Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12km một giờ?. Bài 4 : 4 điểm Từ điểm M ở ngoài đường tròn O vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đế
Trang 1PHỊNG GD NHA TRANG
MƠN : TỐN NGÀY THI : 20/ 05/ 2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 : (2 điểm )
a) Tính giá trị biểu thức: A=5 12 4 75 2 48 3 3− + −
b) Giải hệ phương trình: 2 3
x y
x y
+ =
− =
c) Giải phương trình: x4 – 7x2 – 18 = 0
Bài 2 : (2 điểm )
Cho Parabol (P): y =
4
1
x2 và đường thẳng (D) đi qua điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt –2 và 4
a) Viết phương trình đường thẳng (D)
b) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ
c) Tính độ dài khoảng cách từ O đến đường thẳng (D)
d) Tìm điểm M trên cung AB của Parabol (P) sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất
Bài 3 : (2 điểm )
Khi nước đứng yên, một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A Sau
5 giờ 20 phút, một canô chạy từ bến A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20km Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12km một giờ ?
Bài 4 : (4 điểm )
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D Gọi I là trung điểm của CD
a) Chứng minh rằng tứ giác MAIO nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh MA2 = MC.MD
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO Chứng minh MC.MD = MH.MO
d) Chứng minh ∆MCH ∽∆MOD
e) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) Chứng minh H, A, K thẳng hàng
- HẾT
-Đề thi này có 01 trang
Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1
a)
Tính giá trị biểu thức: A=5 12 4 75 2 48 3 3− + −
5 12 4 75 2 48 3 3
5 4.3 4 25.5 2 16.3 3 3
5.2 3 4.5 5 2.4 3 3 3
10 3 20 5 8 3 3 3
5 3
= −
0,25 0,25
(1) +(2) : 7x = 7 ⇔ x = 1
Giải ra y = 1
Vây nghiệm của hệ (1;1)
0,25 0,25 0,25
c) Giải phương trình: x4 – 7x2 – 18 = 0
Đặt x2 = t ( t ≥ 0 )
Phương trình có dạng t2 – 7t -18 = 0
∆ = (-7)2 – 4.1.(-18) = 49 + 72 = 121 > 0
Giải ra t1 = 9 (tđk)
t2 = -2 ( ko tđk)
x2 = 9 ⇔ x = ± 3
Vậy PT có 2 nghiệm x1 = -3 và x2 = 3
(HS quên đặt ĐK thì – 0,25)
0,25 0,25 0,25
Cho Parabol (P): y =
4
1
x2 và đường thẳng (D) đi qua điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt –2 và 4
a) Viết phương trình đường thẳng (D) b) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ c) Tính độ dài khoảng cách từ O đến đường thẳng (D) d) Tìm M trên cung AB của Parabol (P) sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất
Bài 2
Tìm được A(-2;1) và B(4;4)
Gọi PT (D) : y = ax + b
0,25
Trang 3a)
Vì (D) đi qua A(-2;1) và B(4;4) nên ta có HPT :
1 ( 2)
4 4
a b
a b
a b
= − +
= +
− = −
⇔ + =
Giải ra a = 1
2 và b=2 Vậy PT (D) : y= 1
b)
c)
d)
Lập bảng đúng và vẽ đồ thị đúng (P)
Lập bảng đúng và vẽ đồ thị đúng (D)
Gọi đường thẳng song song (D) : y = 1
2x+2 và tiếp xúc với (P) là (d) : y = ax+b
Vì đáy AB không đổi nên DT ∆MAB lớn nhất chỉ khi đường cao
