phần chung cho tất cả các thí sinh Câu I 2 điểm.. Chứng minh rằng đờng thẳng :d y= 2x m+ luôn cắt C tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau.. Xác định m để đoạn AB có đ
Trang 1Đề thi thử đại học - năm 2011( số 1 )
Môn: toán
( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I phần chung cho tất cả các thí sinh
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 11
x
+
=
− ( 1 ) có đồ thị ( )C .
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1)
2 Chứng minh rằng đờng thẳng ( ) :d y= 2x m+ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B thuộc hai nhánh khác nhau Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất
Câu II (2 điểm) 1 Giải phơng trình: sin4 s4 1cot 2 1
5sin 2 2 8sin 2
x co x
x
2 Giải hệ phơng trình: 3 2 1
0
x y x y
+ + − =
Câu III (1 điểm) Tính 2
0
sin 2011 1
cosx
π
=
+
Câu IV (1 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Trên các tia Bx,
Cy vuông góc và nằm cùng một phía với mặt phẳng (P) lấy lần lợt các điểm M, N sao cho
BM = CN =a Tính thể tích khối chóp A.BCNM; Tính góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (ANM)
Câu V (1 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 −x+ 3 −y+ 3 −z = 1 Chứng minh rằng:
9 9 9 3 3 3
x y z+ y z x+ z x y+
+ +
PHầN RIÊNG (Thí sinh đợc chọn một trong hai phần, không bắt buộc chọn phần nào cả)
Theo chơng trình chuẩn.
Câu VIa (2 điểm) 1 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hai đờng thẳng:
( ) :d x− 2y+ = 2 0; ( ) : 2d x+ 3y− = 17 0 Đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của ( )d1 và ( )d2 cắt hai tia Ox, Oy lần lợt tại A và B Viết phơng trình đờng thẳng (d) sao cho: 12 12
OA +OB nhỏ nhất
2 Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1, 2, 1) − và vuông góc với hai mặt phẳng có
phơng trình ( ) :P x y z1 − + − = 13 0 và ( ) : 3P2 x+ 2y− 12z+ 2011 0 =
VIIa (1 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − = 4 3i 2 Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất
Theo chơng trình nâng cao.
Câu VIb (2 điểm) 1 Cho tam giác ABC, có A(3; 4), ( 1; 2)B − , có diện tích 3
4
S = (đvdt) và có trọng tâm thuộc đờng thẳng ( ) :d x− 3y+ = 4 0 Tìm tọa độ đỉnh C.
2 Cho n là số nguyên dơng Tính tổng: 0 22 1 1 23 1 2 2 1 1
n
n
n
+
VIIb (1 điểm) Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x2 +mx− = + 3 x 1
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:……… Thí sinh khối D không làm phần in đậm ở câu 1b Còn thí sinh các khối còn lại làm tất cả
các câu.( Giám thị không giải thích gì thêm)
Trang 2Câu Đáp án vắn tắt Điể
m Câu I
2 2 Chứng minh rằng đờng thẳng
( ) :d y= 2x m+ luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất
Để đờng thẳng (d) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì phơng trình
1
2 1
x
x m
− có hai nghiệm phân biệt với mọi m và x1 < < 1 x2
1 ( 1)(2 ) 1
x
có hai nghiệm phân biệt x1< <1 x2
2
1
x
có hai nghiệm phân biệt x1 < <1 x2
(1) 0
f
∆ >
2
( 1) 16 0 (1) 2 ( 3) 1 2 0
Vậy với mọi giá trị của m thìđờng thẳng ( ) :d y= 2x m+ luôn cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau
Gọi A x( ; 2 1 x1 +m B x), ( ; 2 2 x2 +m) là hai điểm giao giữa (d) và (C).(x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình (*))
AB= x −x x −x ⇒ AB = x −x + x −x = x −x
uuur
5 ( 1) 16 2 5 2
Vậy với m = -1 là giá trị cần tìm (R)
Câu
II
1
2
. 1 Giải phơng trình:
cot 2 5sin 2 2 8sin 2
x co x
x
Điều kiện:sin 2x 0≠ ⇔ ≠x k2π (k∈Â)
Khi đó, phơng trình đã cho tơng đơng với: 1 12sin 22 1 1
cot 2 5sin 2 2 8sin 2
x
x
−
2
1 8(1 sin 2x) 20cos 2x 5
2
9
2 1 cos 2
2
x
⇔
6
