De thi thu tot nghiep so 3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AC a= , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường t

THPT HOÀNG DIỆU KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỒ THÔNG NĂM 2011

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

I - PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số y= − −x3 3x2+4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3+3x2+ − =m 4 0

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Giải phương trình log x 8log32 − 3 x 3 0+ =

2) Tính tích phân I =e 3x ln x

dx 2 x 1

+

3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) e= 3x 2+ (4x2−5x) trên đoạn 1 3

;

2 2

Câu 3 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AC a= , cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a

II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần cho chương trình chuẩn 4a,5a; phần cho

chương trình nâng cao 4b,5b).

1 Theo chương trình Chuẩn:

Câu 4a (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -2; -5) và đường thẳng (d) có phương trình:

x 1 y 1 z

−

1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (d) Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d)

2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi qua hai điểm A và O

Câu 5a (1,0 điểm) Giải phương trình (z 2)+ 2+2(z 2) 5 0+ + = trên tập số phức

2 Theo chương trình Nâng cao:

Câu 4b (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và đường thẳng (d) có phương trình:

(S):x2+y2+z2−8x 6y 4z 15 0+ − + = và (d): x 2 y 2 z

−

1) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng (d) 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với (d)

Câu 5b (1,0 điểm) Giải phương trình z2− −(4 2i z 7 4i 0) + − = trên tập số phức

-Hết -ĐỀ THI THAM KHẢO

Đáp án và thang điểm

Câu 1 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= − −x3 3x2+4 2.0

1 Tập xác định: D=¡

2 Sự biến thiên:

a) Giới hạn: lim yx = +∞

→−∞ và lim yx = −∞

→+∞

b) Bảng biến thiên:

y ' 0 3x2 6x 0 x 2

x 0

= −



x -∞ -2 0 +∞

y' − 0 + 0 −

y +∞ 4

0 -∞

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 2) và (0;+∞), đồng biến trên

khoảng (−2;0)

+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0= ; giá trị cực đại của hàm số là y(0) 4= + Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= −2; giá trị cực tiểu của hàm số là y( 2) 0− =

3 Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm ( )0; 4

+ Giao điểm của đồ thị với trục hoành là các điểm (−2;0 ; 1;0) ( )

+ Đồ thị đi qua điểm (−1; 2)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

y=m m

y=-x - x +

0.25 0.25

0.25

0.75

0.5

2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x3+3x2+ − =m 4 0 (1)

1.0

• Ta có : 3x +3x2+ − = ⇔ = − −m 4 0 m x3 3x2+4.

• Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

• Dựa vào đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (1) như sau:

+ m 0 m 4< ∨ > : Phương trình (1) có 1 nghiệm

+ 0 m 4< < : Phương trình (1) có 3 nghiệm

+ m 0

m 4

=



 =

 : Phương trình (1) có 2 nghiệm.

0.25 0.25

0.5

Câu 2 1 Giải phương trình 2log x 8log3 − 3 x 3 0+ = (1) 1.0

Điều kiện: x 0>

• Khi đó: log x 8log23 − 3 x 3 0+ = ⇔log x 4log x 3 032 − 3 + = (2)

• Đặt t log x= 3 , phương trình (2) trở thành: t2 4t 3 0 t 1

t 3

=



• Với t 1= thì log x 13 = ⇔ =x 3 Với t 3= thì log x 33 = ⇔ =x 27

• Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S={3;27} .

0.25 0.25

0.25 0.25

2

Tính tích phân I =e 3x ln x

dx 2 x 1

+

• Ta có:

+

•

e

xdx

∫

1

x 1

⇒

=

= −

Do đó:

0.25 0.25

0.25 0.25

3

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) e= 3x 2+ (4x2−5x) trên đoạn 1 3;

2 2

1.0

• Trên đoạn D 1 3;

2 2

=   ta có:

y ' 3e= + 4x −5x + 8x 5 e− + =e + 12x −7x 5−

•

x 1 D 2

12

= ∈





 = − ∉



• So sánh ba giá trị: ( )

5

  





  

  



