Mat phang dac biet

Mặt phẳng đặc biệt 1.. Viết pt mặt phẳng  qua M cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho M là trực tâm tam giác ABC.. Viết phương trình mặt phẳng  cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt

Mặt phẳng đặc biệt

1 Cho mặt phẳng () : 2x+y4z 8=0 , cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C Tính thể tích của hình chóp VO.ABC ?

Giải : mp() cắt Ox tại A(4;0;0) ( vì 2x+008=0 => x=4 )

mp() cắt Oy tại B(0;8;0) ( vì 0+y08=0 => y=8 )

mp() cắt Oz tại C(0;0;2) ( vì 0 +04z8=0 => z=2 )

+ Thể tích VOABC=1

6OA.OB.OC =1

6 4 8 2=32

3 (đvtt)

2 Trong không gian Oxyz cho M(2;1;3) Viết pt mặt phẳng () qua M cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho M là trực tâm tam giác ABC

Giải : + Giả sử () cắt Ox, Oy, Oz tại A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c)

+ Khi đó phương trình mp() : x

a+y

b+z

c=1

Vì M  () => 2 1 3

abc=1 (1) Véc tơ : AM

=(2a;1;3) , BC

=(0;b;c) ;

BM

=(2;1b;3) , AC

= (a;0;c)

M là trực tâm của tam giác ABC ta có : AM.BC 0









 

 

<=> b 3c 0







<=>

3c a 2

 











(2)

Thay (2) vào (1) ta có : 2

3c+ 1

3c+3

c=1 <=> c=4; a=6 ;b=12 Phương trình mặt phẳng () : x

6

y

12+z

4=1 <=>2xy+3z12=0

3 Trong không gian Oxyz cho Q(3;4;5) Viết phương trình mặt phẳng () cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho VO.ABC nhỏ nhất

Giải + Giả sử () cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c)

Với a,b,c > 0 + Khi đó phương trình mp() : x

a+y

b+z

c=1

Vì Q  () => 3 4 5

a bc =1 (1) Mà VOABC =1

6OA.OB.OC=1

6abc Aùp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :

abc 33 3 4 5

a b c <=> abc  27.60 Suy ra : VOABC  270 Thể tích VOABC nhỏ nhất bằng 270

khi

1







   



=> a=9 ; b=16 ; c =25

Vậy phương trình mặt phẳng là : x

9+ y

16+ z

25=1

4: Viết phương trình mặt phẳng () qua G(2;4;1) và () cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại 3 điểm A,B , C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC

Giải : + Giả sử () cắt Ox, Oy, Oz tai A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c)

+ Khi đó phương trình mp() : x

a+y

b+z

c=1 + Do G là trọng tâm tam giác :

G G G

  





  



   



=> a= 6; b= 12; c=3

Vậy pt mặt phẳng () là : x

6

 + y

12+z

3=1

5 Trong không gian Oxyz cho M(1;4;9) Viết phương trình mặt phẳng () cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho : OA+OB+OC nhỏ nhất

Giải + Giả sử () cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c)

Với a,b,c > 0 + Khi đó phương trình mp() : x

a+y

b+z

c=1

Vì M  () => 1 4 9

abc=1

Ta có : OA+OB+OC = a + b + c =a+b+c

Xét u

=( a ; b ; c ) và v

=( 1

a ; 2

b ; 3

c ) ; u v

=1+2+3=6

u

= a b c  ; v

abc =1 Mà : u

v

= u

v cos => u.v 

 u v Hay : 6  a b c  1 <=> a+b+c  36

OA+OB+OC nhỏ nhất bằng 36 khi u

, v cùng phương

=>

1







   



=> a=6 ; b=12, c=18

Vậy phương trình mặt phẳng là : x

6+ y

12+ z

18=1

6 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình :

(x+1)2 +(y+2)2 +(z+3)2 =14 và M(1;3;2) Lập phương trình mặt phẳng () qua M và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Giải :Giả sử mp(α) cắt mặt cầu (S) theo một

Đường tròn tâm H bán kính HB

IB IH

Vì IB = R = 14

R nhỏ nhất <=> IH lớn nhất

Mà IH ≤ IM

Do đó IH lớn nhất <=> IH =IM

Hay IM  mp(α) , với I(1;2;3) ; IM

=(0;1;1) là VTPT của (α) Phương trình mp(α) là : 0(x+1) 1(y+3) +1(z+2) =0 <=> y+z 1=0

7.Trong không gian Oxyz, cho đ.thẳng d:

x 1 2t

z t

 