x π kπ k
. 2 Giải hệ phơng trình: x y x y x y3x 20y 1
+ + − =
Điều kiện: x y 0
3x 2y 0
+ ≥
+ ≥
Khi đó, hệ phơng trình đã cho tơng đơng với 1 3 2
0
x y x y
+ + − =
Trang 32 2
0
x y x y
+ + − =
x y x y
x y y x
⇔
y x x y
x y y x
− = + −
⇔
5 1 3 1
1 3
x y
=
(R )
Câu
III
Câu
IV
Câu
V
Tính
2
0
sin 2011 1
cosx
π
=
+
2011 sin
1 cos 1 cos
+
Tính 2
0
2011
1 cos
x
x
π
+
= +
∫ Đặt
2011
tan
x
2011 ln 2 2
K = +π −
Tính 2
0
sin
1 cos
x
x
π
= +
2011 2
. Hạ đờng cao AH của tam giác ABC Suy ra AH là đờng cao của hình chóp A.BCNM Đáy BCNM của hình chóp trên là một hình thang vuông có diện tích:
3 2 3 3 3
a a
Thể tích khối chóp A.BCNM là 3 3
8
a
V = (đvtt)
MN, BC kéo dài cắt nhau tại K ⇒ C là trung điểm của BK⇒∆ABK vuông tại
A⇒AK ⊥AM Từ đó suy ra ãMAB là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P ) và (ABC)
Ta có tanãMAB MB 3 MABã 60 0
MA
= = ⇒ = Vậy góc giữa hai mặt phẳng (P) và (AMN) bằng 0
60 (R)
Đặt 3x =a,3y =b,3z =c Do đó :
, , 0
a b c
ab bc ac abc
>
+ + =
a bc =a abc =a ab ac bc = a b a c
a ac=b abc =b ab ac bc = b c b a
( )( )
c ab = c abc= c ab ac bc = c a b c
áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :
a b a c
Trang 4Câu
VIa
1
VIa2
Câu
VIIa
Câu
a b b c
a c b c
Cộng vế với vế ta có 2 2 2
4
a bc b ac c ba
+ +
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c ⇔ = =x y z
Gọi M là giao điểm của hai đờng thẳng ( ), ( )d1 d2 thì M(4;3) Xét tam giác OAB vuông tại O ta có: 12 12 1 2
OA +OB =OH ( trong đó H là chân đờng cao hạ từ O xuống AB của tam giác OAB ) Để 2 2
OA +OB nhỏ nhất thì 1 2
OH nhỏ nhất ⇔
OH lớn nhất ⇔ H ≡M Khi đó (d) nhận véc tơ OMuuuur làm véc tơ pháp tuyến
(4;3)
OMuuuur= Phơng trình đờng thẳng (d) là: 4x+ 3y− 25 0 = ( R)
. Ta có: nuurp1 = − (1, 1,1), nuuurp2 = (3, 2, 12) − Vì ( P ) vuông góc với hai mặt
phẳng có phơng trình ( ) :P x y z1 − + − = 13 0 và ( ) : 3P2 x+ 2y− 12z+ 2011 0 =
nên nuurp =n nuur uuurp1 ; p2 =(10, 15, 5) 5(2,3,1)=
Phơng trình mặt phẳng ( P ) là: 2x+ 3y+ − =z 7 0 ( R)
.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − =4 3i 2 Tìm số phức z có mô
đun nhỏ nhất
Gọi z x yi x y= + ( , ∈ Ă ) ta có z+ − = 4 3i 2 ⇔ (x+ + − 4) (y 3)i = 2
(x 4) (y 3) 4
⇔ + + − = là đờng tròn (C) tâm I(-4;3) bán kính R = 2
2
z = x +y ⇔ z =x +y (C1) Đặt z =r Để r nhỏ nhất thì ( C) và (C1)tiếp xúc ngoài
Tọa độ điểm tiếp xúc của hai đờng tròn là giao điểm của đờng tròn (C) và đờng thẳng IO Mà OIuur= − ( 4;3) Phơng trình đờng thẳng OI là 4 ( )
3
x t
t
y t
= −
=
giao điểm của OI và ( C) là nghiệm của hệ:
12 9
5 5 3
28 21 ( ; )
y t
M
Ta thấy với ( 12 9; )
5 5
M − thì z đạt giá trị nhỏ nhất và 12 9
5 5
z= − + i (R)
. Tọa độ trung điểm của AB là I(1;3)
Ta có uuurAB= − − ⇒ ( 4; 2) nuuur= − (1; 2) Phơng trình đờng thẳng AB là: x− 2y+ = 5 0
Trang 5VIb
1
2
Câu
VII b
Ta có d C AB( ; ) 3 ( ; = d G AB) Mà 1 ( ; ) 3 ( ; ) 3
ABC
S = AB d C AB = ⇒d C AB =
1 ( ; )
4 5
d G AB
⇒ = Điểm G nằm trên đờng thẳng ( ) :d x− 3y+ = 4 0 nên
0 0
4
3
x
G x +
Ta có
0 0
4 2( ) 5
1 3
( ; )
4 5
1 ( 2)
x x
d G AB
+
+ −
0 0
0
25
7
31 4
4
x x
x
−
=
=
( R)
2 Cho n là số nguyên dơng Tính tổng:
0 22 1 1 23 1 2 2 1 1
n
n
n
+
Xét (1 )n 0 1 2 2 n n
+ = + + + + Lấy tích phân hai vế trên đoạn [ ]1; 2 ta có
x dx C xC x C x C dx
1
n
n
+
n
+ − +
⇒ =
+
Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x2 +mx− = + 3 x 1 (*)
Đặt t = x+1 suy ra x = t – 1, khi đó với x≥ − ⇒ ≥ 1 t 0 Phơng trình (*) trở thành:
t2 + (m− 4)t− (m+ = 1) 0 (**) Để phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt
1
x≥ − thì phơng trình (**) phải có hai nghiệm phân biệt t≥ 0
2
4