MK lớn nhất, đó chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng (d) và
(D) suy ra M là điểm tiếp xúc giữa (d) và (P)
Vì (d) // (D) nên a = 1
2
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
Nếu thiếu một trong các trường hợp sau thì – 0,25 :
Mũi tên, x,y,O, số biểu diễn tọa độ của các điểm cần thiết
(D) cắt Ox tại : y = 0 ⇒ x= -4 (D) cắt Oy tại : y = 2
2 2
1 1 1 1 5
4 2 16 4 16
16 4
5
5 5
OH
= + = + =
(đvđd)
Trang 4PTHĐ giao điểm của (d) và (P) : 1
4x2 = 1
2x+b
⇔ x2 = 2x + 4b ⇔ x2 - 2x - 4b = 0
Hoành độ điểm tiếp xúc : x = - (-1) = 1
Tung độ điểm tiếp xúc : y = 1
4 12 =1
4 Tọa độ điểm tiếp xúc : M (1; 1
4) Vậy khi M (1; 1
4) thì DT ∆MAB lớn nhất 0,25
Bài
3 5h20ph =
16
3 h Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h) ( x > 0 )
Vận tốc của ca nô : x + 12 (km/h)
Thời gian thuyền đi quãng đường 20 km : 20
x (h) Thời gian ca nô đi quãng đường 20 km : 20
12
x+ (h) Theo đề bài ta có phương trình :
20
x - 20
12
x+ =
16 3
⇔ 20.3(x+ 12 ) – 20x.3 = 16x(x + 12 )
⇔ 60x + 720 – 60x = 16x2 + 192x
⇔ 16x2 + 192x -720 = 0 ⇔ x2 + 12x - 45 = 0
∆’ = 62 – 1.( -45) = 36 +45 = 81 >0
x1= 6 81 3
1
− + = ( TĐK)
x2= 6 81 15
1
− − = − ( không TĐK) Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h
Chú ý : điều kiện 0 < x < 15
4 ) là đúng nhất nhưng không nhất thiết yêu cầu đối với HS
0,25 0,25
0,25 0,5
0,25 0,25 0,25
Trang 5Bài
4
a)
b)
c)
d)
e)
a) Chứng minh rằng tứ giác MAIO nội tiếp đường tròn (1 đ )
OI ⊥ CD ( tính chất đường kính vuông góc dây cung)
MA ⊥OA ( tính chất tiếp tuyến )
Nên ·MAO MIO= · ( = 1v)
Mà đây là 2 góc liên tiếp cùng nhìn chung cạnh MO nên tứ giác
MAIO nội tiếp đường tròn
Chứng minh MA2 = MC.MD: (0,75 đ)
Xét ∆MAC và ∆MDA có :
ˆ
M : chung
MAC=ADC : ( cùng chắn cung AC )
Nên ∆MAC ∽ ∆MDA
⇒ MD MA = MC MA ⇔ MA2 = MC.MD
Chứng minh MC.MD = MH.MO : ( 0,75 đ)
MA = MB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )
Nên ∆MAB cân tại M
MO là phân giác góc AMB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )
∆MAB cân tại M có MH là đường phân giác nên cũng là đường cao
Lại có OA ⊥ MA ( tính chất tiếp tuyến )
Suy ra MA2 = MH.MO ( hệ thức lượng trong ∆MAO)
Mà MA2 = MC.MD ( cmt)
Nên MC.MD = MH.MO
d) Chứng minh ∆ MCH ∽ ∆ MOD: (0,5 đ)
Xét ∆MCH và ∆MOD có :
MC.MD = MH.MO (cmt)
⇔ MC MO = MH MD
ˆ
DMO : chung
Nên ∆MCH ∽∆MOD
e) Chứng minh H, A, K thẳng hàng: (1đ)
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
O M
D C
A
B
I
H K
Trang 6OC ⊥ KC ( tính chất tiếp tuyến )
KD ⊥ OD ( tính chất tiếp tuyến )
Tứ giác KCOD có ˆKCO KDO+ ˆ = + =1v 1v 2v nên nội tiếp
Tứ giác KCOD nội tiếp
Nên ·CDO CKO=· ( cùng chắn cung CO)
Mà ·CHM =CDO· (∆MCH ∽∆MOD)
Nên ˆCKO CHM= ˆ
Suy ra tứ giác KCHO nội tiếp
Do đó ·KHO KCO=· (2 góc nội tiếp cung chắn cung KO )
= 1v Hay KH ⊥ MO
Mà AH ⊥ MO (cmt )
Nên Tia AH ≡ KH
Vậy ba điểm H, A, K thẳng hàng
0,25
0,25 0,25
0,25