 



 



Lập phương trình

mặt phẳng () chứa (d) sao cho khoảng cách từ A(1;2;3) đến mặt phẳng () lớn nhất

C1: Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) đi qua M(1;3;0)

I

Và ud

=(2;1;1) Gọi H là hình chiếu của A lên mp(α)

K là hình chiếu của A lên đường thẳng (d)

Ta có K cố định => AK không đổi Khoảng cách : d(A;(α) ) =AH ≤ AK

AH lớn nhất bằng AK khi H  K + Tìm tọa độ K :

Vì K  d => K(12t;3t; t ) ; AK

=(2t ; 1t ; t3)

Ta có : AK  d => AK

.ud

=0 <=> 4t 1(1t) +t3=0 <=> t= 2/3 Và khi đó : AK

=(4

3;1

3;7

3) Mặt phẳng (α) qua M nhận AK

làm VTPT có pt : 4

3(x1) +1

3(y3) 7

3(z0) =0 <=> 4x +y 7z +1 =0

C2: Gọi n

=(a;b;c) là VTPT của mp() ( với a2 +b2 +c2 ≠ 0)

Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) đi qua M(1;3;0)

và n



.ud

=0 <=> 2ab+c=0 <=> c =2a+b (1) Phương trình mp(α) : a(x1) +b(y3) +cz =0

Khoảng cách từ A đến mp(α) : d(A;(α)) =

a(1 1) b(2 3) c.3

=

=



=

Đặt T=

  , ta cần tìm GTLN của T Nếu b= 0 thì T= 36/5

Nếu b ≠ 0 Đặt a =k.b Suy ra : T=

2 2

<=> T(5k2+4k+2)=36k2+24k+4<=> (5T36).k2 +(4T24).k +2T4=0 (*) Khi 5T  36=0 <=> T = 36/5 : pt(*) có nghiệm

Khi T ≠ 36/5 Điều kiện pt (*) có nghiệm ’ ≥ 0

<=> (2T12)2 (5T36)(2T4) ≥ 0 <=> 6T2 +44T ≥ 0

<=> 0 ≤ T ≤ 22

3

α

A

H

K

d

M

Suy ra Tmax = 22

3 khi đó k= 4T 24

2(5T 36)

 =4 hay a

b=4 Chọn b= 1; a=4

=> a =2.(4)+1= 7 ; n

=(4;1;7) Phương trình mp(α) : 4(x1) +(y3) 7z =0 <=> 4x +y 7z +1 = 0

8.Trong không gian Oxyz, cho (S) : (x2)2 +(y1)2 +(z+3)2 =9, M(3;2;4) và đ.thẳng d:

x 1 2t

y 3t

 









  



Lập phương trình mặt phẳng () qua M và song

song với (d) sao cho () cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) và hình nón đỉnh I, đáy đường tròn (C) có thể tích lớn nhất ( với I là tâm mặt cầu )

Giải : Đường thẳng (d) : u

=(2;3;1) + Mặt phẳng () qua M(3;2;4) có VTPT n

=(a;b;c) Phương trình mp() : a(x3)+b(y+2)+c(z4) =0

Vì d // mp() => n

u

=0 <=> 2a+3bc=0 <=> c=2a+3b (*) + H là hình chiếu của I lên mp()

+ Mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo một đường

Có bán kính : r = 2 2

9 IH

Vh/nón = 1

3IH..r2=

3



IH.(9IH2) Đặt x=IH với x > 0

Xét hàm số g(x) =x(9x2) =9x x3

Đạo hàm : g’(x) =93x2

g’(x) =0 <=> 93x2 =0 <=> x 3

 



 

Bảng xét dấu : x  3 0 3 + g’(x) 0 + + 0 

g(x)

g(x)  g( 3 ) = 6 3

Vh/nón = 1

3IH..r2=

3



IH.(9IH2) 

3



.6 3 = 2 3

Vhình nón lớn nhất bằng 2 3 khi IH = 3 tức là : d(I;()) = 3

I

=

=>

5a 12ab 10b

<=> 225a2 +540ab +324b2 = 15a2 +36ab +30b2

<=> 210a2 +504ab + 294b2 = 0 <=> 70a2 +168ab +98b2 =0

Chọn b=1 =>





 Có hai mp thỏa đk đề bài là :

 (x3)+(y+2)+(z4) =0 <=>x+y+z +1 =0

 7

5(x3)+1(y+2)+1

5(z4) =0 <=> 7x +5y +z +27 =0