• Ta suy ra được: Max f (x) 3 e13

2

5 min f (x) e

0.25 0.25

0.25

0.25

• Do SA⊥(ABC) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC) Suy ra (SC;(ABC)) (= SC;AC) =SCA 60· = 0

• Xét hai tam giác vuông SAC và ABC ta suy ra được:

0

SA AC.t an60 a 3

AC a 2

AB BC

2 2









• Do G là trọng tâm tam giác SAB nên: d G; AB( ) 1d S; AB( ) 1SA a 3

• Vậy thể tích khối chóp G.ABC là:

V 1S .d G; ABC( ) 1 1 AB d G; AB2 ( ) a3 3

ABC

0.25

0.25 0.25 0.25

Câu 4a 1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với

đường thẳng (d) Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d)

1.0

• Đường thẳng (d) đi qua M 1; 1;00( − ) và có VTCP là: ar=(2; 1;2− )

• Do mặt phẳng (P) đi qua điểm A 1; 2; 5( − − ) và vuông góc với (d) nên VTPT của (P) là n ar= =r (2; 1; 2− )

• Suy ra phương trình của mặt phẳng (P):

2 x 1 1 y 2( − −) ( + +) (2 z 5+ = ⇔) 0 2x y 2z 6 0− + + =

• Tọa độ giao điểm H của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của hệ phương trình:

2x y 2zx 2y 1 6 xy 01 H 1;0; 2( )

0.25 0.25 0.25

0.25

2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi qua hai điểm A và

O

1.0

• Phương trình tham số của (d): x 1 2ty 1 t t( )

z 2t

= +





 =



¡ Do tâm I của mặt cầu

(S) thuộc (d) nên I 1 2t; 1 t; 2t( + − − )

• Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, O nên:

0.25

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 4t 4t 1 2t t 4t 4t 1 2t t 4t 20t 25

t 2

⇔ = −

• Suy ra mặt cầu (S) có tâm I 3;1; 4(− − ) , bán kính R IO= = 9 1 16+ + = 26

• Vậy phương trình của (S) là:

(x 3+ ) (2+ −y 1) (2+ +z 4)2=26

0.25 0.25 0.25

Câu 5a Giải phương trình (z 2)+ 2+2(z 2) 5 0+ + = trên tập số phức 1.0

• Ta có: (z 2)+ 2+2(z 2) 5 0+ + = ⇔z2+6z 13 0+ = (1)

• Phương trình (1) có: ∆ = − = − =' 9 13 4 ( )2i 2

• Do đó phương trình (1) có hai nghiệm là:

z1= − −3 2i và z1= − +3 2i

0.25 0.25 0.5

Câu 4b 1 Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ I đến

đường thẳng d

1.0

• Mặt cầu (S) có tâm I 4; 3; 2( − ), bán kính R = 16 9 4 15+ + − = 14

• Do đường thẳng (d) đi qua điểm M0(− −2; 2;0) và có VTCT ar=(3; 2; 1− )

nên d I,(d)( ) M I;a0

a

=

uuuur r r

a 3; 2; 1



uuuur

uuuur r r

• Do đó: d I,(d)( ) 378 378 27 3 3

14 14

0.25

0.25 0.25 0.25

2 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông

góc với (d)

1.0

• Do mặt phẳng (P) vuông góc (d) nên VTPT của (P) là n ar= =r (3; 2; 1− )

• Phương trình mặt phẳng (P) vuông góc (d) có dạng:

3x 2y z D 0+ − + =

• Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

d(I,(P)) R 4 D 14 4 D 14 D 10

14

=

• Vậy có hai mặt phẳng thỏa đề bài là:

3x 2y z 10 0+ − + = và 3x 2y z 18 0+ − − = .

0.25 0.25 0.25

0.25

Câu 5b Giải phương trình z2− −(4 2i z 7 4i 0) + − = trên tập số phức 1.0

• Ta có: ∆ = −' (2 i) (2− −7 4i)= − − + = − =3 4i 7 4i 4 ( )2i 2

• Do đó phương trình có hai nghiệm là:

z1= − − = −2 i 2i 2 3ivà z2 = − + = +2 i 2i 2 i

0.5 0.5