
2
1
(a+b+c) và r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC;
S = p(p a)(p b)(p c) với p =
2
1
(a+b+c) (công thức Hê-rông).
2 Một số bài tập cơ bản
Bài 1 Cho tam giác ABC có b =7 cm, c =5 cm và cos A =
5
3
a) Tính a, sin A và diện tích S của tam giác ABC.
b) Tính đờng cao h a xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 2 Cho tam giác ABC biết  =60 0 , b =8 cm, c =5 cm.
Tính đờng cao h a và bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 4 Cho tam giác ABC biết a =21 cm, b =17 cm, c =10 cm.
a) Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao h a
b) Tính bán kính đờng tròn nội tiếp r của tam giác.
c) Tính độ dài đờng trung tuyến m a xuất phát từ đỉnh A của tam giác.
phơng trình elip
1 xác định các yếu tố của (e)
(Với a>b>0 và b 2 =a 2 - c 2 )
-Trục lớn của (E) nằm trên ox A 1 A 2 =2a;
-Trục nhỏ của (E)nằm trên oy ,B 1 B 2 =2b
-Hai tiêu điểm: F 1 (- c;0); F 2 (c;0)
PTCT của (E):
1
a b
Trang 7Nông Văn Đàm
-Tiêu cự F 1 F 2 =2c
-Bốn đỉnh: A 1 (-a;0) , A 2 (a;0)
B 1 (0;-b), B 2 (0;b)
ví dụ :
Trong các phơng trình sau phơng trình nào là phơng trình elip, phơng trình nào là phơng trình chính tắc của (E) Hãy xác định độ dài các trục , tọa độ tiêu điểm , tọa độ đỉnh và vẽ (E)
đó
1)
1
9 4 . 2)
5x 10y 50 3)
1
9 4 4)
1
16 25